1、1导数解答题题型分类之拓展篇（一）题型一：最常见的关于函数的单调区间；极值；最值；不等式恒成立；经验 1：此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令 得到几个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知；0)(xf经验 2：不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数） ；题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元） ； 第二种：分离变量求最值（请同学们参考例 5） ； 第三种：关于二次函数的不等式恒成立； 第四种：构造函数求最值；题型特征（ 恒成立 恒成立） ；参考例)(xgf0)()(xgfxh4；例 1.已知函数 ， 是 的一个极值点321
2、()fxbxa2x)(f（）求 的单调递增区间；（）若当 时， 恒成立，求 的取值1, 32()3fxaa范围例 2.设 。2(),1xf()52(0)gax（1）求 在 上的值域；0（2）若对于任意 ，总存在 ,使得 成立,求 的取值范围。1,0101()gxfa2例 3.已知函数 图象上一点 的切线斜率为 ，32()fxa(1,)Pb3326()1(0tgxtt（）求 的值； （）当 时，求 的值域；,ab,4x()fx（）当 时，不等式 恒成立，求实数 t 的取值范围。4()fg例 4.已知定义在 上的函数 在区间 上的最大值是 5，最小值R32()fxaxb）（ 0a2,1是11.（）
3、求函数 的解析式；（）若 时， 恒成立，求实数 的取()f 1,t 0(txf） x值范围.例 5.已知函数 图象上斜率为 3 的两条切线间的距离为 ，函数23)(axf 5102)(bxfg（1） 若函数 在 处有极值，求 的解析式；)(g1x)(xg（2） 若函数 在区间 上为增函数，且 在区间 上都成立，求,)(42xgmb1,实数 的取值范围m3题型二：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与 x 轴即方程根的个数问题；经验 1：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种：第一种：转化为恒成立问题即 在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成0)()( xff或立问题
4、；用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（看是否在 0 的同侧） ，如果是同侧则不必分类讨论；若在 0 的两侧，则必须分类讨论，要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变！有时分离变量解不出来，则必须用另外的方法；第二种：利用子区间（即子集思想） ；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；参考 08 年高考题；第三种方法：利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与 0 的关系和对称轴相对区间的位置；可参考第二次市统考试卷；特别说明：做题时一定要看清楚“在（a,b）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b） ”，要弄清楚两句话的区别；经验 2：函数与 x 轴即方程根
5、的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图” （即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减” ；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组） ；主要看极大值和极小值与 0 的关系；第三步：解不等式（组）即可；例 6已知函数 ， ，且 在区间 上为增函数23)1()(xkxfkxg31)()(f),2(（1）求实数 的取值范围；（2）若函数 与 的图象有三个不同的交点，求实数 的kf)( k取值范围例 7.已知函数 .13)(2axaxf（I）讨论函数 的单调性。4（II）若函数 在 A、B 两点处取得极值，且线段 AB 与 x 轴有公共点
