1、 1 / 9 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标 号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1设 1i2i1iz ，则 z A 0 B 12C 1 D 2 2已知集合 2| 2 0A x x x ，则 AR A | 1
2、 2xx B | 1 2xx C | 1 | 2x x x x D | 1 | 2x x x x 3某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍实现翻番为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A新农村建设后，种植收入减少 B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的 总和 超过了经济收入的一半 4记 nS 为等差数列 na 的前 n 项和若 3 2 43S S S， 1 2a ，则 3a A 12 B 10 C 10 D 12
3、 5设函数 321f x x a x ax 若 fx为奇函数，则曲线 y f x 在点 00， 处的切线方程为 A 2yx B yx C 2yx D yx 2 / 9 6在 ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB A 3144AB ACB 1344AB ACC 3144AB ACD 1344AB AC7某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A ，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B ，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径 中，最短路径的长度为 A 217 B 25 C 3 D 2 8设抛
4、物线 2 4C y x： 的焦点为 F ，过点 20， 且斜率为 23的直线与 C 交于 M ， N 两点，则FM FN A 5 B 6 C 7 D 8 9已知函数 0ln 0xexfxxx ， ， g x f x x a ，若 gx存在 2个零点，则 a 的取值范围是 A 10， B 0 ， C 1 ， D 1 ， 10下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC ，直角边AB ， AC ， ABC 的三边所围成的区域记为 ，黑色部分记为 ，其余部分记为 ，在整个图形中随机取一点，此点取自 ， ， 的概率分别记为 1
5、p ， 2p ， 3p ，则 A 12pp B 13pp C 23pp D 1 2 3p p p 11已知双曲线 2 2 13xCy：， O 为坐标原点， F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M ， N 若 OMN 为直角三角形，则 MN A 32B 3 C 23 D 4 12已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为 A 334B 233C 324D 323 / 9 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13若 xy， 满足约束条件 2 2 0100xyxyy，则 32z x y
6、 的最大值为 _ 14记 nS 为数列 na 的前 n 项和若 21nnSa，则 6S _ 15从 2位女生， 4位男生中选 3人参加科技比赛，且至少有 1位女生入选，则不同的选法共有 _种（用数字填写答案） 16已知函数 2 sin sin 2f x x x，则 fx的最小值是 _ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17 （ 12分） 在平面四边形 ABCD 中， 90ADC ， 45A ， 2AB ， 5BD （ 1）求 cos
7、ADB ； （ 2）若 22DC ，求 BC 18 （ 12分） 如图，四边形 ABCD 为正方形， E ， F 分别为 AD ， BC 的中点，以 DF 为折痕把 DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PF BF （ 1）证明：平面 PEF 平面 ABFD ； （ 2）求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值 19 （ 12分） 设椭圆 2 2 12xCy：的右焦点为 F ，过 F 的直线 l 与 C 交于 A ， B 两点，点 M 的坐标为 20， （ 1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程； （ 2）设 O 为坐标原点，证明： OMA OMB 4 / 9 20 （
8、 12分） 某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要 对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取 20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 01pp ，且各件产品是否为不合格品相互独立 （ 1）记 20件产品中恰有 2件不合格品的概率为 fp，求 fp的最大值点 0p ； （ 2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（ 1）中确定的 0p 作为 p 的值已知每件产品的检验费用为 2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25元的赔偿费用 （ i
9、）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X ，求 EX ； （ ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验 ？ 21 （ 12分） 已知函数 1 lnf x x a xx （ 1）讨论 fx的单调性； （ 2）若 fx存在两个极值点 1x ， 2x ，证明： 1212 2f x f x axx （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22 选修 4 4：坐标系与参数方程 （ 10分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的方程为 2y kx以坐标原点为极点，
10、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 2 2 cos 3 0 （ 1）求 2C 的直 角坐标方程； （ 2）若 1C 与 2C 有且仅有三个公共点，求 1C 的方程 23 选修 4 5：不等式选讲 （ 10分） 已知 11f x x ax （ 1）当 1a 时，求不等式 1fx 的解集； （ 2）若 01x ， 时不等式 f x x 成立，求 a 的取值范围 5 / 9 绝密 启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 一、选择题 1 C 2 B 3 A 4 B 5 D 6 A 7 B 8 D 9 C 10 A 11 B 12 A 二、填空题 1
