1、案例分析与教师发展陕西师范大学数学系 罗增儒 邮编 710062电话 029-85308872 13609297766Emil：zrluosnnueducn我建议通过案例研究来促进教师的发展，既解决工作中的实际问题，又促进个人的专业发展期望： 体会三个名词：案例，案例教学，案例研究；参与一个行动：案例分析（校本教研的具体形式）；带走一个信念：我要进行案例研究，我能进行案例研究我将采用讲故事（教育叙事）和交流讨论的方式来进行，即通过教育事件的描述，发掘内隐于其背后的思想与意义记得我当中学教师时（1978-1986）常常问自己：有专业学者的功底吗？有教育理论家的修养吗？有教学艺术家的气质吗？有青年
2、导师的榜样形象吗？如果我们没有向这四个方向努力，我们怎能心安理得地面对充满求知渴望的孩子，又怎能问心无愧地面对我们的崇高职业和激情人生？我的体会是“案例研究”促进了我所有这四个方面的发展，所以，我今天选择了这样一个经验话题来与大家交流 1 案例研究的认识1-1 通过研究案例来说明案例研究先做两个数学练习（一个解题的、一个编题的），再讲两个教学故事（关于三角形内角和的教学），可以认为是学习“案例研究”概念的情境创设1-1-1 解题练习 1自行车问题目的：经历案例例 1-1 一个自行车新轮胎，若安装在前轮则行驶5000 后报废，若安装在后轮则行驶 3000 后报废如果kmkm行驶一定路程后交换前、
3、后轮胎，使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶多少 ？ k（“数学周报杯”2009 年全国初中数学竞赛第 6 题）请用方程或算术等多种解法求解解法 1 解法 2解法 3如果你不能求解请先做第 2 题 例 1-2 一件工程，平均分为前、后两段，甲工程队干前半段 5000 小时完成，乙工程队干后半段 3000 小时完成，如果两工程队同时动工，甲工程队干前段、乙工程队干后段一定时间后，甲、乙两工程队交换（交换时间不计） ，使前、后两段同时完工，问整个工程一共几小时完成？如果你能求解请返回做第 1 题；如果你也不能求解第2 题，没关系，请先做第 3 题 例 1-3 一件工程，甲工程队干一
4、半需 5000 小时，乙工程队干一半需 3000 小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成？ 如果你不能求解第 3 题，请看第 4 题；如果你能求解请返回做第 2、1 题， 例 1-4 一件工程，甲工程队干需 10000 小时，乙工程队干需 6000 小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成？ 提示（小时） 120150253708063最终至少要用两个解法完成第 1 题希望完成之后能谈谈感想，想说什么就说什么说明：以上，我们共同经历了一个解题案例.下面的事实说明，求解本例并洞察其深层结构不是很容易的，分析见案例 102009 年 9 月 27 日我们对 27 个初中教师的
5、 10 分钟的测试却只有 7 人通过（难度系数 026） ；2009 年 12 月 25日对 37 个初中教师的 10 分钟的最新测试却只有 4 人通过（难度系数 011） 2009 年 9 月我们就本例的化归对大学生进行测试，在第一节课上课时做例 1-1（10 分钟） ，在第二节课下课前做例 1-2（10 分钟） ，结果在正确求解例 1-2 的 85 人中，只有 42 人正确求解例 1-1，就是说，有 51%的数学系师范生即使能完成例 1-2 也还短时间内不能完成例 1-1这说明，短时间内（10 分钟）看透例 1-1 与例 1-2 的相同结构是有难度的，需要我们的启发与引导 1-1-2 案例
