2019年全国高中数学联赛A卷.pdf-道客多多

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1、2019年全国高中数学联赛 A 卷一试部分一、填空题（本大题共 8 小题，每题 8 分，共 64分）1.已知正实数 a 满足 8(9 )a aa a ,则 log (3 )a a 的值为2.若实数集合 1,2,3,x的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则 x 的值为3.平面直角坐标系中 ,e 是单位向量 ,向量 a 满足 2a e ,且 2| | 5| |a a te 对任意实数 t 成立 ,则 | |a 的取值

2、范围是4.设 A,B为椭圆的长轴顶点 ,E,F为的两个焦点 ,|AB|=4,|AF|=2 3 ,P为上一点 ,满足 |PE| |PF|=2,则 PEF的面积为5.在 1,2,3, ,10 中随机选出一个数 a,在 -1,-2,-3, ,-10中随机选出一个数 b,则 2a b 被 3 整除的概率为6.对任意闭区间 I,用 MI表示函数 y=sinx 在 I 上的最大值 ,若正数 a 满足 M0,a=2Ma,2a,则 a 的值为7.如图 ,正方体 ABCD-EFGH的一个

3、截面经过点 A,C及棱 EF上一点 K,且将正方体分成体积比为 3:1的两部分 ,则 EKFK的值为8.将 6 个数 2,0,1,9,20,19 按任意次序排成一行 ,拼成一个 8 位数 (首位不为 0),则产生的不同的 8 位数的个数为二解答题 :本大题共 3小题 ,满分 56分 .解答应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤9(本题分 16分 )在 ABC中 ,BC=a,CA=b,AB=c,若 b是 a与 c的等比中项 ,且 sinA是

4、 sin(B-A)与 sinC的等差中项 ,求 cosB的值10.(本题满分 20分 )在平面直角坐标系 xOy 中，圆与抛物线 :y2=4x 恰有一个公共点，且圆与 x 轴相切于的焦点 F，求圆的半径11（本题满分 20分）称一个复数数列 zn为 “ 有趣的 ” ,若 |z1|=1且对任意正整数 n,均有 2 21 14 2 0nn n nz z z z ,求最大的常数 C，使得对一切有趣的数列 zn及任意正整数 m,均有 1 2

5、 3| |mz z z z C 2019年全国高中数学联赛 A 卷加试部分一、 (本题满分 40分 )如图 ,锐角 ABC中 ,M 是 BC边的中点 ,点 P在 ABC内 ,使得 AP平分 BAC,直线 MP与 ABP, ACP 的外接圆分别相交于不同于点 P 的两点 D,E.证明 :若 DE=MP,则 BC=2BP二、 (本题满分 40分 )设整数 a1,a2,a3, ,a2019满足 1=a1 a2 a3 a2019=99,记 2 2 21 2 2019 1 3 2 4 3 5 2017 2019(

6、) ( )f a a a a a a a a a a a 求 f 的最小值 f0,并确定使 f=f0成立的数组 (a1,a2, ,a2019)的个数三、（本题满分 50 分）设 m 为整数 ,|m| 2.整数数列 a1,a2, 满足： a1,a2不全为零，且对任意正整数 n,均有2 1n n na a ma 求证：若存在整数 r,s(rs 2)使得 ar=as=a1,则 r-s |m|四、（本题满分 50 分）设 V 就空间中 2019 个点构成的集合 ,其中任

7、意四点不共面 .某些点之间连有线段 ,记 E 为这些线段构成的集合 .试求最小的正整数 n,满足条件 :若 E 至少有 n 个元素 ,则 E 一定含有 908 个二元子集 ,其中每个二元子集中的两条线段有公共端点 ,且任意两个二元子集的交集为空集 .2019年全国高中数学联赛 A 卷一试部分二、填空题（本大题共 8 小题，每题 8 分，共 64分）1.已知正实数 a 满足 8(9 )a

8、aa a ,则 log (3 )a a 的值为答案 : 916解 :由条件知 189a a ,故 9163 9a a a a ,所以 9log (3 ) 16a a 2.若实数集合 1,2,3,x的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则 x 的值为答案 : 32解 :假如 x 0,则最大最小元素之差不超过 3,x,而所有元素之和大于 max3,x,不符合条件 ,帮 x0满足b=qa,c=q2a, 因 sinA 是 sin (B-A)与 sinC 的等差

