1、1江苏省启东中学 2014 届高三数学考前辅导材料（2014.5.25）第一篇文理公共部分一.填空题：集合问题1集合 A x |1 x2，xZ ， 则 A 2|log(1)Bx2 已知集合 ，设函数 （ ）的值域为 ，若20,R xfaB，则实数 的取值范围是 Ba复数问题1 已知 是虚数单位，复数 z ，则 | z | i 12i342.已知 是虚数单位，复数 z 的共轭复数为 ，若 2z 3 4 ，则 z 的虚部为 .i统计问题1某班有学生 48 人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为 4 的样本，已知座位号分别为 6，30，42 的同学都在样本中，那么样本中还有一位同学的座位号应该是 2
2、已知一组正数 x1，x 2，x 3， x4 的方差为 ，则数据222134(16)4sxxx1，x 2，x 3，x 4 的平均数为 常用逻辑用语问题1.若“ ”是 “ a”的必要不充分条件，则 a的最大值为 .2.若命题“ 2,(1)0xRx”是假命题，则实数 的取值范围是 .概率问题1. 4 名学生 A，B，C，D 平均分乘两辆车，则“A，B 两人恰好在同一辆车”的概率为_ 2. 在0，1 中随机地取两个数 a，b，则恰有 a b 0.5 的概率为 流程图问题1.执行如右图所示的程序框图，若输出的 的值为 31，则图中判断框内处应填的整数为 2. 下面求 的值的伪代码中，正整数 的值可以25
3、8120 m为 双曲线，抛物线与椭圆问题I 2S 0While I mS S+II I+3End WhilePrint SEnd21.已知椭圆 的离心率 ，A 、B 分别是椭圆的左、右顶点，P21(0)xyab32e是椭圆上不同于 A、B 的一点，直线 PA、PB 的倾斜角分别为 、 ，则 的cos()值为_.2.已知椭圆 C: ，点 为其长轴 的 6 等分点，分别过这五点作斜率12yx52,M AB为 的一组平行线，交椭圆 C 于 ，则直线 这 10 条直线)0(k 101,P 1021,AP的斜率乘积为 函数问题1. 函数 的单调减区间为 12lnyx2. 已知函数 2,0f，若 ()2(
4、1)faff，则实数 a的取值范围是.3. 已知函数 （ a，b，c ，a 0）是奇函数，若 f(x)的最小值为 ，且2()1xfR12f(1) ，则 b 的取值范围是 25切线问题1.已知 f(x)= 过 A(1,m)可作曲线的三条切线，则 m 的取值范围是 .2.设曲线 在点 处的切线为 ，曲线 在点1exya01()Ay， 1lexy02()By，处的切线为 若存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是 2l03,212la数列问题1.数列a n满足 =1， 记 若 对任意 恒成立，则正整数 m 的最小值是 .2.设 是各项均为非零实数的等差数列 的前 项和，且满足条件 ，则nSna4210a
5、的最大值为 .93三角问题1.在ABC 中，设 AD 为 BC 边上的高，且 AD BC，b，c 分别表示角 B，C 所对的边长，则 的取值范围是_bc2. 在ABC 中，b 2c，设角 A 的平分线长为 m，m kc，则 k 的取值范围是_立体几何1.圆锥的侧面展开图是圆心角为 ，面积为 2 的扇形，则圆锥的体积是_3 32.如图，在三棱锥 P ABC 中，CAB 90，PA PB，D 为 AB 中点，PD平面ABC，PD AB 2，AC 1点 M 是棱 PB 上的一个动点， MAC 周长的最小值 .向量问题1.设 是 外接圆的圆心， ，且 ， ，OABCAOxByC6A8C，则 .42xy