6、 1 根据图象编一个故事（编题）目的：经历案例研究第 1、事实的陈述（被教师称为：有可能封闭一辈子的题目）例 2-1 如图 1，表示某人从家出发任一时刻到家的距离（s）与所花时间（t）之间的关系，请根据图象编一个故事 （学员练习、讨论） 图 1讲解 （1）在新疆的一次听课中（2004 年） ，同学们说的故事很多，也得到教师的完全认可，但抽象出来的运动特征基本上都是： 在 上匀速直线运动；OP在 上静止；Q在 上匀速直线运动R课后与教师交流时，我问为什么“在 上静止？”，PQ教师认为，到家的距离不变，所以是静止我说，到家的距离不变就是“到定点（家）的距离为定长（不变）”，这样的点一定是定点吗？教
7、师立即反应过来这里的认识封闭在于，面临“到一定点的距离为定长”的数学情景时，只想到静止、想不到运动（轨迹！圆周运动，空间为球），数与形的双向流动不够通畅从知识上看，可能还有“距离”与“路程”的混淆：随着时间的推移而路程不变，当然是静止，但随着时间的推移而距离不变，则可能是静止也可能是运动在 、 上也可以非直线运动，距离匀速便可.OPQR（2）值得注意的是，这是“一个很普遍的认识封闭现象”（被一些教师称为“可能会封闭一辈子”的问题），我们在杭州骨干教师培训班（2005 年）、本科生（选修课上）、中学生中进行过多次测试，能回答圆周运动（空间为球）的极为个别，每一次都“几乎全军覆没”（认识封闭 1）
8、并且，当我们进一步问会有多少种运动方式时，也存在认识封闭现象，也经常“几乎全军覆没”，普遍没考虑到在圆周上既可以运动又可以静止，既可以前进又可以来回走动，既可以原路返回又可以另路返回（认识封闭 2）这一认识封闭现象在书本或考试题中亦有反映，就是说“明确知识的认识封闭现象”专家也不能幸免请看例 2-2 （2003 年，陕西中考）星期天晚饭后，小红从家里出去散步， 如图 2 描述了她散步过程中离家的距离（米）与散步所用的时间 t（分）之间的函数关系依据s图象，下面描述符合小红散步情景的是（ ）（A）从家出发，到了一个公共阅读栏，看了一会儿报，就回家了（B）从家出发，到了一个公共阅读栏，看了一会儿报
9、后，继续向前走了一段，然后回家了（C）从家出发，一直散步（没有停留）， 然后回家（D）从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18 分钟后才开始返回图 2 这类试题源于课标与教材，设计了生活情景，考察了数学的核心知识函数，题目的预设答案为（B），然而怎样否定（C）和（A）呢？ 如图 3，前 4 分钟沿 直路匀速向前OP散步，然后拐弯沿圆弧 走 6 分钟，再转Q弯沿 向前走 2 分钟，最后沿 走 6 分钟QRR直路匀速回到家这个散步过程是“没有停留”的可见（C）不能否定如果散步 图 3不是按原路返回，那么从“公共阅读栏”出来，还可以走2 分钟到另一条弯路上，然后沿另一条路 6 分钟回到家这样一来，
10、（A）也否定不了！可见这道考题是道病题，与选择题“有且只有一个选项正确”矛盾，但当年数以万计的师生却没有提出异议（也许有深入思考的学生反而被判为扣分）这又一次说明这是“一个很普遍的认识封闭现象”第 2、案例的初步分析（1）题目自然涉及“圆”的概念和逻辑“或” ，触及“明确知识的认识封闭现象” ，并且在 PQ 上有明显的 3 个层次一种情况：在 PQ 上静止有静无动,能背熟圆的定义，面临圆（或球）的情景时看不见圆（或球） 两种情况：看到 PQ 静止时全静止，看到 PQ 运动时全运动有进无退，逻辑“或”对 PQ 的全程无数种情况看到 PQ 静止或圆周运动，可以前进也可以后退有静有动，有进有退，逻辑
