1、第九章 单元测试 一、选择题 (本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分每小题中只有一项 符合题目要求 ) 1 (2012浙江 )设 a R，则“ a 1”是“直线 l 1 ： ax 2y 1 0与直线 l 2 ： x (a 1)y 4 0平行”的 ( ) A充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由 a 1可得 l 1 l 2 ，反之，由 l 1 l 2 可得 a 1或 a 2，故选 A. 2 (2012湖北 )过点 P(1,1)的直线，将圆形区域 (x， y)|x 2 y 2 4|分为两部 分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的
2、方程为 ( ) A x y 2 0 B y 1 0 C x y 0 D x 3 y 4 0 答案 A 解析 两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径因 为过点 P(1,1)的直径所在直线的斜率为 1，所以所求直线的斜率为 1，方程为 x y 2 0. 3经过抛物线 y 2 4x的焦点且平行于直线 3x 2y 0的直线 l的方程是 ( ) A 3x 2y 3 0 B 6 x 4 y 3 0 C 2x 3y 2 0 D 2 x 3 y 1 0 答案 A 解析 抛物线 y 2 4x的焦点是 (1,0)，直线 3x 2y 0的斜率是 3 2 ，直线 l 的方程是 y 3 2 (x 1
3、)，即 3x 2y 3 0，故选 A. 4已知圆 C的半径为 2，圆心在 x轴的正半轴上，直线 3x 4y 4 0与圆 C相切，则圆 C的方程为 ( ) A x 2 y 2 2x 3 0 B x 2 y 2 4 x 0 C x 2 y 2 2x 3 0 D x 2 y 2 4 x 0 答案 D 解析 设圆心 C(a,0)(a0)，由 3a 4 5 2得， a 2，故圆的方程为 (x 2) 2 y 2 4，即 x 2 y 2 4x 0. 5 (2012江西 )椭圆 x 2 a 2 y 2 b 2 1(ab0)的左、右顶点分别是 A， B，左、右焦 点分别是 F 1 ， F 2 .若 |AF 1
4、|， |F 1 F 2 |， |F 1 B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 ( ) A. 1 4B. 5 5C. 1 2D. 5 2 答案 B 解析 由等比中项的性质得到 a， c的一个方程，再进一步转化为关于 e的 方程，解之即得所求依题意得 |F 1 F 2 | 2 |AF 1 | |F 1 B|，即 4c 2 (a c)(a c) a 2 c 2 ，整理得 5c 2 a 2 ， e c a 5 5 . 6 (2012浙江 )如图，中心均为原点 O的双曲线与椭圆有公共焦点， M， N 是双曲线的两顶点若 M， O， N将椭圆 长 轴 四 等分，则双曲线与椭圆的离心率 的比 值 是 ( )
5、A 3 B 2 C. 3 D. 2 答案 B 解析 设焦点为 F( c,0)，双曲线的实半 轴 长为 a， 则 双曲线的 离 心率 e 1 c a ，椭 圆的 离 心率 e 2 c 2a ，所以 e 1 e 2 2.选 B. 7设 F 1 、 F 2 分别是双曲线 x 2 y 2 9 1的左、右焦点若点 P在双曲线上， 且 PF 1 PF 2 0，则 |PF 1 PF 2 |等于 ( ) A. 10 B 2 10 C. 5 D 2 5 答案 B 解析 F 1 ( 10， 0)， F 2 ( 10， 0)， 2c 2 10， 2a 2. PF 1 PF 2 0， |PF 1 | 2 |PF 2