6、2.设 若向量 满足 ，则 的最大值是 .,1ba， cba)(c3.如图，直线 交于点 ，点 、 在直线 上，已知 ， ，设2lABC12,l 0=45CAB2，点 为直线 上的一个动点，当 = 时， 的CDBP2l2PD最小值为 3 .直线与圆问题1.已知直线 与圆 交于不同的两点 ， ， 是坐标原点，若圆0myx42yxABO周上存在一点 C，使得 为等边三角形，则实数 的值为_.ABm2.如果直线 和函数 +1( 的图像恒过一定点，且该定点始终落在圆CABPDMl1l2A BC DP4= 的内部或圆上，那么 的取值范围是 . 离心率问题1已知双曲线的左、右焦点分别为 、 ，且双曲线上存
7、在异于顶点的一点 ，满足1F2 P，则该双曲线离心率为 .1221tan3tanPF2已知椭圆 C： 的左右焦点分别为 ，点 P 为椭圆 C 上的任意一2(0)yxb12,F点，若以 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆 C 的离心率1,FP的取值范围是 不等式问题等杂题1.已知 xyz 0，且 0 ，则 的最大值为_yz 12 xz2 4yzx2z2 16y22.已知实数 a、b、c 满足条件 0ac2b1，且 2a2 b2 1c ，则 的取值范围是2a 2b2c_3.已知 A，B ，C 是平面上任意三点，BC a，CA b，AB c，则 y 的最小值是 ca b bc二.解
8、答题三角函数与平面向量问题1.在 中，内角 的对边分别为 且 ABC, ,cba,23CCAba2sin（1）判断 的形状；（ 2）若 ，求 的取值范围BABA2.在 中，三个内角分别为 ，且 ABCCBA, Acos2)3cos(（1）若 , ,求 （2）若 ，且 ，36cos,054)(B求 in5AEDCBB CA1B1 C1MNA立体几何问题1.如图，在斜三棱柱 ABCA 1B1C1 中，侧面 A1ACC1 是边长为 2 的菱形，A 1AC60 o在面 ABC 中，AB 2 ，BC4，M 为 BC 的中点，过 A1，B 1，M 三点的平面交 AC 于3点 N (1)求证：N 为 AC
9、中点； (2)平面 A1B1MN平面 A1ACC12.如图，六面体 ABCDE 中，面 DBC面 ABC，AE面 ABC(1)求证：AE /面 DBC；(2)若 ABBC，BDCD，求证：AD DC应用性问题1. 汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间；所经过的距离叫做刹车距离。某型汽车的刹车距离 s(单位米 )与时间 t(单位秒)的关系为 ，其中 k 是一 32510stkt个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量（1）当 k=8 时，且刹车时间少于 1 秒，求汽车刹车距离；（2）要使汽车的刹车时间不小于 1 秒钟，且不超过 2 秒钟，求 k 的取值范围62.如图，摄影爱好者 S 在
10、某公园 A 处，发现正前方 B 处有一立柱，测得立柱顶端 O 的仰角和立柱底部 B 的俯角均为 设 S 的眼睛距地面的距离按 米6 3(1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2) 立柱的顶端有一长 2 米的彩杆 MN 绕其中点 O 在 S 与立柱所在的平面内旋转摄影者有一视角范围为 的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都3可以将彩杆全部摄入画面？说明理由解析几何问题1.如图，过椭圆 的左顶点 和下顶点 且斜率均为 的两直线 分别交椭圆于L(3,0)ABk12,l，又 交 轴于 ， 交 轴于 ，且 与 相交于点 .当 时，,CD1lyM2lxNCDMP3k=是直角三角形.（1）求椭圆
11、 L 的标准方程；（2） 证AB明：存在实数 ，使得 ；求|OP|的取值范围. AOP2.在平面直角坐标系 中，已知圆 经过 ， ， 三点， 是线xOyC(0,2)A(,)O(,0)DtM段上的动点， 是过点 且互相垂直的两条直线，其中 交 轴于点 ， 交圆AD12,l(1,0)B1lyE2lC于 、 两点 （1）若 ，求直线 的方程；PQ6tPQ2l（2）若 是使 恒成立的最小正整数，求 的面积的最小值tAMEPQMOSNBAMCBADNPxyO7函数与导数问题1. 已知函数 ， （ ） （）对于函数 中的xef2)(mxg2)(R)(xfy任意实数 x，在 上总存在实数 ，使得 成立，求实