11、“或”对 PQ 的每一点（2）考察了数学的核心知识函数，广泛涉及：函数的概念，包括定义域、值域、对应关系函数的表示方法，突出了一次函数的解析式与图象这两种表示法一次函数的增减性与图象形状的关系通过生活情景和图象很自然的出现分段定义函数考察学生分析实际情景，认识函数变化规律的基本能力（3）设计为开放题需要学生将一次函数的图象和性质赋予实际意义，而学生根据自己的生活体验和对数学知识的理解，编拟出来的实际情节将是不惟一的每个学生都可以回答问题，但不同的水平到达不同的层次第 3、对案例研究的启示以上我们共同经历一个“案例” ，共同进行了一次“案例研究” （1） “根据图象编一个故事”呈现了一个有启发性
12、的故事，这个故事就是一个案例，数学教育界习惯称数学案例为课例（2）我们现在介绍这个故事是想导出这样一个话题：数学教育中是否存在“明确知识的认识封闭现象” ，并认识数学教育研究的微型过程答案是：“明确知识的认识封闭现象”存在（顺便问一声：以 为判别式的二次方程是 24bac）（3）我们通过这个故事来启引大家认识案例，关注案例研究，体会案例教学的过程，感悟“我要进行案例研究，我能进行案例研究”的理念，实际上是在进行“案例教学” 讲这个有教育意义的故事、分析提炼内蕴于其背后的思想、意义与道理，有一个很时髦的词，叫做“教育叙事”即通过教育事件的描述，发掘内隐于其背后的思想与意义 （罗增儒教育叙事：圆的
13、遭遇中学数学教学参考（初中版），2007，3）1-1-3 案例 2 在“三角形内角和定理”的课堂上（ 1）师 生 理 清 了 “三 角 形 内 角 和 ”的 证 明 思 路 之 后 ， 学 生脑 子 里 有 一 个 图 、 但 板 书 没 有 画 出 来 ， 写 出 证 明 如 下 ：证 明 在 三 角 形 外 部 作 ，ACE则 ， （内错角相等，两直线平行）/CEAB有 （两直线平行，同位角相等）D得 （等量代换）ACE （平角的定义） 180第 1、案例研究反 思 1（ 1） 对 这 个 证 明 你 有 什 么 看 法 ？（ 2） 此 处 来 历 不 明 ， 你 会 如 何 处 理 ？D
14、（ 学 员 讨 论 ）修 正 1 作 的延 长 线 （延 长 到 不好，有线段BCDBCD之嫌） ，在 三 角 形 外 部 作 ，CDAE则 ， （内错角相等，两直线平行）/EA有 （两直线平行，同位角相等）B得 C（等量代换）AED （平角的定义） 180反 思 2： 为 什 么 在 内部？“外角大于不相邻的CA内对角”恰好是“三角形内角和定理”的推论，有没有逻辑循环？能不能避免？修 正 2 在 三 角 形 外 部 作 ，ACE则 ， （内错角相等，两直线平行）/CEAB在 的一旁，作 的延 长 线 ，必在 的另一:BDCE旁，有 （两直线平行，同位角相等）ECD得 ABC（等量代换）ED
15、（平角的定义） 180反思 3：对来 历 不 明 的 ， 只 有 补 一 个 思 路 吗 ？开 头添 中 间不 添修 正 3 在 三 角 形 外 部 作 ，ACE则 ， （内错角相等，两直线平行）/CEAB得 （等量代换）BCE （两直线平行，同旁内角互补） 180结论 1：经历了案例研究教学的三步骤过程：教师提供课例，学员体会情景 教师组织讨论，学员分析材料教师总结评述，学员掌握原理结论 2：教学处处有创造的空间.面临“ 来 历 不 明 ”我们的认识不要封闭，要广开D思路， 三 个 思 路 都 是 通 的 .开 头添 中 间不 添面对教材我们的认识也不要封闭.第 2、对案例研究的启示以上我们