6、| 2 |F 1 F 2 | 2 4c 2 40. (PF 1 PF 2 ) 2 |PF 1 | 2 |PF 2 | 2 2PF 1 PF 2 40. |PF 1 PF 2 | 2 10. 8过抛物线 y 1 4 x 2 准 线上 任一 点 作 抛物线的两条切线，若切点分别为 M， N，则直线 MN过 定 点 ( ) A (0,1) B (1,0) C (0， 1) D ( 1,0) 答案 A 解析 特殊值法 ， 取准 线 上 一点 (0， 1)设 M(x 1 ， 1 4 x 2 1 )， N(x 2 ， 1 4 x 2 2 )， 则 过 M、 N的 切 线方程分 别 为 y 1 4 x 2
7、1 1 2 x 1 (x x 1 )， y 1 4 x 2 2 1 2 x 2 (x x 2 ) 将 (0， 1)代 入 得 x 2 1 x 2 2 4， MN的方程为 y 1， 恒 过 (0,1)点 9如图，过抛物线 x 2 4py(p0)焦点的直线 依次交 抛物线与圆 x 2 (y p) 2 p 2 于点 A、 B、 C、 D，则 AB CD 的 值 是 ( ) A 8p 2B 4 p 2C 2 p 2D p 2答案 D 解析 |AB | |AF| p y A ， |CD | |DF| p y B ， |AB | |CD | y A y B p 2 .因为 AB ， CD 的方 向相同 ，
8、所以 AB CD |AB | |CD | y A y B p 2 . 10已知抛物线 y x 2 上有 一定 点 A( 1,1)和 两 动 点 P、 Q， 当 PA PQ时 ， 点 Q的 横坐标取值范围 是 ( ) A ( ， 3 B 1， ) C 3,1 D ( ， 3 1， ) 答案 D 解析 设 P(x 1 ， x 2 1 )， Q(x 2 ， x 2 2 )， k AP x 2 1 1 x 1 1 x 1 1， k PQ x 2 2 x 2 1 x 2 x 1 x 2 x 1 . 由题意得 k PA k PQ (x 1 1)(x 2 x 1 ) 1， x 2 1 1 x 1 x 1 1
9、 (1 x 1 ) (1 x 1 ) 1.利用函数 性质 知 x 2 ( ， 3 1， )，故选 D. 二、填空题 (本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分， 把答案填 在题中 横 线 上 ) 11设 l 1 的 倾斜角 为 ， (0， 2 )， l 1 绕其 上 一 点 P逆时针 方 向旋转 角 得 直线 l 2 ， l 2 的 纵截距 为 2， l 2 绕 点 P逆时针 方 向旋转 2 角 得直线 l 3 ： x 2y 1 0，则 l 1 的方程为 _ 答案 2x y 8 0 解析 l 1 l 3 ， k 1 tan 2， k 2 tan2 2tan 1 tan 2 4 3 . l 2
10、 的 纵截距 为 2， l 2 的方程为 y 4 3 x 2. 由 y 4 3 x 2， x 2y 1 0， P( 3,2)， l 1 过 P点 l 1 的方程为 2x y 8 0. 12过直线 2x y 4 0和 圆 x 2 y 2 2x 4y 1 0的 交 点且面积最 小 的圆 的方程是 _ 答案 (x 13 5 ) 2 (y 6 5 ) 2 4 5解析 因为 通 过两个 定 点的 动 圆中，面积最小的是以 这 两个 定 点为直径 端 点 的圆，于是解方程 组 2x y 4 0， x 2 y 2 2x 4y 1 0， 得 交 点 A( 11 5 ， 2 5 )， B( 3,2) 因为 AB
11、为直径， 其 中点为圆心，即为 ( 13 5 ， 6 5 )， r 1 2 |AB| 2 5 5， 所以圆的方程为 (x 13 5 ) 2 (y 6 5 ) 2 4 5 . 13 (2012江 苏 )在平面直 角坐标系 xOy中，圆 C的方程为 x 2 y 2 8x 15 0，若直线 y kx 2上 至少存 在 一 点，使得 以 该点为圆心， 1为半径的圆与圆 C有公共点，则 k的最大 值 是 _ 答案 4 3解析 设圆心 C(4,0)到直线 y kx 2的 距离 为 d， 则 d |4k 2| k 2 1 ，由题意 知 问 题转化为 d 2，即 d |4k 2| k 2 1 2，得 0 k