11、3 6 14 63 15 16 16 332 三、解答题 17解： （ 1）在 ABD 中，由正弦定理得 sin sinBD ABA ADB 由题设知， 52sin 4 5 sin ADB，所以 2sin 5ADB 由题设知， 90ADB ，所以 2 2 3c o s 12 5 5A D B （ 2）由题设及（ 1）知， 2c o s s i n 5B D C A D B 在 BCD 中，由余弦定理得 2 2 2 2 c o sB C B D D C B D D C B D C 22 5 8 2 5 2 2 5 25 所以 5BC 18解： （ 1）由已知可得， BF PF， BF EF，所以
12、 BF 平面 PEF 又 BF 平面 ABFD，所以平面 PEF 平面 ABFD （ 2）作 PH EF，垂足为 H 由（ 1）得， PH 平 面 ABFD 6 / 9 以 H为坐标原点， HF 的方向为 y轴正方向， |BF 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz 由（ 1）可得， DE PE 又 DP=2， DE=1，所以 PE= 3 又 PF=1， EF=2，故 PE PF 可得33,22PH EH 则 3 3 3 3(0 , 0 , 0 ) , (0 , 0 , ) , ( 1 , , 0 ) , ( 1 , , ) ,2 2 2 2H P D D P 3(0,0, )2HP
13、为平面 ABFD的法向量 设 DP与平面 ABFD所成角为 ，则3 34s in | | 4| | | | 3H P D PH P D P 所以 DP与平面 ABFD所成角的正弦值为 34 19解： （ 1）由已知得 (1,0)F ， l的方程为 x=1 由已知可得，点 A的坐标为 2(1, )2 或 2(1, )2 所以 AM的 方程为 2 22yx 或 2 22yx （ 2）当 l与 x轴重合时， 0OM A OM B 当 l与 x轴垂直时， OM为 AB的垂直平分线，所以 OMA OMB 当 l与 x轴不重合也不垂直时，设 l的方程为 ( 1)( 0)y k x k ， 1 2 21(
14、, ), ( , )Ay x yx B ， 则 122, 2xx，直线 MA， MB的斜率之和为2121 22M A M B xxyykk 由 11 22,y k k xykx k 得 1 2 1 212(2 3 ( ) 42 ) ( 2 )M A M B x x x xkkxx kkk 将 ( 1)y k x代入 2 2 12x y得 7 / 9 2 2 2 2( 2 1 ) 4 2 2 0k x k x k 所以， 21 2212224 2 2,2 1 2 1x x xkkk x k 则 3131322 24 4 1 2 8 42 3 ( ) 4 021k k k k kk k k kx
15、x x x 从而 0MA MBkk，故 MA， MB的倾斜角互补，所以 OMA OMB 综上， OMA OMB 20解： （ 1） 20件产品中恰有 2件不合格品的概率为 2 2 1 820( ) C (1 )f p p p 因此 2 1 8 2 1 7 2 1 72 0 2 0( ) C 2 ( 1 ) 1 8 ( 1 ) 2 C ( 1 ) ( 1 1 0 )f p p p p p p p p 令 ( ) 0fp ，得 0.1p 当 (0,0.1)p 时， ( ) 0fp ；当 (0.1,1)p 时， ( ) 0fp 所以 ()fp的最大值点为 0 0.1p （ 2）由（ 1）知， 0.1
16、p （ i）令 Y 表示余下的 180件产品中的不合格品件数，依题意知 (180,0.1)YB ，20 2 25XY ，即 40 25XY 所以 ( 4 0 2 5 ) 4 0 2 5 4 9 0E X E Y E Y （ ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为 400元 由于 400EX ，故应该对余下的产品作检验 21解： （ 1） ()fx的定义域为 (0, ) ， 22211( ) 1 a x a xfx x x x （ i）若 2a ，则 ( ) 0fx ，当且仅当 2a ， 1x 时 ( ) 0fx ，所以 ()fx在 (0, ) 单调递减 （ ii）若 2a
17、，令 ( ) 0fx 得， 2 42aax 或 2 42aax 当 2244(0 , ) ( , )a a a ax 时， ( ) 0fx ； 8 / 9 当 2244( , )a a a ax 时， ( ) 0fx 所以 ()fx在2244(0 , ) , ( , )a a a a 单调递减，在 2244( , )a a a a 单调递增 （ 2）由（ 1）知， ()fx存在两个极值点当且仅当 2a 由于 ()fx的两个极值点 12,xx满足 2 10x ax ，所以 121xx ，不妨设 12xx ，则 2 1x 由于 1 2 1 2 1 2 21 2 1 2 1 2 1 2 22( )
18、( ) l n l n l n l n 2 l n1 1 2 2 1f x f x x x x x xaaax x x x x x x x xx ， 所以 1212( ) ( ) 2f x f x axx 等价于 2221 2 ln 0xxx 设函数 1( ) 2 lng x x xx ，由（ 1）知， ()gx在 (0, ) 单调递减，又 (1) 0g ，从而当 (1, )x 时， ( ) 0gx 所以2221 2 ln 0xxx ，即 1212( ) ( ) 2f x f x axx 22解： （ 1）由 cosx ， siny 得 2C 的 直角坐标 方程为 22( 1) 4xy （ 2
19、）由（ 1）知 2C 是圆 心为 ( 1,0)A ， 半径 为 2 的圆 由题设知， 1C 是过点 (0,2)B 且关于 y 轴对称的两条射线 记 y 轴右边的射线为 1l ， y 轴左边的射线为 2l 由于 B 在圆 2C 的外面，故 1C 与 2C 有且仅有三个公共点等价于 1l 与 2C 只有一个公共点且 2l与 2C 有两个公共点，或 2l 与 2C 只有一个公共点且 1l 与 2C 有两个公共点 当 1l 与 2C 只有一个公共点时， A 到 1l 所 在直线的距离为 2 ，所以2| 2| 21kk ，故 43k 或0k 经检验，当 0k 时， 1l 与 2C 没有公共点；当 43k
20、 时， 1l 与 2C 只有一个公共点， 2l 与 2C 有两个公共点 9 / 9 当 2l 与 2C 只有一个公共点时， A 到 2l 所在直线的距离为 2 ，所以2| 2| 21kk ，故 0k 或 43k 经检验，当 0k 时， 1l 与 2C 没有公共点；当 43k 时， 2l 与 2C 没有公共点 综上，所求 1C 的方程为 4 | | 23yx 23解： （ 1）当 1a 时， ( ) | 1 | | 1 |f x x x ，即2 , 1,( ) 2 , 1 1,2 , 1 .xf x x xx 故不等式 ( ) 1fx 的解集为 1 | 2xx （ 2）当 (0,1)x 时 | 1 | | 1 |x ax x 成立等价于 当 (0,1)x 时 | 1| 1ax 成立 若 0a ，则当 (0,1)x 时 | 1| 1ax ； 若 0a ， | 1| 1ax 的解集为 20 x a ，所以 2 1a ，故 02a 综上， a 的取值范围为 (0,2