16、共同经历一个“案例” ，共同进行了一次“案例研究” （1）学生给出一个证明，这个证明就是一个案例，数学教育界习惯称数学案例为课例（2）我们一起谈“这 个 证 明 你 有 什 么 看 法 ？ ”“你 会如 何 处 理 ？ ”就是反思，就是“案例研究”.（3）我们通过这个证明的反思，来启引大家认识案例，关注案例研究，体会案例教学的过程，感悟“我要进行案例研究，我能进行案例研究”的理念，实际上是在进行“案例教学” 讲这个有教育意义的故事、分析提炼内蕴于其背后的思想、意义与道理，有一个很时髦的词，叫做“教育叙事”即通过教育事件的描述，发掘内隐于其背后的思想与意义 （罗增儒中学数学课例分析.陕西师范大学
17、出版社.2001，7）1-1-4 案 例 3 在“三角形内角和定理”的课堂上（2）.第 1、出示课例解说：“三角形内角和定理” （请参看课本原文）的教学设计，人们已经谈了很多，但这并不影响教学的创造，有出息的教师依然在探索新的可能性，下面的镜头，展示了教师对定理教学的精心设计，殊不料“突发事件”屡屡发生 教师：如图 4，用橡皮筋构成 ，其中顶点 为定点，ABC:,BC为动点，放松皮筋后，点 收缩，产生一系A列的三角形： 请观察其内123,ABC:角和会产生怎样的变化？ 解说：教师的主观意图是让学生看到：， ， ， 图 40BC018A这既孕育着极限的思想，又诱发出， 0A但是，学生发言了 学生
18、：内角和等于 018教师：好，说说你是怎样观察出来的？学生：我不用观察，小学时老师已经教过这个结论解说：老师有点失落，但立即又根据已经发生的情况，舍去“发现结论”的启发，马上转入“结论证明”的发现 教师：是的，小学介绍过三角形的内角和等于 ，但018没有证明，由于实验可能会有误差，无穷个三角形也不能逐一检验，所以，进入中学阶段，我们要给出一个严格的证明学生：通过图 4，我看到，当点 趋向于 时，ABC趋向于 ，而 趋向于 ；合起来，三角形内角和,BC0A018趋向于 ；同时，这个图形还告诉我们，这个结论怎样证018明教师：（很高兴）你说说证明学生：设三角形的内角和为 度，在 上取一点xBC（相
19、当于 的运动终点） ，连 AD（如图 5） ，DA有：,11BDx，22A相加 12Cx但 , 图 5Bx， 1280D代入有 ,x.08解说：这完全出乎教师的意料之外，一时间自己也弄不清正误，既无法立即表态，又不能表示出犹豫，明智的选择是甩给学生教师：证明出来了，同学们好好看一看，做得对不对？解说：学生沉默片刻之后，大多表示认可，确实，一旦承认“三角形内角和为定值” ，整个证明就无懈可击，但初中课本没有这样的定理，教师利用这段甩给学生的宝贵时间想通了，原来图 4 的设计给学生造成了这样的印象：的内角和为常数，其实，变量的极限为123,ABC:时，其变化过程可以单调上升，也可以单调下降，还可0
20、8以是摆动的，更危险的是，可能变量根本就不取值 ,但018这怎能向初中生讲清楚？还有本课的教学任务怎么完成？教师：是的，仔细审核每一步都推理有据，计算准确，但是（如图 4） ，为什么 的内角和都是 呢？,ABDC:x课本中没有这样的定理因此，还要先证“三角形的内角和为定值” 不过，这个方法向我们提供了一个思路，通过图中三角形的关系，并且利用平角等于 来证对此，我018们暂且按下不议现在，让我们重新回到 ，看看拉紧ABC:皮筋（与放松相反） ，让点 沿 方向运动的情况AB如图 6，当点 变为 延长线上的 ， ，变化时，12变小， 变大；当点 奔向太阳，即 的一瞬间，AC0A产生出平行线 ，由同旁