12、4 3 ，所以 k max 4 3 . 14若椭圆 x 2 a 2 y 2 b 2 1过抛物线 y 2 8x的焦点，且与双曲线 x 2 y 2 1有相 同 的焦点，则该椭圆的方程是 _ 答案 x 2 4 y 2 2 1 解析 抛物线 y 2 8x的焦点 坐标 为 (2,0)， 则 依题意 知椭 圆的 右顶 点的 坐标 为 (2,0)， 又椭 圆 与 双曲线 x 2 y 2 1有 相同 的焦点， a 2， c 2. b 2 a 2 c 2 ， b 2 2， 椭 圆的方程为 x 2 4 y 2 2 1. 15已知两点 M( 3,0)， N(3,0)，点 P 为 坐标 平面 内一动 点，且 |MN
13、| |MP | MN NP 0，则 动 点 P(x， y)到 点 A( 3,0)的 距 离的最 小值 为 _ 答案 3 解析 因为 M( 3,0)， N(3,0)，所以 MN (6,0)， |MN | 6， MP (x 3， y)， NP (x 3， y) 由 |MN | |MP | MN NP 0，得 6 (x 3) 2 y 2 6(x 3) 0，化 简 整理得 y 2 12x. 所以点 A是抛物线 y 2 12x的焦点，所以点 P到 A的 距离 的最小 值就 是 原 点到 A( 3,0)的 距离 ，所以 d 3. 16已知 以 y 3x为 渐近 线的双曲线 D： x 2 a 2 y 2 b
14、 2 1(a0， b0)的左，右焦 点分别为 F 1 ， F 2 ，若 P为双曲线 D右 支 上 任意一 点，则 |PF 1 | |PF 2 | |PF 1 | |PF 2 | 的 取值范围 是 _ 答案 0， 1 2解析 依题意， |PF 1 | |PF 2 | 2a， |PF 1 | |PF 2 | 2c， 所以 0 |PF 1 | |PF 2 | |PF 1 | |PF 2 | a c 1 e .又 双曲线的 渐近 线方程 y 3x， 则 b a 3. 因此 e c a 2，故 0 |PF 1 | |PF 2 | |PF 1 | |PF 2 | 1 2 . 三、解答题 (本大题共 6小题
15、，共 70分，解 答应写出文字说明、证明 过程或 演算 步 骤 ) 17 (本题满 分 10分 )已知 O为平面直 角坐标系 的原点，过点 M( 2,0)的直 线 l与圆 x 2 y 2 1交 于 P， Q两点 (1)若 OP OQ 1 2 ， 求 直线 l的方程 ； (2)若 OMP与 OPQ的面积相等， 求 直线 l的 斜 率 解析 (1)依题意 知 直线 l的斜率 存 在， 因为直线 l过点 M( 2,0)， 故可设直线 l的方程为 y k(x 2) 因为 P， Q两点在圆 x 2 y 2 1上 ，所以 |OP | |OQ | 1. 因为 OP OQ 1 2 ，即 |OP | |OQ |
16、 cos POQ 1 2 . 所以 POQ 120，所以点 O到直线 l的 距离 等于 1 2 . 所以 |2k| k 2 1 1 2 ，解得 k 15 15 . 所以直线 l的方程为 x 15y 2 0或 x 15y 2 0. (2)因为 OMP与 OPQ的面积 相 等，所以 MP PQ，即 P为 MQ的中点， 所以 MQ 2MP . 设 P(x 1 ， y 1 )， Q(x 2 ， y 2 )，所以 MQ (x 2 2， y 2 )， MP (x 1 2， y 1 ) 所以 x 2 2 2(x 1 2)， y 2 2y 1 ， 即 x 2 2(x 1 1)， y 2 2y 1 . 因为 P
