1、- 1 -初中数学竞赛专题选讲（初三.22）辅助圆一、内容提要1. 经过两个点可以画无数个圆；经过三个点作圆，必须是不在同一直线上的三个点，可以作一个圆，并且只能作一个圆.2. 经过四点作圆(即四点共圆) 有如下的判定定理： 到一个定点的距离相等的所有的点在同一个圆上(圆的定义). 一组对角互补的四边形顶点在同一圆上. 一个外角等于它的内对角的四边形顶点共圆. 同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆.推论：同斜边的直角三角形顶点共圆(斜边就是圆的直径).3. 画出辅助圆就可以应用圆的有关性质.常用的有： 同弧所对的圆周角相等. 圆内接四边形对角互补，外角等于内对角. 圆心角(圆周角)、弧、弦、弦心距
2、的等量关系. 圆中成比例线段定理：相交弦定理 ，切割线定理.4. 证明 型如 ab+cd=m2 常用切割线定理二、例题例 1.已知：点 O 是ABC 的外心，BE，CD 是高.求证：AODE证明：延长 AO 交ABC 的外接圆于 F，连接 BF.O 是ABC 的外心AF 是ABC 外接圆的直径，ABF=Rt.BE，CD 是高，BDC=CEB=Rt .B，C，E ，D 四点共圆(同斜边的直角三角形顶点共圆)ADE=ECB=F.AGD=ABF=Rt，即 AODE.例 2.正方形 ABCD 的中心为 O，面积为 1989cm2，P 为正方形内的一点，且GOCBADFE- 2 -OPB=45 ，PAP
3、B=514，则 PB=_cm. 解：OPB=OAB=45 ABOP 四点共圆( 同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆)APB=AOB=Rt.在 Rt APB 中，设 PA 为 5x，则 PB 是 14x.(5x) 2+(14x)2=1989.解得 x=3, 14x.42.PB=42 (cm).例 3.已知：平行四边形 ABCD 中，CE AB 于 E，AFBC 于 F.求证：ABAE+CBCF=AC 2.证明：作 BGAC 交 AC 于 G.CEAB， AF BC.A，F，B，G 和 B，E，C，G 分别共圆.(对角互补的四边形顶点共圆 )根据切割线定理，得ABAE=AGACCBCF=CGACAB
4、AE+CBCF=AC(AG+CG)=AC 2.例 4.已知：AD 是 RtABC 斜边的高，角平分线 BE 交 AD 于 F.求证：AE 2=AB2BEBF.分析：根据同角的余角相等，可证 AE=AF.由射影定理 AB2=BDBC.故只要证 AEAFBDBCBE BF创造应用切割线定理的条件，作ABC 的外接圆并延长 BE 交圆于 G，得F、D、C、G 四点共圆 . BDBC=BF BG.右边= BFBG. BEBF=BF(BGBE)=BF EGBD CAOPBDA ECFGFAB CDEG- 3 -从而转为要证 AEAF= BFBG. 即 AFEGB只要证AEG BFA(证明由同学自已完成)例 5 已知：从O 外一点 P 作O 的两条切线 PA，PB 切点 A 和 B，在 AB 上任取一点 C，经过点 C 作 OC 的垂线交 PA 于 M，交 PB 于 N. 求证：OM=ON.证明：连结 OA，OB .A，B 是切点 OAPA ， OBPB. 又OCMN.A，M，C ，O 和 B，N，O ，C 分别共圆.(辅助圆可以不画)根据同弧所对的圆周角相等，得OAC=OMC， ONC=OBC.OA=OB， OAC=OBC.OMC=ONC ， OM=ON.lOJPABCMN
