1、331*7.5 二部图及匹配 7.5.1 二部图在许多实际问题中常用到二部图，本节先介绍二部图的基本概念和主要结论，然后介绍它的一个重要应用匹配。定义 7.5.1 若无向图 的顶点集 能分成两个子集 和 ，满足,GVE1V2（1） ， ；12V12（2） ，均有 ， 。(,)euv1u2v则称 为二部图或偶图(Bipartite Graph 或 Bigraph)， 和 称为互补顶点子集，常记为G12。如果 中每个顶点都与 中所有顶点邻接，则称 为完全二部图或完全偶12,E1 G图(Complete Bipartite Graph)，并记为 ，其中 。,rsK12,Vs由定义可知，二部图是无自回
2、路的图。图 7-55 中， 都是二部图，其中 是完全二部图(),()abcde(),()bcde。1,32,43,K图 7-55 二部图示例显然，在完全二部图中 中，顶点数 ，边数 。,rsKnrsmrs一个无向图如果能画成上面的样式，很容易判定它是二部图。有些图虽然表面上不是上面的样式，但经过改画就能成为上面的样式，仍可判定它是一个二部图，如图 7-56 中 可改画()a成图 ，图 可改画成图 。可以看出，它们仍是二部图。()bc()d图 7-56 二部图示例332定理 7.5.1 无向图 为二部图的充分必要条件为 中所有回路的长度均为偶数。,GVEG证明 先证必要性。设 是具有互补节点子集
3、 和 的二部图。 是 中任一长度为 的回12121(,)kvv k路，不妨设 ，则 ， ，所以 必为偶数，不然，不存在边 。1v2mmv1(,)v再证充分性。设 是连通图，否则对 的每个连通分支进行证明。设 只含有长度为偶数的GG,GVE回路，定义互补节点子集 和 如下：任取一个顶点 ，令1V20v()(,)vVd为 偶 数21现在证明 中任意两节点间无边存在。 1假若存在一条边 ，且 ，则由 到 间的最短路（长度为偶数） ， 边(,)ijvE,ij 0vi和 到 间的最短路（长度为偶数）所组成的回路的长度为奇数，与假设矛盾。 (,)ijvj0同理可证 中任意两节点间无边存在。 2V故 中的每
4、条边必具有形式 ，其中 ， ， 即 是具有互补节点子集G(,)ijv1iV2jG和 的一个二部图。 12利用定理 7.5.1 可以很快地判断出图 7-57 中的 、 是二部图，而 则不是二部图。()ac()b图 7-57例 7.5.1 六名间谍 被擒，已知 懂汉语、法语和日语， 懂德语、俄语和日,abcdefab语， 懂英语和法语， 懂西班牙语， 懂英语和德语， 懂俄语和西班牙语，问至少用几个c f房间监禁他们，能使在一个房间里的人不能直接对话。 解 以六人 为顶点，在懂共同语言的人的顶点间连边得图 （如图 7-58,f G所示） ，因为 中没有奇圈，所以 是二部图（如图 7-58 所示） ，
5、故至少应有两间房间()aGG()即可。 333图 7-587.5.2 匹配二部图的主要应用是匹配， “匹配”是图论中的一个重要内容，它在所谓“人员分配问题”和“最优分配问题”等运筹学中的问题上有重要的应用。首先看实际中常碰见的问题：给 个工作人员安排 项任务， 个人用nmn表示。并不是每个工作人员均能胜任所有的任务，一个人只能胜任其中12,nVx个任务，那么如何安排才能做到最大限度地使每项任务都有人做，并使尽可能多的人()k有工作做？例如，现有 五个人， 五项工作。已知 能胜任 和 ，12345,x12345,yy1x1y2能胜任 和 ， 能胜任 和 ， 能胜任 和 ， 能胜任 、 和 。如何
6、安2x2y24x13345排才能使每个人都有工作做，且每项工作都有人做？显然，我们只需构造这样的数学模型：以 和 （i，j =1，2，3，4，5）为顶点，在i与其胜任的工作 之间连边，得二部图 ，如图 7-59 所示，然后在 中找一个边的子集，i j GG使得每个顶点只与一条边关联（图中粗线） ，问题便得以解决了。这就是所谓匹配问题，下面给出匹配的基本概念和术语。图 7-59 匹配问题示意图定义 7.5.2 设无向图 ， 中有边集 ，且在 中任意两条边都没有公,GVEME共的端点，称边集 为图 的一个匹配(Matching)。 中一条边的两个端点，叫做在 下MM是配对的。如果 中不存在匹配 ，