6、，求实数 a 的)(xfy取值范围。例 8已知函数 f(x)x 3ax 24x4a，其中 a 为实数()求导数 f(x)；()若 f(1)0，求 f(x)在2，2上的最大值和最小值；()若 f(x)在(，2和2，)上都是递增的，求 a 的取值范围例 9.已知：函数 cbxaxf23)(（I）若函数 的图像上存在点 ，使点 处的切线与 轴平行，求实数 的关系式；Pxba,（II）若函数 在 和 时取得极值且图像与 轴有且只有 3 个交点，求实数 的f1 c取值范围.例 10设 ()yfx为三次函数，且图像关于原点对称，当 12x时， ()fx 的极小值为 1（）求 的解析式；（）证明：当 ),1
7、(x时，函数 图像上任意两点的连线的斜率恒大于 05例 11在函数 图像在点（1， f（1） ）处的切线与直线 平)0()(3abxxf .076yx行，导函数 的最小值为12。 （1）求 a、 b 的值；（2）讨论方程 解的情况 mf)(（相同根算一根） 。导数解答题题型分类之拓展篇（二）编 制:王 平 审 阅：朱 成 2014-06-01例 12已知定义在 R 上的函数 ，当 时， 取得极大值),()(3Rcbaxf 1x)(xf3， .1)0(f（）求 的解析式；（）已知实数 能使函数 上既能取到极大值，xtf()(t,3)在 区 间又能取到极小值，记所有的实数 组成的集合为 M.请判断
8、函数 的零点个数.t ()fgxM例 13.已知函数 的单调减区间为（0，4）)(,2)1(3)( xfkxkxf 若（I）求 的值；k（II）若对任意的 总有实数解，求实数 的取值(5, tfat 的 方 程关 于 a范围。例 14.已知函数 是常数 ，且当 和 时，函数 取得baRxbaxf ,()(23)1x2)(xf极值.（）求函数 的解析式；（）若曲线 与 有两个不同(fy0(3mg的交点，求实数 的取值范围.m6例15.已知 f (x)x 3bx 2cx2若 f(x)在 x1时有极值1，求 b、c 的值；若函数 yx 2x5的图象与函数 y 的图象恰有三个不同的交点，求实数 k 的
9、取值范xk2围例 16. 设函数 axxf231)(， bxg2)(，当 21时， )(xf取得极值.（1）求 a的值，并判断 (f是函数 f的极大值还是极小值；（2）当 4,时，函数 )与 (的图象有两个公共点，求 b的取值范围.题型三：函数的切线问题；经验 1：在点处的切线，易求；经验 2：过点作曲线的切线需四个步骤；第一步：设切点，求斜率；第二步：写切线（一般用点斜式） ；第三步：根据切点既在曲线上又在切线上得到一个三次方程；第四步：判断三次方程根的个数；例 17.已知函数 在点 处取得极小值4，使其导数 的 的取值32()fxabcx0 ()0fx范围为 ，求：(1,3)（1） 的解析
10、式；f（2）若过点 可作曲线 的三条切线，求实数 的取值范围(1,)Pm()yfxm7例 18. 已知 （ 为常数）在 时取得一个极值，32()4fxax2x（1）确定实数 的取值范围，使函数 在区间 上是单调函数；t ()f,t（2）若经过点 A（2，c） （ ）可作曲线 的三条切线，求 的取值范围8()yfc题型四：函数导数不等式线性规划结合；例 19.设函数 ，在其图象上一点 处的切线的斜率记为321()(,)gxaxbR(,)Fxy()fx(1)若方程 有两个实根分别为-2 和 4，求 的表达式；f ()fx(2)若 在区间 上是单调递减函数，求 的最小值。()1,32ab例 20.已
11、知函数 ),(31)(2Rbaxxf （1）若 图象上的是 处的切线的斜率为 的极大值。y), )(,4xfy求8（2） 在区间 上是单调递减函数，求 的最小值。)(xfy2,1ba例 21. 已知函数 （ ， ， 且 ）的图象在 处的切线23)(nxmxfRnm0)2(,f与 轴平行.x(I) 试确定 、 的符号；(II) 若函数 在区间 上有最大值为 ，试求 的值.)(fy,2题型五：函数导数不等式的结合例 22.已知函数 ，其中 .0xbaxf Rba,（）若曲线 在点 处的切线方程为 ，求函数 的解析式；y2,fP13xyxf（）讨论函数 的单调性；f（）若对于任意的 ，不等式 在 上
12、恒成立，求 的取值范围.,1a10xf,4b例 23.已知函数 321()1(,Rfxaxba， b为实数）有极值，且在 1x处的切线与直线 01yx平行.（1）求实数 a 的取值范围；9（2）是否存在实数 a，使得函数 )(xf的极小值为 1，若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由；例 24.已知函数 dcxaxf 2341)(（a、c、dR）满足 0)1(,)0(ff且0)(xf在 R 上恒成立。（1）求 a、c、d 的值；（2）若 4123)(2bh，解不等式 )(xhf；例 25.设函数 （ ） ，其中2()fxaxRa（1）当 时，求曲线 在点（2， ）处的切线方程；a(y