21、内角之和等于 知，0/AB818这时可以猜想0ABC并且，除了点 外，对变化过程中的任一0点 ，都有n图 60nnBAC同学们，在这个变化过程中，你们看到了什么？ 学生 3：看到了三角形内角和为常数，这个常数就是，因为018ABC（两线平行，内错角相等）0A （两线平行，同旁内角互补）18第 2、初步的认识（1）整个课例可以分解为 6 个片断 教师的原有认识； 突发事件 1反思、步骤调整； 突发事件 2可爱的错误； 突发事件的策略处理推迟判断； 省悟循环论证，调整情景设计； 推出新设计，完成再认识在这个一波三折的过程中，有两次突发事件，两次调节反思，一次比一次深刻，一次比一次更能激起人的感情，
22、这有助于说明，学习活动不完全是“刺激反应”的过程，也不仅仅是对学习材料的识别、加工和理解的认知过程，而且还有对该过程进行积极的监控、调节的再认知过程，这当中有丰富的情感体验这种对认知的再认知，叫做元认知（2）对改进方案的建构观分析 这个课例，反映了数学学习是一个在原有知识经验基础上主动建构的过程，其改进方案体现了较为系统的建构观设计（见图 7） 图 7由图 7 可以看到这个方案将“两直线平行，同旁内角互补”作为学生主动建构活动的认知基础，建立它与的联系构成了整个设计的核心 018ABC为了沟通“平行线中同旁内角互补”与“三角形中内角和等于 ”之间的联系，方案 首先将“互补”与求0证式中右边“
23、”沟通，这比较容易（还有小学知识作依托）018，因而可以成为唤起新旧知识构成联系的信号或桥梁同时，方案又将“平行线中同旁内角之和”与“三角形中的内角之和”沟通，这比较困难，一个是不封闭图形（两平行直线被第三条直线所截） ，另一个是封闭图形（三角形） ，外形上完全不一样，为了将这两个外形上完全不一样的图形联系起来，方案主要使用了三个技术其一是把静态的三角形“动”起来，一直动到成为“完全不一样”的平行线， （也可以将平行线“动”成三角形，得出另一设计） 这有一个从量变到质变的过程，需要想象，其思维跨度也大，因而，中间需要添上中途点来帮助理解，那么怎样才能找到中途点呢？这需要第 2 个技术其二是借助
24、于粗糙的直观习惯上认为太阳光线为平行线，于是，太阳成了相交线与平行线的一个中转站，成为触发直觉的一根撞针其三是借助于有限来理解无限由于图 6 中，是一个有限角，学生是能够理解射线 绕点 旋转到0ABCA位置上的，而一旦理解了图 6，理解定理的证明和证明C中的辅助线后都不会有多大困难可以认为，这个设计的图形本质是，沟通折线 与平BAC行线 的联系0,BAC第 3元认知的初步认识在课例 3 中，主体（教师）对课题首先有一个认识，经过实践，意识到认识可以深化，于是调动思维，采取有效的调控策略，从而达到新的认识这就是主体对自身认知过程在自我意识的基础上，对自身认知过程的自我反省、自我控制与自我调节这就
25、是元认知元认知基本上是一种二级构造，认知活动的对象是问题、数据之类的东西，而元认知活动的对象则是认知过程本身如果说课堂教学的过程是一种认识活动，那么进行课例分析便是再认识；如果说解题是一种认识活动，那么进行解题分析便是再认识元认知是一种高级认知活动，包括元认知知识、元认知体验和元认知监控（1）元认知知识这是指有关认知的知识：即人们对影响自己认识过程与结果的各种因素及其影响方式的认识包括认知的主体方面的知识、认知的任务方面的知识、认知策略方面的知识在课例 3 中，教师认识到当初忽视了学生小学学过的事实，认识到图 4 有诱导“逻辑循环证法”的暗示，以及新证法的建构观分析等，都属于元认知知识（2）元
26、认知体验这是指伴随认知活动产生的认知体验与情感体验，包括知与不知的体验，肯定与否定两个方面在课例 3 中，为当初设计没有达到目的而失落，为图5 的证明而为难，为新设计的产生而高兴等都是元认知体验（3）元认知监控这是指人们能够积极自觉地对认知活动进行监视、控制和调节在课例 3 中，自觉采用极限方法来设计发现学习，从突发事件 1 中自觉作出调整，经过突发事件 2 之后推出新的方案等，都体现了元认知监控元认知的三大组成部分是密切联系、相互依存、互相制约的元认知知识的掌握有助于有效的监控，也能激起相应的元认知体验，是体验和监控的基础；元认知体验有助于认知知识的掌握，也有利于有效地监控，是推动元认知调控