7、使得 ，则称 为最大匹配(Maximum 11Matching)。对于 的一个匹配 ，若节点 与 中的边关联，则称 是 饱和的(Saturated)，否则vv称 是 不饱和的。v定义 7.5.3 设二部图 ， 是 的一个匹配。若 ， 均是 饱和的，12,GVEG1Vv则称 是 对 的完全匹配（简称 完全匹配） ；若 ， 均是 饱和的，则称1V2 2是 对 的完全匹配（简称 完全匹配） 。若 既是 完全匹配，又是 完全匹M2 2M12配（即图 的每个顶点都是饱和的） ，则称 是完全匹配 (Complete Matching)。显然，完全匹配是最大匹配，但反之不然。例 7.5.2（1）在图 7-5
8、9 中，边集 是一个匹12354354(,),(,),(,)xyxyxy配，而且是是一个最大和完全匹配。（2）在图 7-60 中，边集 和 ，()a157982167(,9都是图 的最大匹配，也是 完全匹配，但不是完全匹配。在图 7-60 中，边集(4,8)GV)b334是完全匹配。(1,4)25,(36)M图 7-60为了寻求二部图的最大匹配，下面交替路和可扩路两个概念。定义 7.5.4 设 是一个二部图， 是图 的一个匹配， 是 中的一条路，12,GVEMGLG如果 是由属于 和不属于 的边交替出现组成，则称 为 的 交替路(Alternating Path)。LML如果交替路 的始点和终
9、点都是 不饱和点，则称 为 的 可扩路( Extensible Path)。M例如，在图 7-60 中，对于匹配 ，路 ， ，()a(1,6)27,39)1:62732:94， 都是 交替路，其中 的始点和终点都是 不饱和点，所以3:594:16273944这两条路是 可扩路。可扩路具有如下性质：可扩路的长度必为奇数，且属于 的边比不属于 的边少 1 条。如果在一条可扩路中把属于 中的边从匹配中去掉，把不属于 中的边添入到匹配中， 则得到新的匹配 ， 的边数比 多。例如，在图 7-60 中，对于匹配1M()a， 是 可扩路，将 中属于 中的边 ，(,6)27,(39)4:562739LM4LM
10、(,6)， 从匹配 中去掉， 把不属于 中的边 添入到匹配5,162,7394中，则得到新的匹配 ， 中的边数由 中的 3 条增至 41(,),(),条。如果图中还存在可扩路， 再按上面的步骤做， 所得到的匹配的边数又多，一直到图中不存在可扩路为止。用此方法可逐步得到较大的匹配，直至得到最大匹配。这就是下面G的定理。 定理 7.5.2 在图 中， 为最大匹配的充分必要条件是不存在可扩路。证明 先证必要性。用反证法。假设 中存在一条 可扩路，则可以得到比 的边数多的匹配，与 为GMMM最大匹配矛盾。所以 中不存在 可扩路。再证充分性。用反证法。假设 不是最大匹配，则存在匹配 ，使得 。令11（
11、为对称差运算） ，设由 导出的 的子图 ，因为 和21M2G2H都是 的匹配，所以 的任意顶点或是只与 （或 ）中的一条边相关联，或是同时1H与 的一条边及 的一条边相关联，其度数至多为 2，于是 的每个连通分支或者是一个边交错地属于 与 的长度为偶数的回路，或者是边交错地属于 与 的长度为奇数的1 M1交错路。 由于 ，因而 中必有一个连通分支 ，它所含的属于 的边比属于MP的边多， 不是回路（因为回路的长度均为偶数） ，它的起点和终点都是 不饱和的，也P一定是 中的 不饱和点，因此在 中存在关于 的可扩路，这与假设矛盾。 GG求一般图的最大匹配过程比较复杂，下面仅讨论如何在二部图中求最大匹
12、配的问题。设二部图 ，在 中求最大匹配的关键是寻找可扩路。通常是先构造 的12,VE G一个匹配 ，再看 中有没有 不饱和点。 如果没有，那么 肯定是最大匹配了；如果有，335我们就从这些点出发找 可扩路，由 可扩路做出一个更大的匹配。寻找 可扩路的一个MM有效方法是标记法， 其过程如下： 首先在 中作一个匹配 ，用（*）标记 中所有 不饱和点， 然后交替地进行以下G1V步骤（）和（） 。 （）选一个 的新标记过的节点，比如 ， 用（ ）标记不通过 中的边与 邻接1Vixi ix且未标记过的 的所有节点。 对 所有新标记过的节点重复这一过程。 21（）选一个 的新标记过的节点，比如 ， 用（
