1、1江苏省扬州中学 20152016 学年第二学期期中考试高二(理科)数学试卷 2016.4.19一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1复数 iz的共轭复数是_2 命题“x=”是“sinx=0”的_条件3设异面直线 的方向向量分别为 ,则异面直线 所成角21l， )10(),1(ba21l，的大小为 _ 4在 的二项展开式中, 的系数是 _ 5)x（ 3x5某团队有 6 人入住宾馆中的 6 个房间，其中的 301 与 302 对门，303 与 304 对门，305与 306 对门，若每人随机地拿了房间钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为_6. 已知可导函数 的导函
2、数 满足 ，则不等式 的解集)(xf)(xf)(xffefxf)1(是 _ 7设 ,那么 _)(21321)( Nkkkf )(kff8. 若数列 的通项公式 ，记 ，试na)(nan 112naan通过计算 的值，推测出)(,)1(ff ._(f9甲、乙、丙三人站在共有 7 级的台阶上,若每级台阶最多站 2 人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法总数为_10. 已知： ,其中2108 )1()()2xaax（ 8)1(xa 2,10(ia为实常数,则 _)8 872111.某班某天要安排语文、数学、政治、英语、体育、艺术 6 节课，要求数学课排在前 3 节，体育课不排在第 1 节，
3、则不同的排法种数为 .（以数字作答）.12. 如图，四棱锥 的底面 是正方形，侧PABCD棱 底面 ， ， 是PDE的中点则二面角 的平面C角的余弦值是 13已知函数 f (x) x3 ax2bx 在区间13 12 hy)0,a（yxxaby21,1)、(1,3内各有一个极值点，则 a4b 的取值范围是_14我们在学习立体几何推导球的体积公式时，用到了祖日 恒 原理：即两个等高的几何体，被等高的截面所截，若所截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。类比此方法：求双曲线 12byax，与 轴，直线 及渐近线 所围成的阴影部分（如图）)0,()0(hyxaby绕 轴旋转一周所得的几何体的体积
4、_y二解答题（本大题共 6 题，共 90 分）15 （满分 14 分）已知命题：“ ，使等式 成立”是真命题，|1xx20xm（1）求实数 m 的取值集合 M； （2）设不等式 的解集为 N，若 x N 是 xM 的必要条件，求 a 的()2)0a取值范围16. （满分 14 分）已知复数 满足 （ 为虚数单位） w4(32)wi（1）求 ；（2）设 ，在复平面内求满足不等式 的点 构成的图形面积zC1|zZ17 （满分 14 分）已知 的展开式中,某一项的系数是它前一项系数的 2 倍,而又(12)nx等于它后一项系数的 (1)求展开后所有项的二项式系数之和； (2)求展开式中的有理项 563
5、18 （满分 16 分）如图（1） ，等腰直角三角形 ABC 的底边 AB=4，点 D 在线段 AC 上，DEAB 于 E，现将ADE 沿 DE 折起到PDE 的位置（如图（2） ） （）求证：PBDE ；（）若 PEBE，直线 PD 与平面 PBC 所成的角为 30，求 PE 长19 （满分 16 分）高一（12）班、高一（13）班共派出 个男生和 个女生参加学校运动会的入场仪式，1nn其中男生倪某为领队.入场时，领队男生倪某必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有 种排法；入场后，又需从男生（含男生倪某）和女生中各选一nE名代表到主席台服务，共有 种选法.F（1）试求
6、 和 ； （2）判断 和 的大小（ ） ，并用数学归纳法证明.n nl Nn20 （满分 16 分）已知函数 ， 存在，记 ，且 也存在， )(Rxf(xf )(xfg)(g0)(xg4求证： ；)(xf )()00xff)(R设 ，且 ，,321iRin121n ),1(nixi )(N求证： )()()( nxfxff 2(f x已知 是正项的等比数列，求证： ,aa af)(高二(理科) 数学期中试卷参考答案 2016.42 （填必要不充分，充分不必要，充分必要，不充分不必要）必要不充分i1-.4105. 6. 7. 3.51），（ 1212kk8.9. 336 10. 1024 11.