12、数 的取值范y0)(0xfgm围.（）设函数 ，当 在区间 内变化时， （1）求函数)()(xafha2,1的取值范围； （2）若函数 有零点，求实数)(xy2ln,0)(xhy3,0m 的最大值.2. 巳知函数 ， ，其中 2()lnfxax2()lngxa0,Rxa（1）若 是 函数 的极值点，求 的值；（2）若 在区间 上单调递增，fa()f(2)求 的取值范围；（3）记 ，求证： a()()Ff 1F3.已知函数 ，其中 且 .（1）讨论 的单调性；1()ln+)fxax（ R0a()fx(2) 若 恒成立，求实数 范围；（3）若 存在两个异号实根 ， ，a()fx12x求证： 120
13、x84.已知函数 ，其中 若函数 在它们的图象与坐1(),()lnxfkegx0k(),fxg标轴交点处的切线互相平行 （1）求 的值； （2）是否存在直线 ，使得 同时是函数 的切线？说明理由 ll(),fgx（3）若直线 与 、 的图象分别交于 、 两点，直线(0)xa(xf AB与 的图象有两个不同的交点 、 记以 、 、 、 为顶点的凸()ybhCDCD四边形面积为 ，求证： S2数列问题1.已知各项均为正数的数列 满足： ，其中 .na12)(1nnatn *N(1)若 a2a 18，a 3a，且数列 an是唯一的.求 a 的 值；设数列 满足 ，是否存在正整数 m，n（111()0
14、fx()()fxf-=12f,（可知 .即 -16 分2124.解：（1） 与坐标轴的交点分别为 ，(),fxg(0,)1k由 得 ，1lnfkex()xfeg22由题意知 ，即 ，又 ，所以 2 分(0)1fgk01k（2）假设存在直线 同时是函数 的切线，l(),fxg设 与 分别相切于点 （ ） ， l(),fx(,ln)mMeN0则 或表示为 ，:)mye1lyx则 ，要说明 是否存在，只需说明上述方程组是否有解4 分1()lnmel由 得 ，代入 得 ，即me(1)ln1()1me，令 ，(1)0memhe因为 ，所以方程 有解，则方程组有解，22,()30h()0me故存在直线 ，
15、使得 同时是函数 的切线 8ll(),fxg分（3）设 ， ，则 ，设 ，0(,)xAe0(,ln)B0lnxABe0()lnxFe， ， 即 在 上单调递增，又01)xGF021(xGG,，故 在 上有唯一零点，设为 ，1(2,()ee(),)1(,)2t则 ，因此 ，当 时， ，0t1lntt0xt()0Fx在 上单调递减； 当 时， ， 在()Fx,t (,)(Gt()Fx上单调递增，因此 ，,t1()ltFxet由于 ， ，则 14 分1(,)212t0n2xAB设 ，则 ，令 ，则 ，12,ln)xCeD1lnxe1leu12ln,uxe ，故 -16 分 21()uF2SCD数列问
16、题1.解：（1） 12)(1nnatan 0)(11nnatn23又 且 数列 是以 t 为公比的等比数列0nantan10na要使满足条件的数列a n是唯一的，即关于 a1 和 t 的方程组 有唯一正数解即128at方程 有唯一解，由于 a0,所以 ，此时 -082at 03232t-5 分由知 ，所以 ，若 成等比数列，则2n4(21)nnbnmb,1，可得 所以 ，解得：21()3m3m042又 ，且 1mn，所以 m=2，此时 n=12 故当且仅当661*Nm=2，n=12.使得 成等比数列.-10 分nmb,1(2)由 a2ka 2k1 a k1 ( aka k1 a 1)8得 且