13、）标记通过 中的边与 邻接jyjyjy且未标记过的 的所有节点。对 所有新标记过的节点重复这一过程。 12执行以上步骤， 直至标记到一个 中的 不饱和点。从该节点倒向追踪到标记有（*）VM的节点，就得到一条 可扩路。于是也就得到一个边数为 | |的匹配， 再返回（） 。 M如果已不可能标记更多的节点，而 的所有标记的节点均为 饱和点，则说明 中已不存在2 G可扩路，这时 就是最大匹配。 例 7.5.3 图 7-61 是一个二部图， 求其最大匹配。 ()a图 7-61解 取图 7-61 图 的一个匹配 。用（ *）标记 中所有 不饱和()a3152(,),Mxy1VM点 。124,x（1）选 的
14、新标记过的节点 ，用（ ）标记不通过 中的边与 邻接且未标记过的1V1 x的节点 ；类似地，用（ ）标记 。y2x2(2) 选 的新标记过的节点 ， 用（ ）标记通过 中的边与 邻接且未标记过的2y1M1y的节点 ；类似地，用（ ）标记 。13x25(3) 选 的新标记过的节点 ，因为不存在不通过 中的边与 邻接的 的节点，所13x3x2V以不用（ ）标记 的节点；用（ ）标记 或 ，假定用（ ）标记 。2V3y45y是 不饱和点，标记结束。3yM从 倒向追踪到标记有（*）的节点，就得到一条 可扩路 或 ，取前234253者，由此得匹配 。 123153(,),(,)xyx对匹配 再用标记法（
15、见图 7-61 知， 图中已不存在 可扩路，所以 就是最大b1M1匹配。 定理 7.5.3（霍尔定理） 二部图 有 完全匹配，当且仅当对 中任一子12,GVE1 V336集 ，和所有与 邻接的点构成的点集 ，恒有A()NA证明 先证必要性。假设 是二部图 的一个 完全匹配，则 中的每个M12,GVE11V顶点均是 饱和的。对 的任一子集 ，因 的每个顶点在 下和 中不同的顶点配1VM()NA对，所以有 。()NA再证充分性。假设 是满足对任何 的子集 ， 的二部图，但 中没有使1A()G中每个顶点饱和的完全匹配，设 是 的一个最大匹配，由假设， 不使 中所有顶点1V 1饱和。设 是 中的 不饱
16、和点，并设 是与 有关于 交错路相连通的所有顶点的集合。v11Bv1由于 是一最大匹配，由定理 7.5.2 可知： 为 中唯一的 不饱和点。 M令 = ， ，显然， 中的顶点都关于 饱和，即它与 中的顶点AB2TVMT在 下配对，于是 ，且 ，又因 中的每个顶点有关于 交错路1A()NT()A1与 相连通，因此 ，所以v()1与假设 矛盾。()N例 7.5.4 设有 4 个人 ，现有 5 项工作 需要做，每个人所能胜1234,x12345,yy任工作的情况如图 7-62 所示，问能否使每个人都能分配到一项工作？图 7-62解 这个问题即为：二部图 是否存在 完全匹配。当取 = 时，12,GVE
17、1VA134,x= ，因此 ，根据霍尔定理，二部图没有 完全匹配，所以要使每()NA25,y()NA1个人都能分配到一项工作是不可能的。习题 7.51求下面两个二部图的最大匹配。图 7-633372假定 是二部图，如何安排 中顶点的次序可使 的邻接矩阵呈 GGG0BC形式，0 为零矩阵。3某单位有 7 个工作空缺 要招聘，有 10 个应聘者 。1234567,pp1210,a他们能胜任的工作岗位集合分别为： ， ， ， ，2,34,p5p， ， ， ， ， 。如果规定每个应聘者最多只能安排一个67,p323,1工作，试给出一种分配方案使落聘者最少？4设 图 是二部图，证明 。(,)nmG24n
18、m7.6 平面图7.6.1 平面图的定义在一些实际问题中，常常需要考虑一些图在平面上的画法，希望图的边与边不相交或尽量少相交。如印刷电路板上的布线、线路或交通道路的设计、地下管道的铺设等。下面举一个简单的例子。 例 7.6.1 一个工厂有 3 个车间和 3 个仓库。 为了工作需要， 车间与仓库之间将设专用的车道。为避免发生车祸，应尽量减少车道的交叉点，最好是没有交叉点，这是否可能？如图 7-64 所示， ， ， 是 3 个车间， ， ， 是 3 座仓库。经过努力表明，()aABCMNP要想建造不相交的道路是不可能的，但可以使交叉点最少（如图 7-64 所示） 。此类实际问()b题涉及到平面图的