9、中项 ,故2sinA=sin(B-A)+sinC=sin(B-A)+sin(B+A)=2sinBsinA 4分结合正余弦定理，得 2 2 2sin cossin 2a A b c aAb B bc 即 2 2 2 2b c a ac 将代入并化简，可知 q2+q4-1=2q2,即 q4=q2+1,所以2 5 12q 12分进而 2 2 2 4 22 21 1 5 1cos 2 22c a b q qB ac q q 10.(本题满分 20分 )在平面直角坐标系 xOy 中，圆与抛物线 :y2=4x 恰有一个公共

10、点，且圆与 x 轴相切于的焦点 F，求圆的半径解：易知的焦点 F 的坐标为 (1,0).设圆的半径为 r(r0)。由对称性，不妨设在 x 轴的上方与 x 轴相切于 F，故的方程为 (x-1)2+(y-r)2=r2 将 y2=4x 代入并化简，得 22 21 2 04y y ry ，显然 y0,故22 2 221 ( 4)12 4 32y yr yy y 5分根据条件，恰好有一个正数解 y，该 y 值对应与的唯一公共点，考虑 2 2(

11、 4)( ) ( 0)32yf y yy 的最小值由平均值不等式知 32 2 244 4 4 4 44 43 3 3 3 3y y y ，从而 321 4 4 3( ) 1632 3 9f y yy 15分由有解可知 4 39r ，又假如 4 39r ,因 f(y)随 y 连续变化 ,且 y 0+及 y 时 f(y)可任意大，故在2 3 2 30, ,3 3 及上均有解与解的唯一性矛盾 .综上 ,仅有 4 39r 满足条件 (此时点 1 2 3,3 3 是与的唯一公共点 ) 20分11（

12、本题满分 20分）称一个复数数列 zn为 “ 有趣的 ” ,若 |z1|=1且对任意正整数 n,均有 2 21 14 2 0nn n nz z z z ,求最大的常数 C，使得对一切有趣的数列 zn及任意正整数 m,均有 1 2 3| |mz z z z C 解：考虑有趣的复数数列 zn。归纳地可知 zn 0(n N*).由条件得2 *1 14 2 1 0,( )n nn nz z n Nz z 解得 1 1 34nnz iz 因此 1 1| | 1 3 1| | 4 2n

13、 nn nz z iz z 故 *1 1 11 1 ( )2 2n n nz z n N 5 分进而有 *11 11 3 3 3| | | | 1 ( )42 2nn n n n nnz iz z z n Nz 记 *1 2 3 ( )m mT z z z z m N 当 m=2s（ s N*）时，利用可得1 2 2 1 2 2 1 2 2 12 2 23 3 3 3| | | | | |2 2 32sm k k k k kk k kT z z z z z z 10分当 m=2s-1 时（ s N*）时，由、可知2 1 2 1 22 2 1 2 11 3| | |

14、 |2 3 2s k ks s k sz z z 故 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 12 2 23 3 3 3| | | | | | | |2 2 32sm k k s k k kk k kT z z z z z z z 当 m=1时， 1 1 3| | | | 1 3T z 以上表明 33C 满足要求另一方面，当 z1=1, 2 21 32k k iz , 2 1 2 11 32k k iz (k N*)时，易验证知 zn为有趣的数列，此时2 1 1 2 2 1 2 11 1 3 3 3 3 4 3lim lim ( ) lim

15、1 1 8 3 32s sx k k ks s sk k i iT z z z 这表明 C 不能大于 33 综上，所求的 C 为 33 20分2019年全国高中数学联赛 A 卷加试部分说明：1.评阅卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分2.如果考生的解答方法和本解答不同只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分， 10分为一个档次，不得增加其他中间档次一、 (

16、本题满分 40分 )如图 ,锐角 ABC中 ,M 是 BC边的中点 ,点 P在 ABC内 ,使得 AP平分 BAC,直线 MP与 ABP, ACP 的外接圆分别相交于不同于点 P 的两点 D,E.证明 :若 DE=MP,则 BC=2BP证明 :延长 PM 到点 F,使得 MF=ME,连接 BF,BD,CE由条件可知 BDP= BAP= CAP= CEP= CEM 10分因为 BM=CM 且 EM=FM,所以 BF=CE 且 BF CE于是 F= CEM= BDP,进而 BD=BF 20分又 DE=MP,故 DP=EM