17、a2k1 a 2k2 a 3k=8)(2tt t当且仅当 ，即)(1)(212 kkkk tt 1kktt时，a 2k1 a 2k2 a 3k 取得最小值 32.-16 分81a,t2.解 （1）令 n1 得 3a12a 12，解得 a12；令 n3 得 3(8a 3)4a 212，解得a312-3 分（2）由已知 3Sn(n1)a nn(n1) ， 3Sn+1(n2)a n+1(n1)( n2)， 得 3an+1( n2)a n+1(n1)an2(n1) ，即(n1)a n+1(n1) an2(n1)0， 所以 nan+2( n2)a n+12(n2) 0， 得 nan+2(2n1) an+
18、1(n1)an20，即 n(an+2a n+1)(n1)( an+1a n)20， 从而(n1)(a n+3a n+2)( n2)(a n+2a n+1)20， 得(n1)( an+3a n+2)2( n1)(a n+2a n+1)(n1)(a n+1a n)0，即(a n+3a n+2)2(a n+2a n+1)(a n+1a n)0，即(a n+3a n+2)(a n+2a n+1)(a n+2a n+1)( an+1a n)， 所以数列a n+1a n是等差数列，首项为 a2a 14，公差为( a3a 2)(a 2a 1)2，所以 an+1a n42(n1)2n2，即 ana n-12n
19、，a n-1a n-22(n1) ，a3a 26，a 2a 14，a 12，相加得 an2462(n1) 2nn(n1)-10 分（3）数列c n是单调递减数列，证明如下：因为 cnb n+1b n (n 1)(n 2) ，n(n 1)所以 cn+1 ，要证明 cn+1c n，等价于证明 n1 n2 ； 1(n 1)(n 3) n(n 2) (n 1)(n 3) n(n 2)241；2n3 ，由(n 1)(n 3) n(n 2) n2， n1，所以 2n3(n 1)(n 3) (n 2)2 1 n(n 2) (n 1)2 1 ，于是 cn+1c n，所以 cnc 1 (n 1)(n 3) n(
20、n 2) 6 2下面证明 cn1 1 2 2(n1) 2 n1n 1 n 2 n n(n 2) -16 分(n 1)2 1 n(n 2)第二篇理科加试部分答案第二篇理科加试部分1.矩阵与变换1.解： （1） ，10M12021所以点 在 作用下的点 的坐标是 5 分(2,)PTP(,)（2） ，10设 是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是 ，xy 0xy则 ，也就是 ，即 ，0M0xy0所以，所求曲线的方程是 . 10 分22.解：由将矩形 OABC 绕点 O 旋转 到矩形 所以 (2,0), (2,1), (0,1)，181CBA1B1C由 (0,1)通过切变变换得 则 ，1C),3
21、(2C),2(设线性变换对应的矩阵为 ，则 ，dcba130c，解得 ，所求的矩阵为 -10 分123dcba103dc-02.函数，导数，数列问题1.证明:（1） ，当 时， ，所以函数 在()()xxxfee()fx()fx上单调递减，因此 (0,)0f2 分（2）首先用数学归纳法证明 当 时， ， 成立na10an假设 时， 那么当 时， 4 分nk0kk1nane25当 时，由熟悉的不等式 得 （可以用导数证明）0x1xe1xe所以 由可知对任意的正整数 ，总有 11,ane n0na由（1）知 ，所以 ()0nae1naae由 知 ，所以 10 分1aanne1annn2. (1)解
22、：有 32()10fxxa令 3()1gxa由 330,(),()gag所以有且只有一个实数01(,)x，使 (fx； 5 分（2）(数学归纳法)证： 2102nnx.证明: 12012,(,)xxa; 假设 ()kk 由 2()f递减性得： 2102()(),(kfxffx即 2021(kx又 0102)kk kfx所以 n时命题成立 所以 202nnx对 *N成立. 10 分3.空间立体几何1.解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则 C(0, 2, 0)，B(2, 0 , 0)，A 1(0,2, 2)，B 1(4, 0 , 2)从而， (0,2, 2)， ( 2, 2, 0) AA1