19、研究。近年来，由于大规模集成电路的发展，也促进了平面图的研究。本节介绍平面图的一些基本概念和常用结论。图 7-64定义 7.6.1 设 是一无向图。如果能把 的所有节点和边画在平面上，使得任,GVEG何两条边除公共端点外没有其他的交点，则称 是一个平面图(Planar Graph)，或称该图能嵌入平面；否则，称 是一个非平面图。直观上说所谓平面图就是可以画在平面上，使边除端点外彼此不相交的图。应当注意，有些图从表面上看，它的某些边是相交的，但是不能就此肯定它不是平面图。 338图 7-65 平面图和非平面图示例例如，图 7-65 是无向完全图 ，它是平面图。图 7-65 是无向完全图 ，它表面
20、()a3K()b4K上看有相交边，但是把它画成图 ， 则可以看出它是一个平面图。图 是平面图。图()c ()d经改画后得到图 ，图 经改画后得到图 ，由定义知它们都是平面图。而图 、()efg()h()i是无向完全图 ， 和图 7-64 中的两个图 ，无论怎样调整边的位置，都不能使任何j5 3,两边除公共端点外没有其他的交点，所以它们不是平面图，它们是两个最基本、最重要的非平面图，在平面图理论的研究中有非常重要的作用。设 是平面图， 的以无交边的方式画在平面上的图称为平面图 的平面嵌入G G(Imbedding)。如图 7-65 中的 、 、 分别为图 、 、 的平面嵌入。()cf()h()b
21、e()g关于平面图，以下两个结论是显然的。定理 7.6.1 若 是平面图，则 的任何子图是平面图。G定理 7.6.2 若 是非平面图，则 的任何母图是非平面图。推论：无向完全图 和二部图 都是非平面图。(5)nK3,()nK定义 7.6.2 设 是平面图。将 嵌入平面后，由 的边将 所在的平面划分为,VEG若干个区域，每个区域称为 的一个面(Face)。其中面积无限的面称为无限面或外部面(Exterior Face)，面积有限的面称为有限面或内部面 (Interior Face)。包围每个面的所有边组成的回路称为该面的边界(Bound) ，边界长度称为该面的次数(Degree)，面 的次数记为
22、 。Rdeg()R例如，图 7-65 共有 2 两个面，每个面的次数均为 3。7-65 共有 4 四个面，每个面的()a ()c次数均为 3。图 7-65 共有 3 个面，每个面的次数均为 4。图 7-65 共有 6 个面，每个f h面的次数均为 3。图 7-66 所示平面图 有 4 个面， ， ， 的边界为G1deg(2deg3， ， 的边界为 ， 。1078910edeg()5R0167985420()9339图 7-66关于面的次数，我们有下述定理。 定理 7.6.3 在一个有限平面图 中，所有面的次数之和等于边数的二倍，即G1deg()2riiRm其中， 为 的面数， 为边数。 rGm
23、证明 注意到等式的左端表示 的各个面次数的总和，在计数过程中， 的每条边或者是G两个面的公共边界，为每一个面的次数增加 1；或者在一个面中作为边界重复计算两次，为该面的次数增加 2。因此在计算面的次数总和时，每条边都恰计算了两次，故等式成立。 由定理 7.6.3 可以立即得出： 推论：在任何平面图中次数为奇数的面的个数是偶数。 的不同平面嵌入的面的次数数列可能是不同的。图 7-67 中的 ， 是同一个图的平12面嵌入，但它们的面的次数数列分别是 3,3,5,5 和 3,3,4,6。 图 7-67 7.6.2 欧拉公式在 1750 年数学家欧拉发现，任何一个凸多面体的顶点数 ，棱数 和面数 之间
24、满足关nmr系式： 2nmr这就是著名的欧拉公式。 更一般地，对任意平面图，欧拉公式依然成立。这就是下面的定理和推论。 定理 7.6.4 设 为一个连通平面图，它有 个节点， 条边和 个面，则有 。Gr2nr证明 对 的边数 进行归纳证明。m当 =0 时，由于 是连通的，因此 只能是平凡图。这时， =1， =0， =1，Gm成立。2nr设 时，结论成立，下面证明当 时，结论也成立。(1)k1mk易见，一个具有 条边的连通平面图可以由 条边的连通平面图添加一条边后构成。因为一个含有 条边的连通平面图上添加一条边后仍为连通图，则有三种情况：（1）所增边为悬挂边（见图 7-68 ） ，此时 的面数不