17、=FM于是在等腰 BDF 中 ,由对称性得 BP=BM,从而 BC=2BM=2BP 40 分二、 (本题满分 40分 )设整数 a1,a2,a3, ,a2019满足 1=a1 a2 a3 a2019=99,记 2 2 21 2 2019 1 3 2 4 3 5 2017 2019( ) ( )f a a a a a a a a a a a 求 f 的最小值 f0,并确定使 f=f0成立的数组 (a1,a2, ,a2019)的个数解：由条件知 20172 2 2 2 21 2 2018 2019 212 ( )i iif a a

18、a a a a 由于 a1,a2及 ai+2-ai(i=1,2, ,2016)均为非负整数 ,故有 2 21 1 2 2,a a a a 且 22 2 ( 1,2, ,2016)i i i ia a a a i 于是 2016 20162 2 21 2 2 1 2 2 2017 20181 1( ) ( )i i i ii ia a a a a a a a a a 10 分由得 2 2 2 22017 2017 2017 20171( (99 ) 99 ) ( 49) 7400 74002f a a a a 20分另一方面，令 a1=a2= =a1920=1,a19

19、20+2k-1=a1920+2k=k(k=1,2, ,49),a2019=99此时验证知上述所有不等式均取到等号从而 f 的最小值 f0=7400 30分以下考虑的取等条件，此时 a2017=a2018=49,且中的不等式均取等即 a1=a2=1,ai+2-ai 0,1(i=1,2, ,2016)因此 1=a1 a2 a3 a2018=49,且对每个 k(1 k 49),a1,a2, ,a2018中至少有两项等于 k,易验证知这也是的取等的充分必要条件对每个

20、 k(1 k 49)，设 a1,a2, ,a2018中等于 k 的项数为 1+nk,则 nk为正整数 ,且 (1+n1)+(1+n2)+ +(1+n49)=2018即n1+n2+ +n49=1969 该方程的正整数解 (n1,n2 ,n49)的组数为 481968C ,且每组解唯一对应一个使取等的数组(a1,a2,a3 ,a2019),故使 f=f0 成立的数组 (a1,a2,a3 ,a2019)有 481968C 个。三、（本题满分 50 分）设 m 为整数 ,|m| 2.整数数列 a1

21、,a2, 满足： a1,a2不全为零，且对任意正整数 n,均有2 1n n na a ma 求证：若存在整数 r,s(rs 2)使得 ar=as=a1,则 r-s |m|证明：不妨设 a1,a2互素 (否则 ,若 (a1,a2)=d1,则 1 2,a ad d 互素，并利用 31 2, , ,aa ad d d 代替 1 2 3, , ,a a a ,条件与结论不变 )由数列递推知 a2 a3 a4 (mod|m|) 以下证明：对任意整数 n 3 有 an a2-(a1+(n-3)a2

22、)m(modm2) 10分事实上，当 n=3 时式显然成立 .假设 n=k 时成立 (其中 k 为某个大于 2 的整数 ),注意到，有 21 2(mod )kma ma m ,结合归纳假设知 ak+1=ak-mak-1 a2-(a1+(k-3)a2)m-ma2 a2-(a1+(k-2)a2)m(modm2)即 n=k+1时也成立 ,因此对任意整数 n 3 均成立 20 分注意 ,当 a1=a2时 , 对 n=2也成立设整数 r,s(rs 2)满足 ar=as=a1若 a1=a2,由对 n 2均成立

23、，可知a2-(a1+(r-3)a2)m ar=as a2-(a1+(s-3)a2)m(modm2)即 a1+(r-3)a2 a1+(s-3)a2(mod|m|),即(r-s)a2 0(mod|m|) 若 a1 a2,则 ar=as=a1 a2,故 rs3.此时由于对 n 3均成立，故类似可知仍成立 .我们证明 a2,m 互素事实上，假如 a2与 m 存在一个公因子 p,则由得 p 为 a2,a3,a4, 的公共因子，而 a1,a2互素 ,故 a1,这与 ar=as=a1矛盾 .因此 ,由得 r-s 0(m

24、od|m|).又 rs,所以 r-s |m| 50 分四、（本题满分 50 分）设 V 就空间中 2019 个点构成的集合 ,其中任意四点不共面 .某些点之间连有线段 ,记 E 为这些线段构成的集合 .试求最小的正整数 n,满足条件 :若 E 至少有 n 个元素 ,则 E 一定含有 908 个二元子集 ,其中每个二元子集中的两条线段有公共端点 ,且任意两个二元子集的交集为空集 .解 :为了叙述方便