23、BC B1C1 记 与 的夹角为 ，则有 cos .AA1 BC 12又由异面直线 AA1 与 BC 所成角的范围为（0， ），可得异面直线 AA1 与 BC 所成的角为60. 4分（2）记平面 PAB 和平面 ABA1 的法向量分别为 m 和 n，则由题设可令 m(x , y, z)，且有平面 ABA1 的法向量为 n(0,2,0). 设 ( 2, 2, 0)，则 P(42, 2, 2)B1P B1C1 于是 AP ，解得 或 又题设可知 (0, 1)，则 (4 2)2 (2)2 22 1412 32 舍去，故有 从而， P 为棱 B1C1 的中点，则坐标为 P(3, 1, 2) 32 12
24、6 分26由平面 PAB 的法向量为 m，故 m 且 m .AP PB 由 m 0，即(x , y, z)(3, 1 ,2)0，解得 3xy2z 0； AP 由 m 0，即(x , y, z)(1,1,2)0，解得xy2z0，PB 解方程、可得，x0，y2z0，令 y2，z1，则有 m(0,2, 1) . 8 分记平面 PAB 和平面 ABA1 所成的角为 ，则 cos .故二mn|m|n|面角 P ABA 1 的平面角的余弦值是 10 分4.概率分布问题1. （1）依题意，数对（x，y）共有 16 种，其中使 为整数的有以下 8 种：xy（1，1） ， （2，2） ， （3，3） ， （4，
25、4） ， （2，1） ， （3，1） ， （4，1） ， （4，2） ，所以 ； -4 分。 81(0)6P（2）随机变量 的所有取值为 ， ， ，01有以下 6 种：（1，2） ， （1，3） ， （1，4） ， （2，3） ， （2，4） ， （3，4） ，故 ； 有以下 2 种：（3，2） ， （4，3） ，()168P故 ；2所以 的 分 布 列 为 ：， -9 分31()08284E答 ： 的 数 学 期 望 为 -10 分。42.依题意，这 4 个人中，每个人去 A 地旅游的概率为 ，去 B 地的人数的概率为1323设“这 4 个人中恰有 人去 A 地旅游”为事件i 024i（ ，
26、 ， ， ， ） .-2 分412()()3iiiPAC（1）这 4 个人中恰有 1 人去 A 地游戏的概率为 -3 分1342()()8PAC（2）设“这 4 个人中去 A 地的人数大于去 B 地的人数”为事件 B，则 B= ，34A10 1P32827 -6 分341()()9PBA（3） 的所有可能取值为 0，3，4，067()()81P132PA-8 分24(4)( 的分布列是 0 3 4P 1784081281-10 分17420383E5.极坐标与参数方程21 22. 1.14sin:co 3yCx曲 线 的 普 通 方 程 分 化 为 极 坐 标 方 程 分曲 线 的 直 角 坐
27、 标 方 程12202 5,0,=96 MPQxyOOABAB分在 直 角 坐 标 系 下 ， 线 段 是 圆 的 一 条 直 径 ， 由 ， 有 分， 是 椭 圆2214sinco14上 的 两 点 ， 在 极 坐 标 系 下 ，设 ， ， ， 分 别 代 入 中 ，222 211 isincocs 184 有 ， 分 22221iosin4 解 得 ： ， 222212ics15cosi .945.10OAB 则 分 即 分2.解析：（）设点 的坐标为 ，则 ， ，M()xy， (6)HPb,()Qab,， ，()Pxyb,Qa,28由 ，得 HPQ260ab由 2 ，得 ，即 ，M()x