25、变，节点数增 1，边数增 1，欧()a拉公式成立。（2）所增边为一个环，此时 的面数增 1（见图 7-68 ） ，边数增 1，但节点数不变，G()b欧拉公式成立。（3）在图的任意两个不相邻节点间增加一条边（见图 7-68 ） ，此时 的面数增 1，边cG数增 1，但节点数不变，欧拉公式成立。340图 7-68 定理 7.6.5 设 是连通的 平面图，且每个面的次数至少为 ，则G(,)nm(3)l(2)ln证明 由定理 7.6.3 知 ( 为 的面数)12deg()riiRlrrG再由 Euler 公式 2nm得 rl故 。(2)ln推论 1 平面图 的平面嵌入的面数与 的嵌入方法无关。 GG于
26、是 的一个平面嵌入的面数，可直接称为平面图 的面数。 推论 2 设 是有 个节点( )， 条边的简单平面图，则 。 n3m36mn证明 不妨设 是连通的，否则可在 的连通分支间加边而得到连通图 ， 的节点数G仍为 ，边数 ，所以若定理对 成立，则对 也成立。 nm由于 是有 个节点( )的简单连通平面图，所以 的每一个面至少有 3 条边围成。如果 中有 个面，则面的总次数r 23r即有 m代入欧拉公式，可得 23n从而得到。6推论 2 也可直接由定理 7.6.5 推出，只需令 即可。l推论 3 若有 个节点( )的简单连通平面图 不以 为子图，则 。n3G3K24mn证明 由于 是有 个节点(
27、 3)的简单连通平面图，且 中不含 ，所以 的每个面Gn3G至少由 4 条边围成，即 ，代入定理 7.6.5，立即得4l。24m341推论 4 若 是一个简单平面图，则 至少有一个节点的度数小于等于 5。 GG证明 当 的节点数小于等于 6 时，结论显然成立。当 的节点数大于等于 7 时，设G的最小度节点的度数为 ，若 ，即 ，由握手定理知52deg()6vVmn故 3与推论 2 矛盾，所以图 中至少有一个节点的度数小于等于 5。 G例 7.6.2 证明 和 都不是平面图。 5K3,证明 （1） 的节点数 =5，边数 ，若它是平面图，则由推论 2 得 ，n1036mn即 ，这是一个矛盾不等式，
28、故 不是平面图。 0365K（2） 的节点数 =6，边数 ，且其不含子图 ，由推论 3 可知 ，即, 9m3 4，这也是一个矛盾不等式，故 是非平面图。943,上面给出的定理 7.6.4 和推论 2、推论 3、推论 4 都是一个图是平面图的必要条件，它们可用来判断某个图不是平面图。我们希望找出一个图是平面图的充分必要条件。经过几十年的努力，波兰数学家库拉托夫斯基（Kuratowski）于 1930 年给出了平面图的一个非常简洁的充分必要条件。下面就来介绍库拉托夫斯基定理。为此先引入同胚的概念。定义 7.6.3 设 为一个无向图， 是 的一条边，在 中删去边 ，增加新的节G(,)euvGe点 ，
29、使 均与 相邻接，则称在 中插入一个 2 度节点； 设 为 的一个 2 度节点，w,uv wG与 相邻接，在 中删去节点 及与 相连接的边 ，同时增加新边 ，w(,)uv(,)uv则称在 中消去一个 2 度节点 。如图 7-69 所示。 图 7-69 定义 7.6.4 如果两个无向图 与 同构或通过反复插入或消去 2 度节点后是同构的，则1G2称 与 是同胚的 (Homeomorphic)。 1G2例如，图 7-70 所示的 4 个图是同胚的。图 7-70 定理 7.6.6 (库拉托夫斯基定理) 一个无向图是平面图当且仅当它不含有与 或 同胚5K3,342的子图。 库拉托斯基定理的必要性容易看
30、出，因为 和 均不是平面图，因此与 或 同胚5K3, 5K3,的图也不是平面图。一个无向图若是平面图，则它自然不会含有非平面图作为它的子图。 库拉托夫斯基定理的充分性证明较复杂，这里不再引述。有兴趣的读者可参阅邦迪(J.A.Bondy)和默蒂(U.S.R.Murty) 的图论及其应用 。 例 7.6.3 证明图 7-71 中的 （彼得森图）是非平面图。 ()a图 7-71证明 在彼得森图中有同胚于 的子图(见图 7-71 、 )，由库拉托夫斯基定理知, 3,K(bc彼得森图不是平面图。7.6.3 平面图的着色平面图的着色问题，最早起源于地图的着色。在一张地图中，若相邻国家着以不同的颜色，那么最
