1、沪科版八年级数学下册知识总结第十六单元 二次根式二次根式知识点：知识点一： 二次根式的概念形如 （ ）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以 是 为二次根式的前提条件，如 ， ， 等是二次根式，而 ，等都不是二次根式。知识点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a0 时， 有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当 a0 时， 没有意义。知识点三：二次根式 （ ）的非负性（ ）表示 a
2、的算术平方根，也就是说， （ ）是一个非负数，即 0（ ） 。注：因为二次根式 （ ）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是 0，所以非负数（ ）的算术平方根是非负数，即 0（ ） ，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若 ，则 a=0,b=0；若 ，则 a=0,b=0；若，则 a=0,b=0。知识点四：二次根式（ ） 的性质 （ ）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式 （ ）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则 ，如： ， .知识点
3、五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注意：1、化简 时，一定要弄明白被开方数的底数 a 是正数还是负数，若是正数或 0，则等于 a 本身，即；若 a 是负数，则等于 a 的相反数-a,即 ；2、 中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论 a 取何值， 一定有意义；3、化简 时，先将它化成 ，再根据绝对值的意义来进行化简。知识点六： 与 的异同点1、不同点： 与 表示的意义是不同的， 表示一个正数 a 的算术平方根的平方，而 表示一个实数a 的平方的算术平方根；在 中 ，而 中 a 可以是正实数，0，负实数。但 与 都是非负数，即 ， 。因而它的运算的
4、结果是有差别的， ，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即 时， = ； 时， 无意义，而 .知识点七：二次根式的性质和最简二次根式如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a0） 、x+y 等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a 2、（x+y） 2、x 2+2xy+y2等 （3）最终结果分母不含根号。 满足最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是因式是整式。 （2）被开方数不含能开的尽方的因数或因式。知识点八：二次根式的乘法和除法1.积的算数平方根的性质 ab=ab（a0，b0） 2. 乘法法则 ab=ab（a0，b0） 二次根式的乘法运算法则
5、，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 注意：两个二次根式相乘，如果两个被开方数有公因数或公因式，就直接用乘法法则，若没有公因数或公因式，就分别化为最简二次根式，再利用乘法法则。3.除法法则 ab=ab（a0，b0） 二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算数平方根的商，等于这两个数商的算数平方根。 4.有理化根式。 如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式。 知识点九：二次根式的加法和减法1 同类二次根式 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根
6、式。 2 合并同类二次根式 把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。 3 二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。 知识点十：二次根式的混合运算1 确定运算顺序 2 灵活运用运算定律 3 正确使用乘法公式 4 大多数分母有理化要及时 5 在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化 知识点十一：分母有理化分母有理化有两种方法I.分母是单项式 如:a/b=ab/bb=ab/b II.分母是多项式 要利用平方差公式 如 1/ab=ab/(ab)(ab)=ab/ab 注意：1.根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式。第十七单元 勾股定律勾
7、股定理知识总结：一基础知识点：1：勾股定理：直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方。 （即：a 2+b2c 2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在 中， ，则 ， ， ）ABC902b2a2cb（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系 a2+b2c 2，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过
8、“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证 c2与 a2+b2是否具有相等关系，若 c2a 2+b2，则ABC 是以C 为直角的直角三角形（若 c2a2+b2，则ABC 是以C 为钝角的钝角三角形；若 c2 有两个不等的实根； =0 有两个相等的实根；0 无实根； 0 有两个实根（等或不等）.4. 一元二次方程的根系关系： 当 ax2+bx+c=0 (a0) 时，如 0，有下列公式：.acxabx)(a2c4bx)1( 21212, ，；5. 一元二次方程的解法（1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法）cbaHGFED
