1、昆明市第一中学 2017 届高中新课标高三第六次考前基础强化理科数学试卷一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合 则2,10,1ABABA. B. C. D.,02,102.若复数 满足 ，则z35izizA. B. C. D.1223.已知点 在椭圆 上，则椭圆的标准方程为3,0,AB21xymnA. B. C. D. 21xy294213xy2154xy4.在等比数列 中，已知 ，则数列是na125,aaA. 递增数列 B. 递减数列 C. 摆动数列 D.常数列5.已知函数 ，若 ，则实数 的l,0xf
2、13ffa值为A. B. C. D.127127ln27ln276.如图， 中的阴影部分是由曲线 与直线 所围成的，向 内随ABCyx0yABC机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为A. B. C. D. 329321697.右边程序框图的算法思路源于数学名著几何原本中的“辗转相除法” ，执行该程序框图（图中 表示 除以 的余数） ，若输入的 分别“aMODbab,ab为 ，则输出的59,24A. B. 0210C. D. 1358.如图所示，某几何体的三视图中，正视图和俯视图都是腰长为 1 的等腰直角三角形，则该几何体的体积为A. B. C. D. 163129.已知函数 是定义在 R 上的
3、增函数，若 ，则实数 的取值范fx24fafaa围是A. B. C. D. ,00,33,03,10.等边三角形 中， 分别是边 上运动，若 ，则 长ABC2,EF,ABC1AEFBCS度的最小值为A. B. C. D.234312311.三棱锥 中， 若该三棱锥的四个顶点在同一PABC5,PBCAB个球面上，且球的表面积为 ，则棱 的长为4A. 3 B. C. D.23212.已知双曲线 与圆 （ 是双曲线的半焦距）21:0,xyCab22:Cxyc相交于第二象限内一点 ，点 在 轴下方且在圆 上，又 分别是双曲线 的左右MNx212,F1C焦点，若 ，则双曲线的离心率为23FA. B. C
4、. D.3132二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 向量 ，若 与 共线，则 .2,1,abx2abx14. 若 满足 ，则 的最大值为 .,xy30421y3zxy15. 已知 的展开式中不含 的项，则 .5ax3a16. 已知函数 与函数 的一个交点为 P，以 P 为切2f21gxxb点分别作函数 的切线 ，若 ，则 的最大值为 .,xg12,l12la三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分 12 分）已知 中， 是 边上的中线.ABC1,3,BDAC（1）求 ； sinD（2）若 ，求 的
5、长.7218.（本题满分 12 分）微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出风靡全国，甚至涌现出了一批在微信朋友圈内销售商品的人（被称为微商）.为了调查每天微信用户使用微信的时间，某销售化妆品的微商在一商业广场随机采访男性、女性用户各50 名，其中每天玩微信超过 6 小时的用户称为“微信控” ，否则称其为“非微信控”.调查结果如下：（1）根据上述数据，能否有 60%的把握认为 “微信控”与“性别”有关；（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出 5 人赠送营养面膜 1 份，求所抽取 5 人中“微信控”和“非微信控”的人数；（3）从（2）中抽取的
6、5 人随机抽取 3 人赠送 200 元的护肤品套装，记这 3 人中“微信控”的人数为 ，求 的分布列和数学期望.X19.（本题满分 12 分）如图，边长为 2 的等边三角形 中, 为 的中点，将 沿 翻折成直二面角ABCDABCD，点 分别是 的中点.BADC,EF（1）求证： 平面 ；/（2）在线段 上是否存在一点 ，使 ？PF若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.P20.（本题满分 12 分）已知动圆 P 过点 ，且在 轴上截得的弦长为 4.2,0Ay（1）求动圆圆心 P 的轨迹 C 的方程；（2）设 是曲线 C 上两个动点，其中 ，且 ，线段12,xyB12x124x的垂直平分线 与