31、少需要多少种颜色呢？1852 年，英国青年盖思瑞（Guthrie）提出了用四种颜色可以对地图着色的猜想（以下简称四色猜想） 。1879 年肯普（Kempe ）给出了这个猜想的第一个证明，但到 1890 年希伍德（Hewood）发现肯普证明是有错误的，然而他指出了肯普的方法虽不能证明地图着色用四种颜色就够了，但却可以证明用五种颜色就够了，即五色定理成立。此后四色猜想一直成为图论中的难题。许多人试图证明猜想都没有成功。直到 1976 年美国数学家阿佩尔（K.Appel）和哈肯(W.Haken) 利用计算机分析了近 2000 种图形和 100 万种情况，花费了1200 个机时，进行了 100 多亿个
32、逻辑判断，证明了四色猜想。从此四色猜想便被称为四色定理。但是，不依靠计算机而直接给出四色定理的证明，仍然是数学界的一个令人困惑的问题。为了叙述图形着色的有关定理，下面先给出对偶图的概念。定义 7.6.5 给定平面图 ，其面的集合 。若有图,GVE12(),nFGff满足下列条件：*,GVE（1）对于任意一个面 ，其内部有且仅有一个节点 ；()ifF*ivV（2）对于 中的面 和 的公共边 ，有且仅有一条边 ，使得 ，且jkekeE*(,)kijev与 相交；*ke（3）当且仅当 只是一个面 的边界时， 存在一个环 且 与 相交；keif*iv*kk则称图 是图 的对偶图(Dual Graph)
33、。*G例如，在图 7-72 中， 的边和节点分别用实线和“ ”表示，而它的对偶图 的边和*G结点分别用虚线和“ ”表示。343图 7-72 从对偶图的定义可以看出，若 是平面图 的对偶图，则 也是*,GVE,GVEG的对偶图。*G定理 7.6.7 一个连通平面图 的对偶图 也是平面图，而且有，*m，nr，*degeiGiGvf*(),iiFvV其中 和 分别是 和 的节点数，边数和面数。,nr*,r*证明 由定义 7.6.5 对偶图的构造过程可知，G*也是连通的平面图，且 ，*nr和 显然成立，下证 。因为 和 均是连通的平面图，*m*iiGf*rnG*所以由欧拉公式有2nm*由 ， 可得 。
34、*nr*r定义 7.6.6 若图 的对偶图 同构于 ，则称 是自对偶图(Self-dual Graph) 。G例如，图 7-73 给出了一个自对偶图。344图 7-73 定理 7.6.8 若平面图 是自对偶图，且有 个节点， 条边，则 。,GVEnm21n证明 由欧拉公式知2nmr由于图 是自对偶图，则有 ，从而有,即。1从对偶图的定义容易知道，对于地图的着色问题，可以化为一种等价的对于平面图的节点的着色问题。因此，四色问题可以归结为证明：对任意平面图一定可以用四种颜色，对其节点进行着色，使得相邻节点都有不同颜色。定义 7.6.7 平面图 的正常着色 (Proper Coloring)（简称着
35、色）是指对 的每个节点指派GG一种颜色，使得相邻节点都有不同的颜色。若可用 种颜色对图 着色，则称 是 可着nn色的。对图 着色时，需要的最少颜色数称为 的着色数(Chromatic Number)，记为 。G于是，四色定理可简单地叙述如下：定理 7.6.9（四色定理）任何简单平面图都是 4可着色的。证明一个简单平面图是 5可着色的很容易。定理 7.6.10（五色定理）任何简单平面图 ，均有 。,VE5证明 只需考虑连通简单平面图 的情形。对 施行归纳证明。当 时，显然， 。5VG假设对所有的平面图 ，当 时有 。现在考虑图 ，,VEkG11,GVE的情形。由定理 7.6.5 的推论 4 可知
36、，存在 ，使得 。在图 中1k 01vV0deg5v删去 ，得图 。由归纳假设知， 是 5可着色的，即 。因此只0v10v101需证明在 中，节点 可用 5 种颜色中的一种着色并与其邻接点的着色都不相同即可。若 ，则与 邻接节点数不超过 4，故可用与 的邻接点不同的颜色对 着色，0deg0 0v0v得到一个最多是五色的图 。1G若 ，但与 邻接的节点的着色数不超过 4，这时仍然可用与 的邻接点不同0v0v 0的颜色对 着色，得到一个最多是五色的图 。1若 ，且与 邻接的 5 个节点依顺时针排列为 和 ，它们分别着不0deg50 1234,v5v同的颜色红、白、黄、黑和蓝。如图 7-74 所示。