9、 CBA abccbaEDCBAbac baccabcab 解为： 解为：2(0)xaxa2()(0)xabxab 解为： 解为：bcbc2()cxdc()cxd（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法如： 此类方程适合用提供因此，而且其中一个根为 00(,)()0axxa29323(3)0x(21)5()(35)210xxx264()4xx192106025()40xx（3）配方法二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于 2 进行配方，如下所示：示例：2 2()(PxPqxq 23310()(1xx二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：
10、2 2 220 ()()0 ()()bbabcaxcacaaA224()4x示例： 2 22111()()10xx（4）公式法：一元二次方程 ，用配方法将其变形为：0 abca24()bacx当 时，右端是正数因此，方程有两个不相等的实根：20bc 1,2 当 时，右端是零因此，方程有两个相等的实根：4 ,xa 当 时，右端是负数因此，方程没有实根。20bac备注：公式法解方程的步骤：把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式： ，并确定出 、 、20 ()axbcaabc求出 ，并判断方程解的情况。 代公式： （要注意符号）24bac 21,24bc 5当 ax2+bx+c=0 (a0) 时，
11、有以下等价命题：(以下等价关系要求会用公式 ；=b 2-4ac 分析，不要求背记)acxabx2121，（1）两根互为相反数 = 0 且 0 b = 0 且 0；（2）两根互为倒数 =1 且 0 a = c 且 0；ac（3）只有一个零根 = 0 且 0 c = 0 且 b0；b（4）有两个零根 = 0 且 = 0 c = 0 且 b=0；ac（5）至少有一个零根 =0 c=0； （6）两根异号 0 a、c 异号；c（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值 0 且 0 a、c 异号且 a、b 异号；ab（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值 0 且 0 a、c 异号且 a、b 同号；acb（
12、9）有两个正根 0， 0 且 0 a、c 同号， a、b 异号且 0；acb（10）有两个负根 0， 0 且 0 a、c 同号， a、b 同号且 0.a6求根法因式分解二次三项式公式：注意：当 0 时，二次三项式在实数范围内不能分解.ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 或 ax 2+bx+c= .a2c4bxa24x7求一元二次方程的公式： x2 -（x 1+x2）x + x 1x2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数.8平均增长率问题-应用题的类型题之一 （设增长率为 x）：(1) 第一年为 a , 第二年为 a(1+x) , 第三年为 a(1+x)2.（2）常利用以下相等
13、关系列方程： 第三年=第三年 或 第一年+第二年+第三年=总和.9分式方程的解法 .0)1( ） ， 值（ 或 原 方 程 的 每 个 分 母验 增 根 代 入 最 简 公 分 母公 分 母两 边 同 乘 最 简去 分 母 法例如：(x+1/x)+(3x/x+1)-2=0.0.2 分 母 ， 值验 增 根 代 入 原 方 程 每 个换 元凑 元 ， 设 元 ，换 元 法）（10、最简公分母的求法（1） 、将分母系数化为整数后取各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；（2） 、凡单独出现的字母或多项式,连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3） 、同底数幂取次数最高的,这样得到的因式的积就
14、是分式方程的最简公分母；（4） 、分母是多项式的要先进行因式分解。列一元二次方程解应用题的一般步骤如下：（1）审题：读懂题目,审清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量,以及它们之间的关系 （2）设元：就是设未知数,根据题意,选择适当的未知量 ,并用字母（X)表示出来,设元又分直接设元和间接设元 （3）列方程：根据题目中给出的等量关系,列出符合题意的一元二次方程 （4）解方程：求出所列方程的解 （5）验根：检验未知数的值是否符合题意 （6）写出答案11几个常见转化： ；或 ； )x(x4)x()x(x2)1x( 2)1x(x4)x()()()1( 21212121212 221212121212
15、， ， ，221112()x 2121211212()（ 1 2） 2 ， 12|()4xxx2112xx等2 12)x第十九章 四边形一、 关系结构图：二、知识点讲解：1平行四边形的性质（重点）：ABCD 是平行四边形 .54321） 邻 角 互 补（ ） 对 角 线 互 相 平 分 ；（ ） 两 组 对 角 分 别 相 等 ；（ ） 两 组 对 边 分 别 相 等 ；（ ） 两 组 对 边 分 别 平 行 ；（2.平行四边形的判定（难点）：.3. 矩形的性质：因为 ABCD 是矩形 .3;2;1） 对 角 线 相 等（ ） 四 个 角 都 是 直 角（ 有 通 性） 具 有 平 行 四 边
16、 形 的 所（(4)是轴对称图形，它有两条对称轴4 矩形的判定：矩形的判定方法：(1)有一个角是直角的平行四边形；(2)有三个角是直角的四边形；A BDOCADBCADBCOCDA B A BCDO(3)对角线相等的平行四边形；(4)对角线相等且互相平分的四边形 四边形 ABCD 是矩形.5. 菱形的性质：因为 ABCD 是菱形 .321角） 对 角 线 垂 直 且 平 分 对（ ） 四 个 边 都 相 等 ；（ 有 通 性 ；） 具 有 平 行 四 边 形 的 所（6. 菱形的判定：四边形四边形 ABCD 是菱形.边 形） 对 角 线 垂 直 的 平 行 四（ ） 四 个 边 都 相 等（