17、， Q两点在圆 x 2 y 2 1上 ，所以 x 2 1 y 2 1 1， x 2 2 y 2 2 1. 由 及 得 x 2 1 y 2 1 1， 4(x 1 1) 2 4y 2 1 1， 解得 x 1 7 8 ， y 1 15 8 .故直线 l的斜率 k k MP 15 9 . 18 (本题满 分 12分 )(2012北 京文 )已知椭圆 C： x 2 a 2 y 2 b 2 1(ab0)的 一个 顶 点为 A(2,0)，离心率为 2 2 .直线 y k(x 1)与椭圆 C交 于不 同 的两点 M， N. (1)求 椭圆 C的方程 ； (2)当 AMN的面积为 10 3 时 ， 求 k的 值
18、 解析 (1)由题意得 a 2， c a 2 2 ， a 2 b 2 c 2 ， 解得 b 2. 所以 椭 圆 C的方程为 x 2 4 y 2 2 1. (2)由 y k(x 1)， x 2 4 y 2 2 1， 得 (1 2k 2 )x 2 4k 2 x 2k 2 4 0. 设点 M， N的 坐标 分 别 为 (x 1 ， y 1 )， (x 2 ， y 2 )， 则 y 1 k(x 1 1)， y 2 k(x 2 1)， x 1 x 2 4k 2 1 2k 2 ， x 1 x 2 2k 2 4 1 2k 2 . 所以 |MN| (x 2 x 1 ) 2 (y 2 y 1 ) 2 (1 k
19、2 ) (x 1 x 2 ) 2 4x 1 x 2 2 (1 k 2 )(4 6k 2 ) 1 2k 2 . 又 因为点 A(2,0)到直线 y k(x 1)的 距离 d |k| 1 k 2 ， 所以 AMN的面积为 S 1 2 |MN| d |k| 4 6k 2 1 2k 2 . 由 |k| 4 6k 2 1 2k 2 10 3 ，化 简 得 7k 4 2k 2 5 0，解得 k 1. 19 (本题满 分 12分 )(2012天津 理 )设椭圆 x 2 a 2 y 2 b 2 1(ab0)的左、右顶点分 别为 A、 B，点 P在椭圆上且 异 于 A， B两点， O为 坐标 原点 (1)若直线
20、 AP与 BP的 斜 率之积为 1 2 ， 求 椭圆的离心率 ； (2)若 |AP| |OA|， 证明 直线 OP的 斜 率 k满足 |k| 3. 解析 (1)设点 P的 坐标 为 (x 0 ， y 0 ) 由题意，有 x 2 0 a 2 y 2 0 b 2 1. 由 A ( a,0)， B(a,0)，得 k AP y 0 x 0 a ， k BP y 0 x 0 a . 由 k AP k BP 1 2 ，可得 x 2 0 a 2 2y 2 0 ， 代入并 整理得 (a 2 2b 2 )y 2 0 0.由于 y 0 0，故 a 2 2b 2 .于是 e 2 a 2 b 2 a 2 1 2 ，所
21、以 椭 圆的 离 心率 e 2 2 . (2)方 法 一 依题意，直线 OP 的方程为 y kx，设点 P的 坐标 为 (x 0 ， y 0 )由 条件 得 y 0 kx 0 ， x 2 0 a 2 y 2 0 b 2 1.消去 y 0 并 整理得 x 2 0 a 2 b 2 k 2 a 2 b 2 . 由 | AP| |OA|， A( a,0)及 y 0 kx 0 ，得 ( x 0 a ) 2 k 2 x 2 0 a 2 .整理得 (1 k 2 )x 2 0 2ax 0 0. 而 x 0 0，于是 x 0 2a 1 k 2 ， 代入 ，整理得 (1 k 2 ) 2 4k 2 ( a b )
22、2 4.由 ab0，故 (1 k 2 ) 2 4k 2 4，即 k 2 14.因此 k 2 3， 所以 |k| 3. 方 法二 依题意，直线 OP的方程为 y kx，可设点 P的 坐标 为 (x 0 ， kx 0 )由 点 P在 椭 圆 上 ，有 x 2 0 a 2 k 2 x 2 0 b 2 1.因为 ab0， kx 0 0，所以 x 2 0 a 2 k 2 x 2 0 a 2 3，所以 |k| 3. 20. (本题满 分 12分 )如图，点 A， B分别是椭圆 x 2 36 y 2 20 1长 轴的左，右 端 点， 点 F是椭圆的右焦点，点 P在椭圆上，且 位 于 x轴上方， PA PF.