26、去 a,b 这两条边后 ,剩下的图含有一个连通的分支包含 |E|-2 条边 .对这个连通的分支应用归纳假设即得结论成立 .考虑 G 中最长路 P:v1,v2, ,vk其中 v1,v2, ,vk是互不相同的顶点 .因为 G 连通 ,故 k 3.情形 1:deg(v1) 2.由于 P 是最长路 ,v1的邻点均在 v1,v2, ,vk中 ,设 v1vi E,其中 3 i k,则 v1v2,v1vi是一个角 ,在 E 中删去这两条边 ,若 v1处还有第三条

27、边 ,则剩下的图是连通的 ;若 v1处仅有被删去的两条边 ,则 v1成为孤立点 ,其余顶点仍互相连通 .总之 ,在剩下的图中有一个连通的分支含有 |E|-2 条边 .情形 2:deg(v1)=1,deg(v2)=2,则 v1v2,v2v3是一个角 ,在 G 中删去这两条边后 ,v1,v2 都成为孤立点 ,其余的点互相连通 ,因此有一个连通分支含有 |E|-2 条边 .情形 3:deg(v1)=1,deg(v2) 3,且 v2与 v4,

28、 ,vk中某个点相邻 ,则 v1v2,v2v3是一个角 ,在 G 中删去这两条边后 ,v1成为孤立点 ,其余点互相连通 ,因此有一个连通分支含有 |E|-2 条边 .情形 4:deg(v1)=1,deg(v2) 3,且 v2与某个 uv1,v3, ,vk相邻 ,由于 P 是最长路 ,故 u 的邻点均在 v2, ,vk之中 ,因v1v2,v2u是一个角 ,在 G 中删去两条边 ,则 v1是孤立点 ,若 u 处仅有边 uv2,则删去所述边后 u 也是孤立点

29、 ,而其余点互相连通 .若 u 处仅还有其他边 uvi,3 i k,则删去所述边后 ,除 v1外其余点互相连通 .总之剩下的图中有一个连通的分支含有|E|-2 条边 . 20 分引理获证。回到原题，题中的 V 和 E 可看做一个图 G=(V,E).首先证明 n 2795.设 V=v1,v2, ,v2019.在 v1,v2, ,v61中 ,首先两两连边 ,再删去其中 15 条边 (例如 :v1v2,v1v3, ,v1v16)，共连了 612 15

30、=1815 条边，则这 6 1 个点构成的图是连通图。再将剩余的 2 0 1 9 -6 1 =1 9 5 8 个点配成 9 7 9 对 ,每对两点之间连一条边 ,则图 G中一共连了 1 8 1 5 +9 7 9 =2 7 9 4 条线段 .由上述构造可见 ,G 中的任何一个角必须使用 v1,v2, ,v61相连的边 ,因此至多有18152 =907 个两两无公共边的角 ,故满足要求的 n 不小于 2795 30 分另一方面，若 |E|

31、 2795，可任意删去若干条边 ,只考虑 |E|=2795 的情形 .设 G 有 k 个连通的分支 ,分别有 m1,m2, ,mk个点 ,及 e1,e2, ek条边 ,下面证明中至多有 979 个奇数反证法 ,假设 e1,e2, ek条边 ,下面证明中至少有 980 个奇数 ,由于 e1+e2+ +ek=2795 是奇数 ,故 e1,e2, ek中至少有 981 个奇数 ,故 k 981.不妨设 e1,e2, e981都是奇数 ,显然 m1,m2, ,m981 2.令 m=m981

32、+ +mk 2,则有 2 1C (1 980)i km ii e i , 2 981m kC e e ,故 9802 21 12795 ik i m mi ie C C 利用组合数的凸性 ,即对 x y 3,有 2 2 2 21 1x y x yC C C C ,可知当 m1,m2, ,m980,m 由 980 个 2 以及一个 59 构成时 ,9802 21 mim iC C 取得最大值 .于是 9802 2 2 259 21 980 2691 2795mim iC C C C 这与矛盾 ,从而 e1,e2, ek中至多有 979 个奇数 40 分对每个连通分支应用引理 ,可知 G 中含有 N 个两两无公共边的角 ,其中1 11 1 ( 979) (2795 979) 9082 2 2k ki ii ieN e 综上所述 ,所求最小的 n 是 2795 50 分

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