13、f(2)f（2）当 时，求函数 的极大值和极小值；0（3）当 时，证明存在 ，使得不等式 对任意的1,0k 2cos)(cos)fkxfkx恒成立。xR导数解答题题型分类之拓展篇答案 2014-05-31题型一例 1、解：（） . 是 的一个极值点，2()fxb2x)(f 是方程 的一个根，解得 . 2x20b3b令 ，则 ，解得 或 . ()0f31x函数 的单调递增区间为 ， . ()yfx(, )(2,+)（）当 时 ， 时 ，1,()fx30f 在（1，2）上单调递减， 在（2，3）上单调递增. 是 在区间()fxf (2)ffx1，3上的最小值，且 . 若当 时，要使 恒成立，只需(
14、2)fa1, x3a， 即 ，解得 . 2()3fa3010例 2、解：(1)法一:(导数法) 在 上恒成立.224(1)4) 0(1)xxf,1x 在0,1上增， 值域0,1。(fx(法二: , 复合函数求值域.220,)(11xf法三: 用 对号函数 求值域.2()4)22() (1)4xxf x(2) 值域0,1， 在 上的值域 .50ga,52,a由条件,只须 ， .0,12,52a例 3、解：（） ， 解得/()3fxx/(1)3fb32b（）由（）知， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递减又,00,4minmax(1)4,(0),()(2)4,()(4)16ffffff
15、的值域是x16（）令 2()()(1)3,thfxgx要使 恒成立，只需 ，即f0h2)6tx（1）当 时 解得 ；,2)26,tx（2）当 时 ；xR（3）当 时 解得 ；综上所述所求 t 的范围是(,42t8t(,18,)例 4、解：（） 32 2(),()3434)fxaxbfxax令 =0,得 ()f 1240,1因为 ，所以可得下表：ax,0 0,()f+ 0 - 极大 因此 必为最大值, 因此 ， ，)0(f 5）（fb(2)165,(),(1)2faff即 ， ， 162aa.23x）（） ， 等价于 ， 令xxf43)(2 0(txf） 04t，则问题就是 在 上恒成立时，求实
16、数 的取值范围，为此tg)( )gt,x只需 ，即 ， 01（ 05211解得 ，所以所求实数 的取值范围是0，1. 10xx例 5、解： ，由 有 ，即切点坐标为 ，23)(af 32aax),(a),切线方程为 ，或 ，整理得 或)y)(y023yx023yx ，解得 ， ， 。 （1）510)(3|2|a13f)(bg， 在 处有极值， ，即 ，解得 ，bxg )(xg0)1(12)（2）函数 在区间 上为增函数， 在区间 上恒成立，1,03bxg1,，又 在区间 上恒成立， ，即0b)(42m, )(42gm， 在 上恒成立， 的取值范围是 b330(b ,3题型二答案：例 6 解：（
17、1）由题意 在区间 上为增函数，xkxf)1)(2 )f),( 在区间 上恒成立01)(2kxf ,(即 恒成立，又 ， ，故 的取值范围为 k21k1k（2）设 ，3)3)(xxgfh1(1()(2 kx令 得 或 由（1）知 ，0k当 时， ， 在 R 上递增，显然不合题意当 时，k0)(2x)xh 1k， 随 的变化情况如下表：)(hx,()1,(k),( 0)( 极大值 3263k 极小值 21k由于 ，欲使 与 的图象有三个不同的交点，即方程 有三个不同的021k)(xfg 0)(xh实根，故需 ，即 ，解得36230)(12kk212k31k综上，所求 的取值范围为k例 7、解：（
18、1） ，当 a0 时，,6)(2xaxf axf)(21或得递增；,2,0),( 递 减递 增当 a0 时x)0,(0 )2,(a),2(a)f+ 0 0 +12)(xf增 极大值 减 极小值 增此时，极大值为 7 分.314)2(,31)0( 2aafaf 极 小 值 为当 a0 时x)2,()0,(0 ),0()f 0 + 0 减 极小值 增 极大值 减此时，极大值为 因为线段 AB 与 x 轴有公共点所.31)(,314)2(2 afaaf 极 小 值 为以 解得 0)(30)2( af即 4,0,例 8、解：（） 4)(2xxf （）由 3)(.21)(,1( 223 xfxff得 ，
19、由 0)(xf得34x或 x= 1又 4509),()0,327f f在-2，2上最大值 29，最小值 2750（） 4)(2axxf， 由题意知 (2),48,02.6,faa例 9、解：（I）设切点 , ,因为存P),(y0|3(2 xbxf 032bx在极值点，所以 ，即 。 （II）因为 ， 是方程0124baa1的根，23)(xxf所以 ， 。9,ba cxxf9)(23, ；)6f ,30)(xf在 处取得极大值，在 处取得极小值. 函数图像与1,0)(xf1轴有 3 个交点， ，x0)3(7,5c例 10 解：（）设 2(0)fxabxda 其图像关于原点对称，即()()fxf得