37、345图 7-74考虑由节点集合 所诱导的 的子图 。1310VvGv着 红 色 或 黄 色 10Gv13若 属于 的不同连通分支，如图 7-75 所示。则将 所在的连通分支中的红色与黄色对13,vG1v调，这样并不影响 的正常着色，然后将 涂上红色即可得到 的一种五着色。1001若 和 属于 的同一个连通分支，则由节点集 所诱导的 的子图133 130V中含有一个圈 ，而 和 不能同时在该圈的内部或外部，即 与 不是邻30,VvEC2v4 2v4接点，如图 7-76 所示。于是，考虑由节点 所诱导10vG着 白 色 或 黑 色子图 ，由于圈 的存在， 至少有两个连通分支，一个在 的内部，一个
38、在 的外部24G24GCC（否则图 中将有边相交，与图 是平面图的假设矛盾） ，则 和 必属于 的不同连通11 24v24分支，作与上面类似的调整，又可得到 的一种五着色。故 。由归纳原理，定理得5证。图 7-75346图 7-76习题 7.61 图 7-77 和 所示的平面图各有几个面？写出它们各面的边界及次数。 ()ab图 7-772 证明图 7-78 和 是非平面图。()ab347图 7-783证明：小于 30 条边的简单平面图中存在度数小于等于 4 的节点。4设 是简单平面图，面数 ，证明 中存在次数小于或等于 4 的面。G12,()3rG5设 是一个连通平面图， 它有 个节点， 条边
39、，且每个面由 条边围成。 试证nmk2k6证明具有个节点和 12 条边的简单平面图，它的每一个面都是由条边围成的。 7设简单图 的节点数 11，则 与 的补图 中至少有一个不是平面图。 7.7 树与生成树 树是图论中的一个重要概念。早在 1847 年克希霍夫就用树的理论来研究电网络，1857 年凯莱在计算有机化学中 的同分异构物数目时也用到了树的理论。而树在计算机科学中2nCH应用更为广泛。本节介绍树的基本知识，其中谈到的图都假定是简单图。 7.7.1 无向树 定义 7.7.1 一个连通无圈无向图称为无向树(Undirected Tree) (简称为树) ，记作 。树 中T度数为 1 的节点称
40、为树叶(Leaf)（或叶节点） ，度数大于的节点称为分枝点(Branch Point )（或内点(Inner Point)） 。 一个无圈图称为森林(Forest)。 显然若图 是森林，则 的每个连通分支是树。 例如，图 7-79 和 所示的图是树；Ga()b所示的图是森林。 ()c图 7-79 树和森林示意图 定理 7.7.1 设 是一个无向 图，则以下关于 的命题是等价的。T(,)nmT(1) 是树；（2） 无圈且 ；1(3) 连通且 ；（4） 无圈，但增加任一新边，得到且仅得到一个圈。（5） 连通，但删去任一边便不连通( )。T2n（6） 的每一对节点间有唯一的一条通路( )。证明 (1
41、) （2）348由树的定义可知 无圈。下证 。对 进行归纳证明。T1mn当 时， ，显然 。1n0假设 时结论成立，现证明 时结论也成立。kk由于树是连通而无圈的，所以至少有一个度数为 1 的节点 ，在 中删去 及其关联边，vTv便得到 个节点的连通无圈图。由归纳假设它有 条边。再将顶点 及其关联边加回得到原图 ，所以 中含有 个顶点和 条边，故结论 成立。T1n所以树是无圈且 的图。n(2) （ 3）用反证法。若 不连通，设 有 个连通分支( ) ， ， ， ，其节点数分别Tk2k1T2 k是 ，边数分别为 ，于是12,kn 12,m 1,iiinm11()1kkiii kn得出矛盾。所以
42、是连通且 的图。Tmn(3) （ 4）首先证明 无圈。对 作归纳证明。当 时， ，显然无圈。1n0假设节点数为 时无圈，今考察节点数是 时的情况。此时至少有一个节点 其度数nv。我们删去 及其关联边得到新图 ，根据归纳假设 无圈，再加回 及其关联deg()vvTT边又得到图 ，则 也无圈。T其次，若在连通图 中增加一条新边 ，则由于 中由 到 存在一条通路，故必(,)ijvivj有一个圈通过 ， 。若这样的圈有两个，则去掉边 ， 中仍存在通过 ， 的圈，ij (,)ij ivj与 无圈矛盾。故加上边 得到一个且仅一个圈。(,)ijv(4) （ 5）若 不连通，则存在两个节点 和 ，在 和 之间