7、 轴相交于点 ，求 面积的最大值.AlQAB21.（本题满分 12 分）设函数 12.xafxe（1）讨论函数 的单调性；（2）若 ，讨论函数 的零点的个数.aefx请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分.22.（本题满分 10 分）选修 4-4：极坐标与参数方程已知曲线 的极坐标方程是 ，以极点为在平面直角坐标系的原点，C2cos4in0极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系 ，直线的参数方程为 （ 为参数）.xxy321xty（1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线 的参数方程化为普通方程；l（2）若直线 与曲线 相交于 A,B 两点，与
8、轴交于点 M,求 的值.l y2MAB23.（本题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 1.fx（1）求不等式 2ffx的解集；（2）若函数 lg3ya的值域为 R，求实数 的的取值范围.a昆明市第一中学 2017 届摸底考试参考答案（理科数学）命题、审题组教师 杨昆华 顾先成 刘皖明 易孝荣 李文清 张宇甜 莫利琴 蔺书琴一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D B B C A D D A B A C C1. 解析： ，选 DAU,102. 解析：因为 ，所以 ，选 B5i32z2z3. 解析：依题意得 ， ，选 B9m24n4. 解析：由已
9、知得公比满足 35128aq，所以 2q，而 1213a，所以132a，故数列 n是摆动数列，选 C5. 解析：因为 1()l03f，所以 ()ln027fa，所以 ()ln27fa， a，选 A6. 解析：由已知可得 、 为曲线 与直线 的交点，易得 、 点坐标CD2yxyCD分别为 、 ，所以阴影部分的面积为(2,4)(1,)， ，所以所求概率为2322 211 9()xxd 1=482ABCS，选 D9867. 解析：辗转相除法是求两个正整数之最大公约数的算法，所以 ，选 D35a8. 解析：由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，底面是腰长为 的等腰直角三角形，高1为 ，所以它的体积 ，选
10、 A 111326V9. 解析：因为 为 上的增函数，所以 ，等价于()fxR22()4fafa，解得 ，选 B224aa03a10. 解析：因为 1sinABCSA，所以 13AEFABCS，设,ExFy，则 3i2AEFxy，所以 4xy，又在 EF中，22cos60x，当且仅当 y时等号成立所以 3EF，选 A11. 解析：设 ，依题意可将三棱锥补成长方体（如图） ，设长方体的长、宽、高分Pt别为 ， ， ，则 ，由于球abc2225abct22250tabc的表面积为 ，可得 ，所以 ，解得34234ab234t，选 C2t12. 解析：由题设知圆 的直径为 ，连结 ， ，则 ，又21
11、2F1M2F12，所以 ，所以 ， ，由双123MFN1261c23c曲线的定义得 - ，即 ，所以 ，选21a(3)ca1eC二、填空题13. 解析：由已知可得 ，因为 与 共线，2(4,1)abx2ab所以 ，解得 40x14. 解析：画出可行域如图所示，目标函数在点 处取得最大值，A而 ，故 的最大值为 5,2A3zxy115. 解析：555522 21 12xaxaxax，其中含 的项的系数为: 324125580C，所以 316. 解析： ()fx， g()xa，设 0,Pxy，cbaABPCD CBA则 000()g2fxxa241a，即 20421xxa，而 0()fx，所以 2
12、00xb，所以 25b即 205xx，所以15ab，所以 3a，所以294a，当且仅当 32ab时等号成立，即 的最大值为 94三、解答题17. 解：() 因为 BD是 AC边上的中线，所以 ABD的面积与 C的 面积相等，即 11sinsin22C，所以 si3nABDC 5 分（）利用余弦定理，在 中，22cosABDBADB在 C中， 2cosCDC，因为 ，且 ，所以 22sBABAB +得 2D，所以 12， 所以 1A 12 分18. 解析：（）由列联表可得 的观测值为2K2 2()10(6304).690.78)(5nadbck所以没有 的把握认为“微信控”与“ 性别”有关 60
