1、2009 年普通高等学校招生考试（江西卷）理科数学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷 1 至 2 页，第卷3 至 4 页，共 150 分。第卷考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2. 第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第卷用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试题卷上作答，答案无效。3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。参考公式如果事件 互斥，那么 球
2、的表面积公式,AB()()PP 24SR如果事件 ，相互独立，那么 其中 表示球的半径,球的体积公式()()AB如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么 p34VR次独立重复试验中恰好发生 次的概率 其中 表示球的半径nk()(1)knnPCp一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若复数 为纯虚数，则实数 的值为2(1)(zxixA B C D 或0112函数 的定义域为2ln(1)34xyA B C D(4,)(,)(1,)(1,3已知全集 中有 m 个元素， 中有 n 个元素若 非空，则UUABABI的元素个数
3、为IA B C Dmnnm4若函数 ， ，则 的最大值为()13ta)cosfxx02x()fxA1 B C D23135设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ，则()fxg()ygx,()21yx曲线 在点 处切线的斜率为y1,()fA B C D442126过椭圆 ( )的左焦点 作 轴的垂线交椭圆于点 ， 为右焦点，21xyab01FxP2F若 ，则椭圆的离心率为120FPA B C D312137 展开式中不含 的项的系数绝对值的和为 ，不含 的项的系数绝对(1)naxbyx4y值的和为 ，则 的值可能为32,A B15n2,1,6abnC D,6ab58数列 的通项 ，其前 项和为
4、，则 为n22(cosin)3nnS30A B C D47049049519如图，正四面体 的顶点 ， ， 分别在两两垂直的三条射线 ，CDAOx， 上，则在下列命题中，错误的为Oyz yxzOABCDA 是正三棱锥OBCB直线 平面 ADC直线 与 所成的角是 45D二面角 为B10为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了 种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张3卡片，集齐 种卡片可获奖，现购买该种食品 袋，能获奖的概率为35A B C D1838148150111一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域（
5、阴影部分）的周率从左到右依次记为 ，则下列关系中正确的为1234,A B C D14331242334112设函数 的定义域为 ，若所有点 构成2()(0)fxabxcD(,),)sft一个正方形区域，则 的值为A B C D不能确定48第卷注意事项：第卷 2 页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。请把答案填在答题卡上13已知向量 ， ， ，若 ，则 = (3,1)a(,)b(,7)ck()acbk14正三棱柱 内接于半径为 的球，若 两点的球面距离为 ，则正三ABC2,AB棱柱的体积为 15若不等式
6、的解集为区间 ,且 ,则29()xkab2 k16设直线系 ,对于下列四个命题：:cos(2)sin1(02)Mxy 中所有直线均经过一个定点A存在定点 不在 中的任一条直线上BP对于任意整数 ，存在正 边形,其所有边均在 中的直线上C(3)nnM 中的直线所能围成的正三角形面积都相等D其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）三.解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17（本小题满分 12 分）设函数 ()xef（1） 求函数 的单调区间；f（2） 若 ，求不等式 的解集0k()1)(0fxkfx18（本小题满分 12 分）某公司拟资助三位大学生自
7、主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是 .若某人获得两个“支12持”，则给予 10 万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予 5 万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令 表示该公司的资助总额(1) 写出 的分布列； (2) 求数学期望 E19（本小题满分 12 分） 中， 所对的边分别为 ， , .ABC, ,abcsintcoABCsin()cosAC（1）求 ；（2）若 ,求 .3ABCSac20（本小题满分 12 分）在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ，PABCDABPABCD， . 以 的中点 为球心、 为直
8、径的球面42O交 于点 ，交 于点MN（1）求证：平面 平面 ；P（2）求直线 与平面 所成的角的大小；CDA（3）求点 到平面 的距离21（本小题满分 12 分）已知点 为双曲线 （ 为正常数）上任一10(,)Pxy218xybb点, 为双曲线的右焦点,过 作右准线的垂线,垂足为 ,连接2F1PA并延长交 轴于 .Ay2NODMCBPA2F1OyxA2P(1) 求线段 的中点 的轨迹 的方程;1P2E(2) 设轨迹 与 轴交于 两点,在 上任取一点 ,直线 分ExBD、 1,(0)Qxy（ ） QBD，别交 轴于 两点.求证 :以 为直径的圆过两定点.yMN，22（本小题满分 14 分）各项