23、 (1)求 点 P的 坐标； (2)设 M是椭圆 长 轴 AB的 一 点， M到 直线 AP的 距 离等于 |MB|， 求 椭圆上的 点 到 点 M的 距 离 d的最 小值 解析 (1)由 已知 可得点 A( 6,0)， F(4,0)， 设点 P的 坐标 是 (x， y)， 则 AP (x 6， y)， FP (x 4， y) 由 已知 得 x 2 36 y 2 20 1， (x 6)(x 4) y 2 0， 则 2x 2 9x 18 0， x 3 2 或 x 6. 点 P位 于 x轴上 方， x 6舍去 ， 只 能取 x 3 2 .由于 y0，于是 y 5 2 3. 点 P的 坐标 是 (
24、3 2 ， 5 2 3) (2)直线 AP的方程是 x 3y 6 0. 设点 M的 坐标 是 (m,0)( 6 m 6)， 则 M到直线 AP的 距离 是 m 6 2 . 于是 m 6 2 6 m，解得 m 2. 椭 圆 上 的点 (x， y)到点 M的 距离 d有 d 2 (x 2) 2 y 2 x 2 4x 4 20 5 9 x 2 4 9 (x 9 2 ) 2 15. 由于 6 x 6， 当 x 9 2 时， d取 得最小 值 15. 21 (本题满 分 12 分 )已知椭圆 x 2 m 1 y 2 1的两 个 焦点是 F 1 ( c,0)， F 2 (c,0)(c0) (1)设 E是直
25、线 y x 2与椭圆的 一个 公共点， 求 |EF 1 | |EF 2 |取 得最 小值时 椭 圆的方程 ； (2)已知点 N(0， 1)， 斜 率为 k(k 0)的直线 l与条件 (1)下 的椭圆 交 于不 同 的 两点 A， B，点 Q满足 AQ QB ，且 NQ AB 0， 求 直线 l在 y轴上的 截距 的 取值 范围 解析 (1)由题意， 知 m 11，即 m0. 由 y x 2， x 2 m 1 y 2 1， 得 (m 2)x 2 4(m 1)x 3(m 1) 0. 又 由 16(m 1) 2 12(m 2)(m 1) 4(m 1)(m 2) 0， 解得 m 2或 m 1(舍去 )
26、， m 2. 此时 |EF 1 | |EF 2 | 2 m 1 2 3. 当且仅当 m 2时， |EF 1 | |EF 2 |取 得最小 值 2 3， 此时 椭 圆的方程为 x 2 3 y 2 1. (2)设直线 l的方程为 y kx t.由方程 组 x 2 3y 2 3， y kx t，消去 y得 (1 3k 2 )x 2 6ktx 3t 2 3 0. 直线 l与椭 圆 交 于 不同 的两点 A， B， (6kt) 2 4(1 3k 2 )(3t 2 3)0， 即 t 2 1 3k 2 . 设 A(x 1 ， y 1 )， B(x 2 ， y 2 )， Q(x Q ， y Q )， 则 x
27、1 x 2 6kt 1 3k 2 . 由 AQ QB ，得 Q为线 段 的 AB的中点， 则 x Q x 1 x 2 2 3kt 1 3k 2 ， y Q kx Q t t 1 3k 2 . NQ AB 0，直线 AB的斜率 k AB 与 直线 QN的斜率 k QN 乘 积为 1，即 k QN k AB 1， t 1 3k 2 1 3kt 1 3k 2 k 1. 化 简 得 1 3k 2 2t， 代入 式 得 t 2 0，故 2t 1 3k 2 1，得 t 1 2 . 综 上 ，直线 l在 y轴上 的 截距 t的 取值 范围 是 ( 1 2 ， 2) 22 (本题满 分 12分 )(2012浙