28、y32axby由 得 ，故点 的轨迹 为 5 分60ab2MC(0)（）依题意 ，即 ， ，sin3costt2cs3ott1cos2t又 0t2， ， 10 分56.抛物线问题1.解：（1）由 ，得点 是线段 FT的中点，又由 ，所以 ，FRT SRFT|SF因为 ， 即为点 到直线 的距离，则点 到定点 的距离等于到定直线/STO|S1x的距离，所以点 的轨迹为以定点 为焦点，定直线 为准线的抛物线，所求点 的1xS轨迹 C的方程 24yx 。-4 分。(2)设 ，22312 4(,)(,)(,)(,)yABMNy123412,kkyy设过焦点 的直线方程为 ，代入抛物线 2x，F1xm得
29、 ，则 ，所以 240ym2413,4yy12124yky由 ，则 。设 直线方程为 ，代入抛物线 24x，12k128ABxnb得 ，得 ，则 ，所以直线恒过定点 。-10 分。40ynb124yb2(,0)2.解：(1)抛物线 的焦点为 ,设 的直线方程为 .2px(0)l 2pykx()由 得 ,设 M,N 的横坐标分别为 ,2()ykx2221()4kxpk12x则 ,得 , ,21p21Pxk2()Ppkpyk而 ,故 PQ 的斜率为 ,PQ 的方程为 .PQlk21()x代入 得 .设动点 R 的坐标 ,则0y223ppxk()y29,因此 ,21()2PQpxky 2()4(0)
30、pxyk故 PQ 中点 R 的轨迹 L 的方程为 .-5 分24()y(2)显然对任意非零整数 ,点 都是 L 上的整点,故 L 上有无穷多个整点. t(1,ptt假设 L 上有一个整点(x,y) 到原点的距离为整数 m,不妨设 ,则0,xym,因为 是奇素数,于是 ,从 可推出 ,再由 可推出22(4)mipppy()ip()i,令 ,则有 ,111,xy22114()xiyv由 , 得 ,于是 ,即()iv22114m2211(8)7m,于是 , ,18(8)7xxx18x得 ,故 ,有 ,但 L 上的点满足 ,矛盾!m10y10py0y因此,L 上任意点到原点的距离不为整数.-10 分7
31、.排列组合二项式定理1. 解：（1）当 时，5n5 25015512 2CC，24305C419故 ， ，所以 -4 分9a5b57ab（2）答案是否定的，事实上 bn 是奇数，而 bn=22014 是偶数，故不存在正整数 n，使bn=22014.下面证明对任意正整数 n，b n 是奇数.证法一：（用数学归纳法证明）（i）当 时，易知 ，为奇数；11（ii）假设当 时， ，其中 为奇数；k2kkabk则当 时，n，1212k k2kkaba所以 ，又 、 ，所以 是偶数， kbakZk而由归纳假设知 是奇数，故 也是奇数.1b综上（i） 、 （ii）可知， 的值一定是奇数 -10 分n证法二：
32、因为 2012nnCC当 为奇数时，n241nnb30则当 时， 是奇数；当 时， 1nb3n因为其中 中必能被 2 整除，所以为偶数，24112nnCC于是， 必为奇数；0n 当 为偶数时， 240 nnnnbC其中 均能被 2 整除，于是 必为奇数.24n nb综上可知， 各项均为奇数2.（1）解： ，456()1)()(1)gxxxg(x)中含 x2 项的系数为 24C 2 4C 2 4C 336.-4 分4 45 46（2）证明：由题意，p n .1欲证明 ，12()()naap只要证明 ，用数学归纳法证明如下：11 2()nna 当 n1 时，左右，时， =2()a1)12(0时，欲
33、证不等式成立；,2 假设当 nk 时，(1 a 1)(1a 2) (1a k) (a1a2 ak1)成立， 当 n k1 时，(1a 1)(1a 2) (1a k)(1a k1 ) (a1a2ak1)(1a k1 ) (*)， (a1a2ak1)(1 a k1 ) 2k(a1a2akak1 1)= (a1a2ak 1)( ak1 1)0k(a1a2ak1)(1 a k1 )2 k(a1a2akak1 1)结合(*)式得(1 a1)(1a 2)(1a k)(1a k1 )2k(a1a2akak1 1) 成立时，欲证不等式成立；n综合可知，p n(a1a2an 1)(1a 1)(1a 2)(1a n)对任意 nN *成立-10 分