9、均为正数的数列 ， ，且对满足 的正整数 都na12,bmnpq,mnpq有 .(1)()pqmna（1）当 时，求通项4,25b;na（2）证明：对任意 ，存在与 有关的常数 ，使得对于每个正整数 ，都有an.na参考答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A C D B A B D B D C B1.由 故选 A201xx2.由 .故选 C2 1430xxx3.因为 ，所以 共有 个元素,故选 D()UUABBAmn4.因为 = =()1tancosfxx3six2cos()3x当 是，函数取得最大
10、值为 2. 故选 B35. 由已知 ，而 ，所以 故选 A()2g()fxgx(1)14fg6. 因为 ，再由 有 从而可得 ，故选 B,bPca1260FP23,ba3cea7. ， ，则可取 ，选 D5(1)243n5()n1,5n8. 由于 以 3 为周期,故2cosi2222 230 589(3)(6)(30)S 故选 A221 10151()5472k kk 9.将原图补为正方体不难得出 B 为错误，故选 B10 故选 D553(2)081P11前三个区域的周率依次等于正方形、圆、正三角形的周长和最远距离，所以 、12、 ，第四个区域的周率可以转化为一个正六边形的周长与它的一对平行边
11、之23间的距离之比，所以 ，则 ，选 C423423112 ， ， ， ，选 B12max|()xf224bacb|a4二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。13. 14. 15. 16.582,BC13. 3651k14.由条件可得 ，所以 ， 到平面 的距离为 ，所以所求2AOB2AOABC23体积等于 815.由数形结合，直线 在半圆 之下必须 ，则直线()ykx29yx,1ba过点（ ），则(2)ykx1,2k16因为 所以点 到 中每条直线的距离cos()siny(0,2)PM221id即 为圆 : 的全体切线组成的集合,从而 中存在两条平行直线,所以MC()
12、xyA 错误又因为 点不存在任何直线上,所以 B 正确(02)对任意 ,存在正 边形使其内切圆为圆 ,故 正确3nC中边能组成两个大小不同的正三角形 和 ,故 D 错误,AEF故命题中正确的序号是 B,C三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。17.解： (1) , 由 ,得 2211()xxfee()0f1x因为 当 时, ； 当 时, ； 当 时, ；0xf0()0fx所以 的单调增区间是: ； 单调减区间是: .()f1,)(,)，(2) 由 ,2 )(xxkfxkfe210xke得： .(1)0故：当 时, 解集是： ；k1xk当 时，解集是： ；1k当 时, 解集是：1xk18
13、.解：（1） 的所有取值为0,5,2,30(0)64P()P15()64P5()16P1232（2） 3535050562E19解：(1) 因为 ，即 ，sintacoABCsinisncocoCAB所以 ，sin即 ，cii得 . 所以 ,或 (不成立).()s() )C即 , 得 ，所以.2CAB323BA又因为 ，则 ，或 （舍去）1sin()cos2C656得 5,41(2) 6sin328ABCSacac又 , 即 ，sii2得 2,3.ac20解：方法一：（1）依题设知，AC 是所作球面的直径，则 AMMC。又因为 P A平面 ABCD，则 PACD，又 CDAD，所以 CD平面，
14、则 CDAM，所以 A M平面 PCD，所以平面 ABM平面 PCD。（2）由（1）知， ，又 ，则 是 的中点可得MPDPD，23C则 6ACMS设 D 到平面 ACM 的距离为 ，由 即 ，hDACMADV268h可求得 ，23h NO DM CB PA设所求角为 ，则 ， 。6sin3hCD6arcsin3（3） 可求得 PC=6。因为 ANNC，由 ，得 PN 。所以 。PNAC8:5:9NCP故 N 点到平面 ACM 的距离等于 P 点到平面 ACM 距离的 。59又因为 M 是 PD 的中点，则 P、D 到平面 ACM 的距离相等，由（2）可知所求距离为。5106927h方法二：（
15、1）同方法一；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则 ， ，(0,)A(,04)P， ， ， ；设平面 的一(,0)B(2,40)C(,)D2MCM个法向量 ，由 可得： ，令nxyznxyz，则1z。设所求角为 ，则 ，(2,)6sin3DC所以所求角的大小为 。6arcsi3（3）由条件可得， .在 中， ,所以 ,则ANCRtPA2PN83, ，所以所求距离等于点 到平面 距离的 ，设点10NCP59CAM59到平面 距离为 则 ，所以所求距离为 。Mh263n5106h92721解： (1) 由已知得 ,则直线 的方程为: ,20830FbAy（ ， ） ， （ ， ） 2FA03()
16、yxb令 得 ,即 ,0x09y()P设 ,则 ,即 代入 得: ,P（ ， ） 00 25xyy25xy2018xyb24185xyb即 的轨迹 的方程为E221xbyxzDMCBPANO(2) 在 中令 得 ,则不妨设 ,2215xyb0y2xb-2020BbDb（ ， ） ， （ ， ）于是直线 的方程为: , 直线 的方程为: ,QB1()Q1(-)yx则 ,112-200bybyMNxx（ ， ） ， （ ， ）则以 为直径的圆的方程为: ,2112- 0-ybyxbx（ ） （ ）令 得: ,而 在 上,则 ,0y21byx1,Q（ ） 22522115y于是 ,即以 为直径的圆过两定点 .5MN(,0),b22解：（1）由 得(1)(1)pqmnaa将 代入化简得121.()()nna24,512.n所以 1,3nna故数列 为等比数列，从而1n即,13na1.n可验证， 满足题设条件.1n(2) 由题设 的值仅与 有关,记为 则(1)mnan,mnb11 .()()nnnaab 考察函数 ,则在定义域上有()(0)1axfx,(),12,01fxgaa故对 ， 恒成立*nN()nbga又 ,22(1)nn注意到 ,解上式得0ga1()2()1()2()() ,12ngaga取 ,即有 ()()ga.n