28、江 文 ) 如图，在直 角坐标系 xOy中，点 P(1， 1 2 )到 抛物线 C： y 2 2px(p0)的 准 线的 距 离为 5 4 .点 M(t,1)是 C上的 定 点， A， B是 C上的两 动 点，且线 段 AB被 直线 OM 平分 (1)求 p， t的 值； (2)求 ABP面积的最大 值 解析 (1)由题意 知 2pt 1， 1 p 2 5 4 ， 得 p 1 2 ， t 1.(2)设 A(x 1 ， y 1 )， B(x 2 ， y 2 )，线 段 AB的中点为 Q(m， m) 由题意 知 ，设直线 AB的斜率为 k(k 0) 由 y 2 1 x 1 ， y 2 2 x 2
29、， 得 (y 1 y 2 )(y 1 y 2 ) x 1 x 2 . 故 k 2m 1. 所以直线 AB的方程为 y m 1 2m (x m) 即 x 2my 2m 2 m 0. 由 x 2my 2m 2 m 0， y 2 x， 消去 x，整理得 y 2 2my 2m 2 m 0. 所以 4m 4m 2 0， y 1 y 2 2m， y 1 y 2 2m 2 m. 从 而 |AB| 1 1 k 2 |y 1 y 2 | 1 4m 2 4m 4m 2 . 设点 P到直线 AB的 距离 为 d， 则 d |1 2m 2m 2 | 1 4m 2 . 设 ABP的面积为 S， 则 S 1 2 |AB|
30、 d |1 2(m m 2 )| m m 2 . 由 4m 4m 2 0，得 0m1. 令 u m m 2 ， 0u 1 2 ， 则 S u(1 2u 2 ) 设 S(u) u(1 2u 2 )， 0u 1 2 ， 则 S (u) 1 6u 2 . 由 S (u) 0，得 u 6 6 (0， 1 2 所以 S(u) max S( 6 6 ) 6 9 . 故 ABP面积的最大 值 为 6 9 . 1 (2012辽宁 文 )将圆 x 2 y 2 2x 4y 1 0平分的直线是 ( ) A x y 1 0 B x y 3 0 C x y 1 0 D x y 3 0 答案 C 解析 要 使 直线 平
31、分圆，只要直线 经 过圆的圆心即可，由题 知 圆心 坐标 为 (1,2) A， B， C， D四 个选项中，只有 C选项中的直线 经 过圆心，故选 C. 2 (2012孝感统考 )若直线过点 P( 3， 3 2 )且 被 圆 x 2 y 2 25截 得的 弦长 是 8，则该直线的方程为 ( ) A 3x 4y 15 0 B x 3或 y 3 2C x 3 D x 3或 3x 4y 15 0 答案 D 解析 若 直线的斜率 不存 在， 则 该直线的方程为 x 3， 代入 圆的方程解 得 y 4，故该直线 被 圆 截 得的弦长为 8， 满足 条件 ；若 直线的斜率 存 在， 不 妨 设直线的方程为
32、 y 3 2 k(x 3)，即 kx y 3k 3 2 0，因为该直线 被 圆 截 得的弦 长为 8，故半弦长为 4， 又 圆的半径为 5， 则 圆心 (0,0)到直线的 距离 为 5 2 4 2 |3k 3 2 | k 2 1 ，解得 k 3 4 ，此时该直线的方程为 3x 4y 15 0.综 上 可 知答案 为 D. 3直线 4kx 4y k 0与抛物线 y 2 x交 于 A、 B两点，若 |AB| 4，则 弦 AB的中点 到 直线 x 1 2 0的 距 离等于 ( ) A. 7 4B 2 C. 9 4D 4 答案 C 解析 直线 4kx 4y k 0，即 y k ( x 1 4 )，可