43、没有路，若加边 不会产生圈，Tijvij (,)ij但这与假设矛盾，故 是连通的。又由于 无圈，所以删去任一边，图便不连通。T(5) （ 6）由连通性知，任意两点间有一条路径，于是有一条通路。若此通路不唯一，则 中含有圈，T删去此回路上任一边，图仍连通，这与假设不符，所以通路是唯一的。(6) （ 1）显然 连通。下证 无圈。用反证法。若 有圈，则圈上任意两点间有两条通路，此与通T路的唯一性矛盾。故 是连通无圈图，即 是树。T定理 7.7.2 任一棵树 中，至少有两片树叶(节点数 时) 。2n证明 设 是一棵 树（ ） ，由定理 7.7.1， 有,)nm21deg(12niivmn（1）若 中无
44、树叶，则 中每个节点的度数 ，则TT3491deg()2niiv（2）若 中只有一片树叶，则 中只有一个节点度数为 1，其他节点度数 ，所以 TTe()niivn（3）(2)，(3)都与(1) 矛盾。所以 中至少有两片树叶。由定理 7.7.1 所刻画的树的特征可见：在节点数给定的所有图中，树是边数最少的连通图，也是边数最多的无圈图。 由此可知，在一个 图 中， 若 ， 则 是不连通(,)nmG1nG的； 若 ，则 必定有圈。1mnG例 7.7.1 设 是一棵树，它有两个 2 度节点，一个 3 度节点，三个 4 度节点，求 的树叶T T数。解 设树 有 片树叶，则 的节点数x1nx的边数T5m又
45、由 12deg()niiv得 (5)34xx所以 ，即树 有 9 片树叶。xT7.7.2 无向图中的生成树与最小生成树 1无向图中的生成树定义 7.7.2 若无向(连通图) 的生成子图是一棵树，则称该树是 的生成树或支撑树GG(Spanning Tree)，记为 。生成树 中的边称为树枝。图 中其他边称为 的弦。所有这些GT T弦的集合称为 的补。 例如，图 7-80 中 、 所示的树 、 是图 的生成树，而 所示的树 不是图()bc1T2()a()d3的生成树。 、 所示的树是图 的生成树。一般的，一个图的生成树不唯一。()afg()e350图 7-80考虑生成树 ，可知 是 的树枝， 是
46、的弦，集合 是 的1T1234,e1T567,e1T567,e1T补。生成树有其一定的实际意义。例 7.7.2 某地要兴建个工厂，拟修筑道路连接这处。经勘测其道路可依如图 7-80的无向边铺设。为使这处都有道路相通，问至少要铺几条路？()a解：这实际上是求 的生成树的边数问题。 G一般情况下，设连通图 有 个节点， 条边。由树的性质知， 有 个节点， 1 条nmTn树枝， 条弦。 1mn在图 7-80 中， ，则 ，所以至少要修条路才行。 ()514由图 7-80 可见，要在一个连通图 中找到一棵生成树，只要不断地从 的回路上删去一G条边，最后所得无回路的子图就是 的一棵生成树。于是有以下定理
47、。定理 7.7.3 无向图 有生成树的充分必要条件是 为连通图。GG证明 先采用反证法来证明必要性。若 不连通，则它的任何生成子图也不连通，因此不可能有生成树，与 有生成树矛盾，故 是连通图。再证充分性。设 连通，则 必有连通的生成子图，令 是 的含有边数最少的生成子图，于是 中TT必无回路（否则删去回路上的一条边不影响连通性，与 含边数最少矛盾） ，故 是一棵树，即生成树。 2无向图中的最小生成树定义 7.7.3 设 是一连通的带权图，则 的生成树 为带权生成树， 的树枝,GVEGGTG所带权之和称为生成树 的权(Weight )，记为 。 中具有最小权的生成树 称为 的T()CT最小生成树
48、(Minimal Spanning Tree)。 最小生成树有很广泛地应用。例如要建造一个连接若干城市的通讯网络，已知城市 和iv之间通讯线路的造价，设计一个总造价为最小的通讯网络，就是求最小生成树 。 jv G下面介绍求最小生成树 的克鲁斯克尔（Kr uskal)算法。 G此方法又称为“避圈法” 。其要点是，在与已选取的边不成圈的边中选取最小者。具体步骤如下： 1) 在 中选取最小权边，置边数 i1。 2) 当 i 1 时，结束。否则，转 3)。 n3) 设已选择边为 ，在 中选取不同于 的边 ，使12,ie 12,ie 1ie2,ie无圈且 是满足此条件的最小权边。 1,iei4) 置 i 为 i1， 转 2)。351证明 设 为由上述算法构造的一个 的子图，它的节点是 的 个节点， 的边是0TGGn0T，且 无圈。由定理 7.7.1 可知 是一棵树，且为图 的生成树。121,ne 0T下面证明 是最小生成树。设图 的最小生成树是 。若 与 相同，则
