1、- 1 -2011 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）第卷(选择题 共 50 分) 一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1) 设 是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数 a 为iai（A）2 (B) 2 (C) (D) （1 ） A【命题意图】本题考查复数的基本运算，属简单题.【解析】设 ，则 ，所以 .故选 A.()aibR=1+()2aibibi1,2a（2） 双曲线 的实轴长是xy（A）2 (B) (C) 4 (D) 4 （2 ） C【 命题意图 】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质.属容易题.【
2、解析】 可变形为 ，则 ， ， .故选 C.xy2148xy24a24a（3） 设 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则()fRx()fx()f（A） (B) （） （）(3)A【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法. 属容易题.【解析】 .故选 A.2(1)(1)3ff（）设变量 满足 则 的最大值和最小值分别为,xy,xy（）， （）， （）， （），（4）B【命题意图】本题考查线性规划问题.属容易题.【解析】不等式 对应的区域如图所示，1xy- 2 -当目标函数过点（0，1） ， （0,1）时，分别取最小或最大值，所以 的最大值和最小值2xy分别为 2，2.故选 B.(5)
3、在极坐标系中，点 到圆 的圆心的距离为(,)2cos（A）2 (B) (C) （D) 2492193(5)D【命题意图】本题考查极坐标的知识及极坐标与直角坐标的相互转化，考查两点间距离.【解析】极坐标 化为直角坐标为 ，即 .圆的极坐标方程(,)(2cos,in)3(1,3)可化为 ，化为直角坐标方程为 ，即 ，2cos2cs2xy2(1)xy所以圆心坐标为（1,0） ，则由两点间距离公式 .故选 D.2(1)30)d(6)一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为第（8）题图- 3 -（A） 48 (B)32+8 (C) 48+8 (D) 80(6)C【命题意图】本题考查三视图的识
4、别以及空间多面体表面积的求法.【解析】由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为 2，下底为4，高为 4，两底面积和为 ，四个侧面的面积为1242，所以几何体的表面积为 .故选 C. 217874817(7)命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的否定是（A）所有不能被 2 整除的数都是偶数（B）所有能被 2 整除的数都不是偶数（C）存在一个不能被 2 整除的数是偶数（D）存在一个能被 2 整除的数不是偶数（7）D【命题意图】本题考查全称命题的否定.属容易题.【解析】把全称量词改为存在量词，并把结果否定.（8）设集合 则满足 且 的集合 的个数1,345,6A,7,BSA
5、BS为来源: （A）57 （B）56 （C）49 （D）8（8）B【命题意图】本题考查集合间的基本关系，考查集合的基本运算，考查子集问题，考查组合知识.属中等难度题.【解析】集合 A 的所有子集共有 个，其中不含 4,5,6,7 的子集有 个，所以集624328合 共有 56 个 .故选 B.S（9）已知函数 ，其中 为实数，若 对 恒成立，且()sin)fx()6fxfxR，则 的单调递增区间是()2fff（A） （B）,()36kkZ,()2kkZ（C） （D）2,(),()（9）C【命题意图】本题考查正弦函数的有界性，考查正弦函数的单调性.属中等偏难题.【解析】若 对 恒成立，则 ，所以
6、()6fxfxR()sin()163f， .由 ， （ ） ，可知,32kZ,kZ2ffkZ- 4 -，即 ，所以 ，代入sin()si(2)sin0(21),6kkZ，得 ，由 ，得fx(2)6fx 32x，故选 C.63kk(10) 函数 在区间0,1上的图像如图所示，则 m，n 的值可能是()()mnfxaxg（A） (B) 1,n1,2(C) (D) 23n(10)B【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.【解析】代入验证，当 ， ，则1,2mn()()fxanxg，由 可知， ，结合图像可()fxaxf12,3知函数应在 递增，在