17、一 组 邻 边 等） 平 行 四 边 形（ 3217.正方形的性质：ABCD 是正方形 .321分 对 角） 对 角 线 相 等 垂 直 且 平（ 角 都 是 直 角 ；） 四 个 边 都 相 等 ， 四 个（ 有 通 性 ；） 具 有 平 行 四 边 形 的 所（8. 正方形的判定：四边形 ABCD 是正方形.一 组 邻 边 等矩 形）（ 一 个 直 角） 菱 形（ 一 个 直 角一 组 邻 边 等） 平 行 四 边 形（ 321名称 定义 性质 判定 面积平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 对边平行；对边相等；对角相等 邻角互补；对角线互相平分；是中心对称图形定义；两组对边
18、分别相等的四边形；一组对边平行且相等的四边形；两组对角分别相等的四边形；对角线互相平分的四边形。S=ah(a 为一边长，h为这条边上的高)矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形除具有平行四边形的性质外，还有：四个角都是直角；对角线相等；既是中心对称图形又是轴对称图形。有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；定义。S=ab(a 为一边长，b为另一边长)菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。除具有平行四边形的性质外，还有四边形相等；对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；既是中心对称图形又是轴对称图形。四条边相等的四边形是菱形；对角线垂直的平行四边形是菱形；定义。S=ah
19、(a 为一边长，h 为这条边上的高)；(b、c 为两条对角线的长)正方形有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形具有平行四边形、矩形、菱形的性质：四个角是直角，四条边相等；对角线相等，互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；既是中心对称图形又是轴对称图形。有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；定义。 (a 为边长)；(b 为对角线长)CDBA O正 n 边形的内角的和等于：（n 2）180(n 大于等于 3 且 n 为整数） ；任意多边形的外角和等于 360若 n 是多边形的边数，则对角线条数公式是：1/2nn3从 n 边形的一个顶点出发作对角线,则做（n-3
20、）条,这（n-3）条对角线把 n 边形分成了（n-2）三角形.一、基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四边形，矩形，菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位线，梯形中位线.二 定理：中心对称的有关定理1关于中心对称的两个图形是全等形.2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.3如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转 180，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称，这个点叫做对称中心中心对称
21、图形把一个图形绕它的某一个点旋转 180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，这两个图形关于一点对称，其中一个上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，中心对称图形是指一个图形本身成中心对称，表示某个图形的特性，它上面所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上如图 1 中ABC 和ABC关于 O 点对称，就是中心对称而如图 2 中的 ABCD 为中心对称图形，对称中心为 O中心对称和中心对称图形是可以互相转化的若将中心对称的两个图形看成一个整体，那么这个图形就是中心对称图形，若把一个中心对称图形，用过对称中心的
22、任一条直线分成两部分，则这两部分就关于这点成中心对称第二十章 数据的初步分析知识点1：表示数据集中趋势的代表平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中平均数的应用最为广泛。知识点2：表示数据离散程度的代表极差的定义：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。极差=最大值最小值，一般来说，极差小，则说明数据的波动幅度小。知识点3：生活中与极差有关的例子在生活中，我们经常用极差来描述一组数据的离散程度，比如一支篮球队队员中最高身高与最矮身高的差。一家公司成员中最高收入与最低收入的差。知识点4：平均差的定义 在一组数据 x1
23、，x 2， ，x n中各数据与它们的平均数 的差的绝对值的平均数即 T=叫做这组数据的“平均差” 。“平均差”能刻画一组数据的离散程度， “平均差”越大，说明数据的离散程度越大。知识点5：方差的定义 在一组数据 x1，x 2，x n中，各数据与它们的平均数差的平方，它们的平均数，即 S2=来描述这组数据的离散程度，并把 S2叫做这组数据的方差。知识点6：标准差方差的算术平方根，即用 S= 来描述这一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差。知识点7：方差与平均数的性质若 x1，x 2，x n的方差是 S2，平均数是 ，则有x 1+b， x 2+bxn+b 的方差为 S2，平均数是 +b ax 1， ax 2，ax n的方差为 a2s2，平均数是 aax 1+b， ax 2+b，ax n+b 的方差为 a2s2，平均数是 a +b
