1、初中一年级(上)数学竞赛辅导资料（1）,辅导资料,初中一年级(上)数学竞赛辅导资料（1） 数的整除（一） 甲内容提要： 如果整数A除以整数B(B0)所得的商A/B是整数，那么叫做A被B整除。0能被所有非零的整数整除 一些数的整除特征,能被7整除的数的特征： 抹去个位数 减去原个位数的2倍 其差能被7整除 如 1001 100298（能被7整除） 又如7007 70014686， 681256（能被7整除） 能被11整除的数的特征： 抹去个位数 减去原个位数 其差能被11整除 如 1001 100199（能11整除） 又如10285 102851023 102399（能11整除） 乙例题 例1已
2、知两个三位数,和,的和仍是三位数,且能被9整除 求x，y 解：x，y都是0到9的整数，,能被9整除，y6 328,567，x3 例2己知五位数,能被12整除， 求X 解：五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，当1234X能被3整除时，x2，5，8当末两位,能被4整除时，X0，4，8X8 例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数 解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，,但（124）（03）4，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可， 五位数字都不相同的最小五位数是10263,丙练习 分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积） 593 18
3、59 1287 3276 10101 10296 若四位数,能被3整除，那么a_ 若五位数,能被11整除，那么X_ 当 m_时，,能被25整除 当 n_时，,能被7整除 能被11整除的最小五位数是_，最大五位数是_ 能被4整除的最大四位数是_，能被8整除的最小四位数是_ 8个数：125，756，1011，2457，7855，8104，9152，70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）： 6_，8_，9_，11_ 从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_个 能被3整除但不是5的倍数的共_个 由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有
4、几个？为什么？ 己知五位数,能被15整除，试求A的值 求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数 在十进制中，各位数码是0或1，并能被225整除的最小正整数是（1989年全国初中联赛题）,倍数，约数,仔细看看这些提要，有什么要注意的吗？,甲内容提要 1两个整数A和B（B0），如果B能整除A（记作BA）,，那么A叫做B的倍数，B叫,做A的约数例如315，15是3的倍数，3是15的约数,2因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。,0是任何非0整数的倍数，0是,任何非0整数的倍数,如0是7的倍数，7是0的约数,3整数A（A0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，A，2A，,都
5、是A的倍数，例如5的倍数有5，10，,4整数A（A0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括1,和A例如6的约数是1，2，3，6,5通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数 6公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质） 7在有余数的除法中，被除数除数商数余数 若用字母表示可记作：ABQR，当A，B，Q，R都是整数且B0时，AR能被B整除 例如23372 则232能被3整除 乙例题 例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以 应用：2，22，23，24，3，32，33，34，23，223，2232 解：
6、列表如下,其规律是：设Aambn (a，b是质数，m，n是正整数),那么合数A的正约数的个是（m1）(n1) 例如求360的正约数的个数 解：分解质因数：36023325，360的正约数的个数是（31）（21）（11）24（个） 例2用分解质因数的方法求24，90最大公约数和最小公倍数 解：24233，902325 最大公约数是23， 记作（24，90）6最小公倍数是23325360， 记作24，90360 例3己知32，44除以正整数N有相同的余数2，求N 解：322，442都能被N整除，N是30，42的公约数（30，42）6，而6的正约数有1，2，3，6 经检验1和2不合题意，N6，3 例
7、4一个数被10余9，被9除余8，被8除余7，求适合条件的最小正整数,分析：依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除，,所以所求的数是10，9，8的最小公倍数减去1,可以这样解,解： 10，9，8360， 所以所求的数是359,在这些案例中你有什么发现？,最后一个练习，请同学们做好后交给组长批阅。,1：12的正约数有_，16的所有约数是_,2：分解质因数300_，300的正约数的个数是_,3：用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数,4：一个三位数能被7，9，11整除，这个三位数是_,5：能同时被3，5，11整除的最小四位数是_最大三位数是_,初中一年级(上)数学竞赛
8、辅导资料（4）,零的特性,甲内容提要 零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数 零是自然数，是整数， 是偶数 零是表示具有相反意义的量的基准数 例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高 收支衡可记作结存0元,零是判定正、负数的界限 若a 0则a是正数，反过来也成立，若a是正数，则 a0 记作 a0,a是正数 读作a0等价于a是正数b0,b 是负数c0,c是非负数（即c不是负数，而是正数或0）d0,d是非正数 (即d不是正数，而是负数或0)e0,e不是0（即e不是0，而是负数或正数,在一切非负数中有一个最小值是0 例如 绝对值、平方数都是非负数，它们的最小值都是0 记作：|
9、a|0，当a0时，a的值最小，是0， a20，a2有最小值0（当a0时） 在一切非正数中有一个最大值是0 例如 |X|0，当X0时，|X|值最大，是0，（X0时都是负数），（X2）20，当X2时，（X2）2的值最大，是0 二，零具有独特的运算性质 乘方：零的正整数次幂都是零 2，除法：零除以任何不等于零的数都得零； 零不能作除数从而推出，0没有倒数，分数的分母不能是0 乘法：零乘以任何数都得零 即a00， 反过来 如果 ab0，那么a、b中至少有一个是0 要使等式xy0成立，必须且只需x0或y0 加法 互为相反数的两个数相加得零反过来也成立即a、b互为相反数,减法 两个数a和b的大小关系可以用
10、它们的差的正负来判定， 若ab0，则ab； 若ab0，则ab； 若ab0，则ab 反过来也成立，当ab时，ab0；当ab时，ab0；当ab时，ab0 三，在近似数中，当0作为有效数字时，它表示不同的精确度 例如 近似数1.6米与1.60米不同，前者表示精确到0.1米（即1分米），误差不超过5厘米； 后者表示精确到0.01米（即1厘米）， 误差不超过5毫米可用不等式表示其值范围如下： 1.55近似数1.61.65 1.595近似数1.601605,乙例题 例1两个数相除，什么情况下商是1？是1？ 答：两个数相等且不是0时，相除商是1；两数互为相反数且不是0时，相除商是1 例2绝对值小于3的数有几
11、个？它们的和是多少？为什么？ 答：绝对值小于3的数有无数多个，它们的和是0因为绝对值小于3的数包括大于3并且小于3的所有数， 答：根据任何数乘以0都得0，可知当X0时，Y可取任何数； 当Y1时，X取任何数等式X（Y1）0都是能成立互为相反数相加得零，而X30，（Y2）20,， 它们都必须是0，即X30且Y20， 故当X3且Y2时，等式X（Y2）2 0成立,丙练习4 有理数a和b的大小如数轴所示： b 0 a 比较下列左边各数与0的大小（用、号連接） 2a_0， 3b_0， _0， _0， a2_0， b3_0， ab_0， ab_0， ab_0， (2b)3_0， _0， _0 a表示有理数，下列四个式子，正确个数是几个？答：个 a|a， a2 a2， aa， a1a x表示一切有理数，下面四句话中正确的共几句？答：句 （x2）2有最小值0， x3|有最大值0， 2x2有最大值2， 3x1有最小3 绝对值小于5的有理数有几个？它们的积等于多少？为什么？ 要使下列等式成立，字母X、Y应取什么值？ 0， X（X3）0， X1（Y3）20 下列说法正确吗？为什么？ a的倒数是 方程（a1）X3的解是Xn表示一切自然数，2n1表示所有的正奇数 如果ab， 那么m2am2b (a 、b 、m都是有理数 ) X取什么值时，下列代数式的值是正数？ X（X1） X（X1）（X2）,