7、递减，即在 取得最大值，由0,3,1313x，知 a 存在.故选 B.()()fag第 II 卷（非选择题 共 100 分）考生注意事项：请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.二填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置.（11）（11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 .- 5 -(11)15【命题意图】本题考查算法框图的识别，考查等差数列前 n 项和.【解析】由算法框图可知 ，若 T105 ，则 K14，继续执行(1)1232kT循环体，这时 k15，T105，所以输出的 k 值为 15.（12）设 ，则
8、.()xaxaxL（12)0【命题意图】本题考查二项展开式.难度中等.【解析】 ， ，所以 .101022()C10122()CaC（13 ）已知向量 a，b 满足（a +2b）（a-b ）=6 ，且 ， ，则 a 与 b 的夹角为 .b(13)60【命题意图】本题考查向量的数量积，考查向量夹角的求法.属中等难度的题.【解析】 ，则 ，即 ，2222216，所以 ，所以 .1ab1cos,ab,60ab（14）已知 的一个内角为 120o，并且三边长构成公差为 4 的等差数列，则 的ABC ABC面积为_（14) 【命题意图】本题考查等差数列的概念，考查余弦定理的应用，考查利用公式求153三角
9、形面积.【解析】设三角形的三边长分别为 ，最大角为 ，由余弦定理得4,a，则 ，所以三边长为 6,10,14.ABC 的22(4)(4)()cos120aaa面积为 .160sin53S（15）在平面直角坐标系中，如果 与 都是整数，就称点 为整点，下列命题中正确xy(,)xy的是_（写出所有正确命题的编号）.- 6 -存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点如果 与 都是无理数，则直线 不经过任何整点kbykxb直线 经过无穷多个整点，当且仅当 经过两个不同的整点l l直线 经过无穷多个整点的充分必要条件是： 与 都是有理数yxkb存在恰经过一个整点的直线（15)【命题意图】本题考查
10、直线方程，考查逻辑推理能力.难度较大.【解析】令 满足，故正确；若 ， 过整点12yx2,kb2yx（1,0） ，所以错误；设 是过原点的直线，若此直线过两个整点 ，ykx12(,),y则有 ， ，两式相减得 ，则点 也在直线1ykx21212()ykx12x上，通过这种方法可以得到直线 经过无穷多个整点，通过上下平移 得对于l ykx也成立，所以正确； 与 都是有理数,直线 不一定经过整点，错ykxbkbykxb误；直线 恰过一个整点， 正确.2三解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.（16）(本小题满分 12 分)设
11、，其中 为正实数1xefa*（）当 时，求 的极值点；43()f（）若 为 上的单调函数，求 的取值范围。()fxRa- 7 -（17） （本小题满分 12 分）如图， 为多面体，平面 与平面 垂直，点 在线段 上，ABCDEFGABEDGFOAD, ， ， 都是正三角形。1,2,OVOC（）证明直线 ；（2）求棱锥 FOBED 的体积.- 8 -（18） （本小题满分 13 分）在数 1 和 100 之间插入 个实数，使得这 个数构成递增的等比数列，将这 个数的n2n2n乘积记作 ，再令 .nT,lgaT1（）求数列 的通项公式；n（）设 求数列 的前 项和 .1ta,nbAnbnS（19）
12、 （本小题满分 12 分）来源: - 9 -（）设 证明1,xy，1xyxy（） ，证明1abc.loglloglloglabcbcaa- 10 -（20） （本小题满分 13 分）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过 10 分钟，如果有一个人 10 分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别 ,p，假设 互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.,p,p（）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为 ，其中,q是 的一个排列，求所需派出人员数目 的分布列和均值（数字期望）,q,p X；EX（）假定 ，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数p目的均值（数字期望）达到最小。- 11 -（21） （本小题满分 13 分）设 ，点 的坐标为（1,1） ，点 在抛物线 上运动，点 满足 ，经AByxQBAur过 点与 轴垂直的直线交抛物线于点 ，点 满足 ,求点 的轨迹方程。QMxMPMPur- 12 -