13、% 4 分（）依题意可知，所抽取的 位女性中， “微信控”有 人， “非微信控”有 人 532 6 分（） 的所有可能取值为 ， ， X123， ， 1235C()0P2135C()PX35C1()0PX10 分所以 的分布列是：X123P303510所以 的数学期望是 X9101)( XE 12 分19. 解：（）证明：因为点 ， 分别是 ， 的中点，所以 FABC/EFBC又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 BCDEDE/D5 分（）假设存在点 满足条件以 为坐标原点，以直线 分别为P,A轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得 ，xyz (0,)， ， ， ，设 ，则(0,
14、3)A(1,0)B(,10)C3(,)2FAPB，由 ，得 ，,1PPD0即 ，33(,)(0,)22(1)解得 ，故在线段 上存在点 ，使 且 2ABPCDF2APB12 分20. 解析：（）设 ， ，则由垂径定理得 ，化简得(Px)y 22()xyx，所以曲线 的方程是： 24yC244 分（）依题意可知直线 的斜率存在且不为零，所以设直线 ：ABAB， 并联立方程 消 得 ，因为(0)ykxm24yx240kymzyxFEABCD ，且 ，又01mk124yk124myk， 由此得 把代入得 122()4yxkm21 6 分设线段 的中点为 ，则 ， ，则直线 ： ，ABM(2)kl1(
15、2)yxk令 ， ， 04(yxQ0)8 分设直线 与 轴相交于点 ，则 ， 所以ABD(mk0)1242ABQmSyk21124()42myyk把代入化简得 ， ABQS221()k10 分设 ，由知 ，且 ， ，令21kt0t22tkABQS314t()ft， ，当 时， ，当34t 2()1()1fttt0tft0时， ，所以当 时，此时 ，函数 的最大值为 ，因10k()f(1)8此 的面积的最大值为 ，此时直线 的方程为 ABQ8AByx12 分 21. 解: （）函数 ()fx定义域为 (,)， 11(e(e)xxfa， 2 分1 0a，当 x时， ()0fx；当 x时， ()0f
16、x， 所以函数 ()f在 ,上单调递减，在 ,单调递增 3 分 0a，令 ()0fx得 或 1ln()xa， 1e时， 1e)0x，所以函数 (fx在 ,上单调递增；当 10ea时， 1ln()0a，当 1ln()xa或 0x时， ()0fx，当ln()x时， fx，所以函数 f在 ,1lna， ,上单调递增，在1l,0a单调递减； 当 e时， 1ln()0a，当 1ln()xa或 0x时， ()0fx，当 1ln()xa时，()0fx，所以函数 fx在 ,， ,上单调递增，在 ,单调递减； 6 分（）当 a时，函数 1()exf只有一个零点 1x； 7 分当 0时，由（）得函数 ()fx在
17、,0单调递减，在 0,单调递增，且1()ef， ()02af，取 03且 01lnxa，则200(1)fxx，所以函数 ()fx有两个零点；9 分当 1ea时，由（）得函数 fx在 0,单调递增，且 1(0)ef，(2)f，而 0x时， ()0fx，所以函数 ()f只有一个零点 当 1ea时，由（）得函数 x在 0,1ln()a单调递减，在 1ln(),a上单调递增， 且 (ln)(efaf， 2293ee0f，而 x时，()0fx，所以函数 x只有一个零点 12 分第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分22. 解：（）曲线 C的极坐标方程是 2cos4in0，化为直
18、角坐标方程为240xy，直线 l的普通方程为 3xy 5 分（）将 l的参数方程代入曲线 的直角坐标方程，得 2310tt，点 M对应的参数 0t，设点 A、B 对应的参数分别为 1、 2，则 123t， 123t，所以 EAB212112463tttt2163MAB 10 分23. 解：（）由已知不等式 2xffx，得 1x，所以显然 ，0x1x201或 2， 解得： 2x或 ，所以不等式 2xffx的解集为 , 5 分（）要函数 lg3yfxfa的值域为 R，只要 21x能取到所有的正数，所以只需 gx的最小值小于或等于0，又 2130gxaxa，所以只需 ，即30a， 3a所以实数 a的取值范围是 ,3
