1、图示曲线为一旋轮线，其参数R为已知。图中M点处的曲率半径为 .,答案：1. v/l2. A、B的轨迹均为旋轮线（或称摆线、圆滚线）3. mv2/2l 解题思路同“杆的下落.doc”,题：在录音机或连续印刷机中，磁带（或纸张）以匀速 v 运动。设以 r 表示磁带盘（纸筒）的半径， b 表示磁带的厚度。试导出磁带盘角加速度的表达式。,解：设初始时纸筒半径为r 0，在任一瞬时t ,纸筒半径为 r ，角速度为w，纸筒已转过的圈数为n，(不一定为整数）则有,因 v 和 b 为常量，故有,又因,所以,角加速度,巩固题：一张致密光盘（CD）音轨区域的内半径R1=2.2cm，外半径为R2=5.6cm，径向音轨
2、密度 N=650条/mm。在 CD唱机内，光盘每转一圈，激光头沿径向向外移动一条音轨，激光束相对光盘是以v=1.3m/s的恒定速度运动的。问：（1）这张光盘全部放音时间是多长？（2）激光束到达离盘心R=5.0cm处时，光盘转动的角速度和角加速度是多少？,答：（1）69.4 min（2）,题AC、BD两杆各以匀角速度w分别绕距离为l的A、B轴作定轴转动，转向如图。小圆环M套在 AC及 BD杆上。在某一瞬时a=b=60，求小圆环 M在任意瞬时的速度和加速度。,题AC、BD两杆各以匀角速度w分别绕距离为l的A、B轴作定轴转动，转向如图。小圆环M套在 AC及 BD杆上。在某一瞬时a=b=60，求小圆环
3、 M在任意瞬时的速度和加速度。,向垂直于AC方向投影：,解1：,方向：与x轴正向之间的夹角为2a+60,求得：,同理可求加速度。,题AC、BD两杆各以匀角速度w分别绕距离为l的A、B轴作定轴转动，转向如图。小圆环M套在 AC及 BD杆上。在某一瞬时a=b=60，求小圆环 M在任意瞬时的速度和加速度。,解2：因,所以 M点的运动轨迹为一圆周，圆心为O,不难算出圆的半径,因AOE为空间固定直线，所以,例 如图，两辆汽车均匀速前进。A车沿直线行驶，B车沿圆周行驶。OA=x0-vAt,=t，x0=3000m, vA=10m/s, =0.05rad/s,圆周半径R=1000m，求： （1） t=0瞬时A
4、车上的乘客看到的B车的相对速度； （2）t=0瞬时B车上的乘客看到的A车的相对速度。,A,R,B,O,例5 OA=x0-vAt,=t，x0=3000m, vA=10m/s, =0.05rad/s, R=1000m，求： t=0瞬时：(1) A车上的乘客看到的B车的相对速度；(2)B车上的乘客看到的A车的相对速度。,解：（1）求t=0瞬时B车上的乘客看到的A车的相对速度,1、选择动点与动系,2、分析三种运动和速度,4、求解未知量,3、作速度平行四边形，如图。,动点A车；,动系固结于B车上；,绝对运动沿OA的直线运动,相对运动规律未知,牵连运动车B绕O的定轴转动,R,A,B,O,例5 OA=x0-
5、vAt,=t，x0=3000m, vA=10m/s, =0. 05rad/s, R=1000m，求： t=0瞬时：(1) A车上的乘客看到的B车的相对速度；(2)B车上的乘客看到的A车的相对速度。,解：（2）求t=0瞬时A车上的乘客看到的B车的相对速度,1、选择动点与动系,2、分析三种运动和速度,4、求解未知量,3、作速度平行四边形，如图。,动点B车；,动系固结于A车上；,绝对运动以R为半径的圆周运动,相对运动规律未知,牵连运动车B的直线平动,R,A,B,O,例5 OA=x0-vAt,=t，x0=3000m, vA=10m/s, =0. 05rad/s, R=1000m，求： t=0瞬时：(1
6、) A车上的乘客看到的B车的相对速度；(2)B车上的乘客看到的A车的相对速度。,讨论：,R,A,B,O,（1）由计算结果：,可知： 在不同车上观察到的相对速度截然不同。,讨论：,A,B,（2）更进一步，可编程作出两车乘客所观察到的相对运动轨迹。,动点为A，动系固结在B车时：,讨论：,A,B,x,y,动点为B，动系固结在A车时，相对运动轨迹为：,题： 设Oxy是固定坐标系。系统由三根不计半径的细杆构成，初始时刻CD杆沿z轴；OB杆长为a，沿x轴正方向；AB杆长为l，开始时先与z轴平行，绕x轴负方向转动角后，把这三根杆件焊成一个整体，如图所示。 假设在yz平面内有一张纸存在，为了能让系统持续地绕z