33、知 直线 4kx 4y k 0过抛物 线 y 2 x的焦点 ( 1 4 ， 0)设 A(x 1 ， y 1 )， B(x 2 ， y 2 )， 则 |AB| x 1 x 2 1 2 4，故 x 1 x 2 7 2 ， 则 弦 AB的中点的 横坐标 是 7 4 ，弦 AB的中点到直线 x 1 2 0的 距离 是 7 4 1 2 9 4 . 4已知 l 1 和 l 2 是平面 内互 相 垂 直的两条直线， 它们 的 交 点为 A， 动 点 B、 C 分别在 l 1 和 l 2 上，且 BC 3 2，则过 A、 B、 C三 点的 动 圆 所 形成的区域的面积 为 ( ) A 6 B 8 C 16 D
34、 18 答案 D 解析 当 A与 B或 C重 合时，此时圆的面积最大， 且 圆的半径 r BC 3 2， 所以圆的面积 S r 2 (3 2) 2 18 ， 则 过 A、 B、 C三 点的 动 圆所 形成 的 区域 的 面积为 18 . 5已知椭圆 x 2 a 2 y 2 b 2 1(ab0)与双曲线 x 2 m 2 y 2 n 2 1(m0， n0)有相 同 的焦点 ( c,0)和 (c,0)若 c是 a与 m的等比中 项 ， n 2 是 m 2 与 c 2 的等差中 项 ，则椭圆的离心率等于 ( ) A. 1 3B. 3 3C. 1 2D. 2 2答案 B 解析 c 2 am,2n 2 c
35、 2 m 2 ， 又 n 2 c 2 m 2 ， m 2 1 3 c 2 ，即 m 3 3 c. c 2 3 3 ac， 则 e c a 3 3 . 6椭圆 x 2 4 y 2 3 1离心率为 e，点 (1， e)是圆 x 2 y 2 4x 4y 4 0的 一 条 弦 的中点，则此 弦所 在直线的方程是 ( ) A 3x 2y 4 0 B 4 x 6 y 7 0 C 3x 2y 2 0 D 4 x 6 y 1 0 答案 B 解析 依题意得 e 1 2 ，圆心 坐标 为 (2,2)，圆心 (2,2)与 点 (1， 1 2 )的 连 线的斜率 为 2 1 2 2 1 3 2 ，所求直线的斜率等于
36、2 3 ，所以所求直线方程是 y 1 2 2 3 (x 1)， 即 4x 6y 7 0，选 B. 7已知圆 x 2 y 2 1与 x轴的两 个交 点为 A、 B，若圆 内 的 动 点 P使 |PA |、 | PO|、 |PB|成等比数列，则 PA PB 的 取值范围 为 ( ) A. 0， 1 2B. 1 2 ， 0 C ( 1 2 ， 0) D 1,0) 答案 C 解析 设 P(x， y)， |PO| 2 |PA|PB|， 即 x 2 y 2 (x 1) 2 y 2 (x 1) 2 y 2 ， 整理得 2x 2 2y 2 1. PA PB (1 x， y) ( 1 x， y) x 2 y 2
37、 1 2x 2 3 2 . P为圆 内 动 点 且 满足 x 2 y 2 1 2 . 2 2 0)上 ， 将 点 A的 坐标代入 得 a 2，所以 C的实 轴 长为 4. 9已知正方形 ABCD，则 以 A、 B为焦点，且过 C、 D两点的椭圆的离心率 为 _ 答案 2 1 解析 令 AB 2， 则 AC 2 2. 椭 圆中 c 1,2a 2 2 2 a 1 2. 可得 e c a 1 2 1 2 1. 10 (2012北 京 理 )在直 角坐标系 xOy中，直线 l过抛物线 y 2 4x的焦点 F， 且与该抛物线相 交 于 A， B两点， 其 中点 A在 x轴上方若直线 l的 倾斜角 为 6