20、 332cbxcd 0 bd， 则有 3ac由 2()f ， 依题意得 1f 43ca ，1128f 由得 4,3ac 故所求的解析式为：3()4x.（）由 2()10fx解得： 12x或 ， ),21(),( ,1时，函数 单调递增；设 1,y是 ),(时，函数 fx图像上13任意两点，且 21x，则有 21y过这两点的直线的斜率 210ykx. 例 11、解：（1） 又直线)3(.,1,23)( abbaxf 且的 最 小 值 为6)(,6076 fyx因 此的 斜 率 为 6（2）由（1）知 ，列表如下：2)(, xfx )2,(),( ),(f + 0 0 +f（ x） 极大值 极小值
21、所以，函数 f（ x）的单调增区间是 和)2,(),()12(.,28 ;,28,;, .8)()(,28)(3,)(,10方 程 有 三 根时当 方 程 有 二 根时或当方 程 有 一 根时或当 上 的 极 小 值 是在 上 的 极 大 值 是在 mmfxf fxf例 12、解：（1）由 得 c=1 ，得 1)0(f 31)(0,3 bafbaxf 3,1ba3)(xf（2） 得 ， 时取得极值.由 ， 得)()( f x1),(t),(t . ， ，当 时，.1t,2M3)(2xfg2)xgM， 在 上递减. 又 函数0)(xg)( 1(,的零点有且仅有 1 个f,例 13、解：（I） 又
22、 （II）xkx)(63)(2 ,0)4(kfttf123)(。010;1tfttft 时时 ,355tf8552ax8a解 得例 14、解：（） ， 依题意 ，即 解得23)(bxxf 0)2(1ff,0142ba （）由（）知，曲线 与43,61ba461 )(xfy有两个不同的交点，即 在 上有两个不)02()(xmxg 02436mx,同的实数解。设 ，则 ， 由 0 的 或mx231)()(x4，当 时 ，于是 在 上递增；当 时 ，于1x)1,(x( ,1是 在 上递减. 依题意有 实数 的取值范围是)(0, 12300)(114. 1230m例15、解：f (x)3x 22bxc
23、，由题知 f (1)0 32bc0，f(1)1 1bc21b1，c5，f(x)x 3x 25x2，f(x)3x 22x5f(x)在 ，1为减函数，f (x)在(1，)为增函数b1，c5符合题意3即方程： 恰有三个不同的实解：x 3x 25x2k(x0)kx22即当 x0时，f (x)的图象与直线 yk 恰有三个不同的交点，由知 f (x)在 为增函35,数，f (x)在 为减函数，f (x)在(1，)为增函数，又 ，f (1)1，f 1,35 279)35(f(2)2 且 k2279k例 16、解：（1）由题意 axf2)( 当 1x时， )(xf取得极值， 所以 0)(f012 即 此时当
24、x时， f，当 时， 0)(f，2f是函数 )(x的最小值。 （2）设 )(gf，则 323bx， x31238 分设 xF312， bG)( )(F，令 0)(F解得 1或 3x列表如下：函数 )(xF在 )1,3和 4,(上是增函数，在 )3,1(上是减函数。当 时， 有极大值 35)1F；当 x时, xF有极小值 9)3( 函数 )(f与 g的图象有两个公共点， 函数 )(与 G的图象有两个公共点3520b 或 9b 935,20b 题型三答案：例 17、解：（1）由题意得： 2()3(1),(0)fxaxcaxa在 上 ；在 上 ；在 上(,1)01,)0ff因此 在 处取得极小值fx
25、04 ， ， 4abc()fbc(3)276fbc)1,()3,1()4,3()(x0_ 0 +992015由联立得： ， 169abc32()69fxx（2）设切点 Q ，(,)tf,)yftt23231()yxt21(69ttt过(9)6),m23(mtt3)0g令 ，2(61)ttt求得： ，方程 有三个根。,(g需： )0(2g3940m16故： ；因此所求实数 的范围为： 16m (,)例 18、解：（1）函数 在 时取得一个极值，且 ，()fx2234fxax， (2)40faa2()4()fx或 时， 或 时， 时，3x,3f0,， 在 上都是增函数，在 上是减函数 使()0f(
26、)x2,)3在区间 上是单调函数的 的取值范围是x,2tt2,)（2）由（1）知 设切点为 ，则切线的斜率32()4fxx0(Pxy，所以切线方程为： 将点200()34kf322004)(34)(yx代人上述方程，整理得： ,Ac32008c经过点 可作曲线 的三条切线，方程 有(,)8c()fx2008c三个不同的实根 设 ，则3200()gx， 在 上单调递增，在 上单调20()61gx或 0()g2,)3(,)3递减，在 上单调递增， 故 得： ,(),32g极 大极 小 87c题型四答案：例 19、解：（1）根据导数的几何意义知 由已知-2，4 是方程2()fxaxb的两个实根由韦达