7、轴以匀角速度转动，需要在纸上挖出某种形状的空隙让AB杆通过（这里只考虑AB杆）。,（1）如果a=0，求空隙的函数表达式0，并 画出示意图。 （2）如果a0，求空隙的函数表达式a，并 画出示意图。0与a有何关系？ （3）当a0时，设P是AB杆与yz平面的交点， 当点P位于AB杆中点且yP0时，如果要 求P点的速度和加速度，你如何考虑？ 取a=1m，l=4m，=/6，=1rad/s， 速度和加速度是多少？,初始时刻的系统位置,P点轨迹是双曲线（的一部分），,（3）设P是AB杆与yz平面的交点，当点P位于AB杆中点且yP0时，求P点的速度和加速度？取a=1m，l=4m，=/6，=1rad/s,（3）
8、求P点的加速度？取a=1m，l=4m，=/6，=1rad/s,分离变量积分，易得：,轨迹为对数螺线,题. 三名舞蹈演员在舞台上（视作平面上三点）组成一正三角形。音乐一开始，每一演员即朝向右侧的另一演员以常速率 v 缓慢前进。问演员走过的轨迹是什么曲线？求某点处的曲率半径。,解: 设三名演员初始时位于A0、 B0、 C0 ，他们之间的距离为a 任意瞬时他们的位置如图。知，三角形ABC仍是正三角形,动系：绕O做定轴转动，角速度与人所在的三角形的角速度相同,动点：A,绝对运动：未知曲线，但va的大小和方向均已知,牵连运动：定轴转动,相对运动：直线运动,动系：绕O做定轴转动，角速度与人所在的三角形的角
9、速度相同,动点：A,？,0,？,0,式（*）向x轴投影,题. 绕铅直轴以等角速度w缓慢旋转的封闭圆舱中，站在舱底盘的实验者感不到自己的运动，但抛出的小球的运动却不服从牛顿运动定律。设实验者站立处A距底盘旋转中心O的距离为 r ，请你替他设计一个抛球的初速度（大小vO，方向与OA的夹角为a ），使得球抛出后能返回来打到实验者身上。试写出vO ， a应满足的条件，画出小球相对轨迹示意图（不考虑小球在铅垂方向的运动，例如，认为小球在光滑的舱底盘上运动）。,解: (1) 在定坐标系中考虑问题。小球以绝对速度 v 沿直线 A B运动，如果小球到达 B时，实验者也随底盘沿着 弧线到达B，则小球打在实验者身
10、上。,解: (2) 条件为给定 q ，即可求出v ，即问题有多解。当给定v, q时，可用速度合成定理求相对速度vO及方向a 。,(3)小球相对轨迹示意如图.,题：如图,AB杆的A端沿圆槽O运动,B端与轮轴铰接。轮轴沿直线轨道只滚不滑。圆槽O半径为R，轮轴内外半径分别为R1、 R2 。AB长为L。图示瞬时，已知A点速度vA，AB杆中点M的切向加速度为零。则此瞬时：（l） P 点的速度vP大小为 。（2）M 点的加速度大小为 。,题. 在运动学中，轨迹是个重要概念，但简单机构也可能有复杂的轨迹曲线。如图，小齿轮O1在大齿轮O内作纯滚动。其中大齿轮半径为R，小齿轮半径为r,E是小齿轮上的偏心点，偏心
11、距为e。求小齿轮上偏心点E的轨迹。并讨论轨迹的特点。 解：,讨论： （a）若x为无理数，则轨迹曲线不封闭； （b）若x为有理数，则轨迹曲线封闭。进一步，设 ，m，n为不可约自然数，则曲线的周期为2n p 。或小齿轮转n 圈后曲线重合。并且曲线有m个尖点或花瓣； （c）h= 1时曲线有尖点。 h 1时尖点变为圆凸， h l时曲线的尖点变为花瓣。 h = 0时曲线为圆； （d） x =2， h =1时曲线退化为直线。 x =1，曲线退化为一个点。,运动学反问题：1、设计一个机构，使其能画出一条直线（可参考上例讨论d） 2、设计一个机构，使其能画出一个椭圆（哈工大理论力学第7版例5-1） 3、设计一个机构，使其能画四叶玫瑰线（下图）：（可参考上例讨论b）,