7、312 12.13. (16,10()2nf 314. ha解： ，是一个圆环其面积my)(2BCAS ，12bax22mba同理 2BC ，由观日恒原理知，此旋转体的体积，等价于一个半径为 ，高为22aA ahy)0,（yxxaby5的柱体的体积为 hha215. 解：（1）已知命题：“ x x|12-a,即 a1 时解集 N 为（ 2-a,a） ，若 xN 是 xM 的必要条件，则 M N,a 的取值范围 29,14a当 2-a a,即 a1 时解集 N 为（a ,2-a） ，若 xN 是 xM 的必要条件，则 M N,a 的取值范围 21,4a 9(,)(,)综 上16. （1） ； （
8、2）43i12i43i,12ww317. 解：根据题意，设该项为第 r+1 项，则有 1C,56rrnn即 亦即 解得 1C,53rnr， 21,!5!,()3()1)nnrrr 4,7.rn（1）所有项的二项式系数和为 78（2）展开式的通项为 217C,rrTxN且于是当 r=0, 2, 4, 6 时，对应项为有理项， 即有理项为： ， ， ，0172x23784x42257C560Tx 6337C248Tx18.（）DEAB，DEBE ，DE PE ，6BEPE=E，DE平面 PEB，又PB平面 PEB， BPDE；（）PEBE，PEDE，DE BE ，分别以 DE、BE、PE 所在直线
9、为 x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系（如图） ，设 PE=a，则 B（0，4a，0） ，D（a，0，0） ，C（2，2a， 0） ，P（0，0，a） ，（7 分）可得 ， ，设面 PBC 的法向量 ， 令 y=1，可得 x=1，z=因此 是面 PBC 的一个法向量， ，PD 与平面 PBC 所成角为 30， ，即 ，解之得：a= ，或 a=4（舍） ，因此可得 PE 的长为 19.解：(1) ， .2!nEA1(1)nnFC(2)因为 ，所以 ， ，l2l,()nn1l02EF22ln46EF，由此猜想：当 时，都有 ，即3361F *N.2l!()下面用数学归纳法证明 （ ）.2ln!
10、(1)*n1) 当 时，该不等式显然成立.1n2) 假设当 时，不等式成立，即 ，则当 时，*()kN2l!(1)k1nk，要证当 时不等式2l)!l12ln!l(1)k成立.只要证： ，只要证： .()()kl()k令 ，因为 ，所以 在 上单调递减，()ln,fxx 0xf)fx1,从而 ，而 ，所以 成立.()10f1(,)kln()k7则当 时，不等式也成立.1nk综合 1)、2）得原不等式对任意的 均成立.*nN20证明：设 ，则)()()( 00xfxfx )()( 0xff 故 为减函数，则 为 的极大值点0)(xgf ，即 （当且仅当在 取到）（ )(x)()00xff0x证明
11、：由可知： ，两边同乘以 得11f 1，)()()( 010011 xxf )()()( 0202022 xfxff 0ffnnnn上式各式相加，得 )()()(21 nxfx )021(xfn)( 02010xxf0因为 ，设 ，则21n 21x nx)()()( 000 xxn由此， 21 xfff )(21nxf等号当且仅当在 时成立nx证明：错误！链接无效。记公比为 ，则 ，0,q2)(,)(aqfaqf，3(agff取 ， ， ，x12q)1,0(则 ， =ax21)(21xf2)()(aqfaqf又 ，)(2f(，)(fa 3)q1(233 aqq 23)1(aqq即 21)()(xfxf)21xf8在中取 ，即1,221n )(1)(2xfxf)1(2xf当且仅当 时成立，即 ， x2aqa