27、定理， ，20xab482()8fx（2） 在区间 上是单调递减函数，所以在 区间上恒有()g1,31,3，即 在 区间上恒成立20fxab2()0fxabn02316xyP11O这只需满足 即可，也即 而 可视为平面区域 内的点到原(1)03f139ab2b139ab点距离的平方由图知当 时， 有最小值 13；2b2例 20、解：（1） 由题意得bxaxf31)(baxf2)(3,14)4)( fxf且令xf3123)()(xf 3,10(2xxf得由此可知x),(1 3,13 ),()(f+ 0 0 + 极大值 5 极小值9 时 取极大值1x当 )(xf3（2） 上是减函数2,在y上恒成立
28、,10)(2在baf 0414ba即作出不等式组表示的平面区域如图当直线 经过点 时 取最小值baz)2,1(Pz23例 21、解：(I)由图象在 处的切线与 轴平行，fx知 ， 3 分0)2(fmn3又 ，故 ， . 4 分 n0(II)令 ,0622 xx得 或 6 分 x易证 是 的极大值点， 是极小值点（如图）. 7 分 0)(f令 ，得 或 . 8 分 )(f 03分类：(I)当 时， ， . 3m0)()(maxff 02nm由，解得 ，符合前提 . 91(II)当 时， , . fxf 24a)()(224由，得 . 记 ,032193)(g ,616)( 22 g 在 上是增函
29、数，又 ， ,mR3m06 在 上无实数根.综上， 的值为 . 0)(, 9m17题型五答案：例 22、解：（） ，由导数的几何意义得 ，于是 由切点2()1afx(2)3f8a在直线 上可得 ，解得 (2,)Pf3y7b9所以函数 的解析式为 ( 8()9fx（）解： 2)1afx当 时，显然 （ ） 这时 在 ， 上内是增函数0a(0()f,0)(,)当 时，令 ，解得 )fxa当 变化时， ， 的变化情况如下表：xx(,a(,0)(,)a(),a)f 0 0 极大值 极小值 所以 在 ， 内是增函数，在 ， 内是减函数(x,)(),(,)(,)（）解：由（）知， 在 上的最大值为 与 的
30、较大者，对于任意的fx1,414ff，不等式 在 上恒成立，当且仅当 ，即 ，对任意1,2a0()f, 0()f394ab的 成立从而得 ，所以满足条件的 的取值范围是 , 74bb7,科网例 23、解：（1） 321()1,fxax2(),fxab由题意 (1)21,fab2.ba .0, 有 两 个 不 等 实 根方 程有 极 值 240,0.b由、可得， 2.2.a又故 ),()2,(（2）存在 8.3由（1）可知 ,)( xfbxf令 ，2212,.xaxa)(11),(212)(2)f+ 0 0 +x单调增 极大值 单调减 极小值 单调增13)(,)(, 222 axxff则取 极
31、小 值时，06302ax或. 0,0,().a若 即 则 舍2 222,(), 4.8,443xaf a 又18)(,38xfa使 得 函 数存 在 实 数 的极小值为 1.例 24、解：（1）21()fac， (0),(1)0ff，102dac，即12dca，从而21()fxax。 ()fx在 R 上恒成立， 4()，即204，解得1,04cd。（2）由（1）知，2()fxx，231()44bhxx，不等式 0)(hf化为104，即2(2bx，()02xb（a）若1，则不等式 )(hf解为12xb；（b）若 2，则不等式 0xf解为空集；（c）若1，则不等式 )(hf解为12bx。例 25、
32、解：（）当 时， ，得 ，且1a3)x(2)f， 2()34fxx(2)5f所以，曲线 在点 处的切线方程是 ，整理得y)， 5y580（）解： 232()faxax22()34(3)faxax令 ，解得 或 由于 ，以下分两种情况讨论()fxx0（1）若 ，当 变化时， 的正负如下表：0a()f3a ， 3a， a()a， ()fx 00因此，函数 在 处取得极小值 ，且 ；f3427f函数 在 处取得极大值 ，且 ()fxa()fa()0（2）若 ，当 变化时， 的正负如下表：0xx ， 3a， 3a， ()f 0019因此，函数 在 处取得极小值 ，且 ；()fxa()fa()0f函数 在 处取得极大值 ，且 f333427a（）证明：由 ，得 ，当 时， ， 1k， cos1kx 2cos1kx由（）知， 在 上是减函数，要使 ，()fx ， ()()ff R只要 即 2coscs()kR 22cosxR设 ，则函数 在 上的最大值为 1() 4gxx()gx2要使式恒成立，必须 ，即 或 所以，在区间 上存在 ，使2k k 1 10， 1k得 对任意的 恒成立(cos)(cos)fkf x