38、0， 则 OAF的面积为 _ 答案 3 解析 直线 l的方程为 y 3(x 1)，即 x 3 3 y 1， 代入 抛物线方程得 y 2 4 3 3 y 4 0，解得 y A 4 3 3 16 3 16 2 2 3(y B 0)的左、右焦点分别为 F 1 、 F 2 ， A是椭圆 C上 的 一 点，且 AF 2 F 1 F 2 0， 坐标 原点 O到 直线 AF 1 的 距 离为 1 3 |OF 1 |. (1)求 椭圆 C的方程 ； (2)设 Q是椭圆 C上的 一 点，过点 Q的直线 l交 x轴于点 P( 1,0)， 交 y轴 于点 M，若 MQ 2QP ， 求 直线 l的方程 解析 (1)由
39、题设 知 F 1 ( a 2 2， 0)， F 2 ( a 2 2， 0) 由于 AF 2 F 1 F 2 0， 则 有 AF 2 F 1 F 2 ，所以点 A的 坐标 为 ( a 2 2， 2 a )，故 AF 1 所在直线方程为 y ( x a a 2 2 1 a ) 所以 坐标原 点 O到直线 AF 1 的 距离 为 a 2 2 a 2 1 (a 2) 又 |OF 1 | a 2 2，所以 a 2 2 a 2 1 1 3 a 2 2， 解得 a 2(a 2) 所求 椭 圆的方程为 x 2 4 y 2 2 1. (2)由题意可 知 直线 l的斜率 存 在，设直线 l斜率为 k， 直线 l的
40、方程为 y k(x 1)， 则 有 M(0， k) 设 Q(x 1 ， y 1 )， MQ 2QP ， (x 1 ， y 1 k) 2( 1 x 1 ， y 1 ) x 1 2 3 ， y 1 k 3 .又 Q在 椭 圆 C上 ，得 ( 2 3 ) 2 4 ( k 3 ) 2 2 1， 解得 k 4. 故直线 l的方程为 y 4(x 1)或 y 4(x 1)， 即 4x y 4 0或 4x y 4 0. 12椭圆 x 2 a 2 y 2 b 2 1(ab0)的左、右焦点为 F 1 、 F 2 ，过 F 1 的直线 l与椭圆 交 于 A、 B两点 (1)如 果 点 A在圆 x 2 y 2 c 2
41、 (c为椭圆的半焦 距 )上，且 |F 1 A| c， 求 椭圆的离 心率 ； (2)若 函 数 y 2 log m x(m0且 m 1)的图 像 ， 无论 m为 何值时恒 过 定 点 (b， a)， 求 F 2 B F 2 A 的 取值范围 解析 (1)点 A在圆 x 2 y 2 c 2 上 ， AF 1 F 2 为一直 角三角形 |F 1 A| c， |F 1 F 2 | 2c， |F 2 A| |F 1 F 2 | 2 |AF 1 | 2 3c. 由 椭 圆的 定 义 ， 知 |AF 1 | |AF 2 | 2a， c 3c 2a. e c a 2 1 3 3 1. (2) 函数 y 2
42、 log m x的 图像 恒 过点 (1， 2)，由 已知条件知 还 恒 过点 (b， a)， a 2， b 1， c 1. 点 F 1 ( 1,0)， F 2 (1,0)， 若 AB x轴 ， 则 A( 1， 2 2 )， B( 1， 2 2 ) F 2 A ( 2， 2 2 )， F 2 B ( 2， 2 2 ) F 2 A F 2 B 4 1 2 7 2 . 若 AB与 x轴不 垂直，设直线 AB的斜率为 k， 则 AB的方程为 y k(x 1) 由 y k(x 1)， x 2 2y 2 2 0，消去 y，得 (1 2k 2 )x 2 4k 2 x 2(k 2 1) 0. (*) 8k 2 80，方程 (*)有两个 不同 的实 根 设点 A(x 1 ， y 1 )， B(x 2 ， y 2 )， 则 x 1 ， x 2 是方程 (*)的两个 根 x 1 x 2 4k 2 1 2k 2 ，