27、的力量，并强化元认知知识；元认知监控水平制约着元认知知识的获得水平，既运用元认识知识，又增添新的内容，使元认知知识更丰富，并是元认知体验的前提如同认知能力可以自觉地发展一样，元认知能力也可以有意识养成，我们认为进行课例分析、进行解题分析就是自觉进行元认知开发的好途径第 4、对案例研究的启示以上我们共同经历一个“案例” ，共同进行了一次“案例研究” （1） “证明三角形内角和定理”呈现了一个有启发性的故事，这个故事就是一个案例，数学教育界习惯称数学案例为课例（2）我们现在介绍这个案例是想体现建构主义观点、提炼出元认知理论案例研究的一个重要目的就是提炼理论.（3）我们通过这个故事来启引大家认识案例
28、，认识元认知理论，关注案例研究，体会案例教学的过程，感悟“我要进行案例研究，我能进行案例研究”的理念，实际上是在进行“案例教学” 讲这个有教育意义的故事、分析提炼内蕴于其背后的思想、意义与道理，有一个很时髦的词，叫做“教育叙事”即通过教育事件的描述，发掘内隐于其背后的思想与意义 （罗增儒在“三角形内角和定理”的课堂上中学数学教学参考， 1998，3）上面的几个小故事，是不是有助于树立一种观念,明白一个道理,理解一个概念,学到一种方法？1-2 案例研究的现实需要我国正在进行的新一轮课程改革，面临许多始料未及、而又缺乏现成解决方案的问题，数学教学的生活化取向、活动化取向、个性化取向，向我们提出了从
29、理论到实践的挑战、向我们提出了从教学到数学的挑战1-2-1 教学中遇到的问题（讨论：实行新课程存在些什么问题？）（1）课时不够（每周 4 节，实际有 5、6、7、8 节） （2）如何既能活跃课堂气氛，又能保持课堂秩序（3）如何在大班（60 人以上）环境下实施小组合作；（4）如何在大班额环境下既要面向全体，又要照顾个体发展（5）情境创设的问题 （6）初高中衔接，数学与物理等学科的衔接 1-2-2 问题所涉及的关系（1）关注过程和关注结果的关系；（过程与结果，预设与生成）没有过程的结果是事实的外在灌输，没有结果的过程是时间的低效消费过程与结果并重（2）学生自主学习和教师讲授的关系；（教师与学生，讲
30、授与探究）历史上是先有探究学习后有接受学习讲授法不是万能的，没有讲授法是万万不能的（3）合情推理和演绎推理的关系；（归纳与演绎）数学上有两种类方法，一类是发现的方法，一类是论证的方法直觉用于发现，逻辑用于证明（4）生活情境和知识系统性的关系；（生活经验与知识体系）既要有引进的“情景化” ，又要有结论的“去情景化”形式主义与繁琐哲学的情景实际上是一种“负情景” ，它既增加教学夹生的风险，又进行了生命的奢侈消费，如同数学上负数比零更小，教学中负情景不会比零情景更好（5）改革与继承的关系 （传统与创新）中国传统优势有“启发式”教学；注重“基础” 、培养“能力” ；倡导数学思想方法教学；关注课堂教学中
31、的数学本质；进行“变式教学” ；加强解题规律的研究；如何继承而又促进学生的发展？我们认为，这是教师专业化发展的一个历史良机，建议同行们通过“行动研究”的方式来解决现实问题（更加有效地促进学生的学习） ，通过反思性的实践来促进自身的水平提高（教师的自我完善与成长） 1-2-3 教学中遇到的一些案例案例 4 小学乘法交换律的教学有一个教学设计，用一个柄特别长的勺子喝水，勺子太长自己喝不到，学生经过讨论找到“交换喝水”的办法：你拿勺子喂给我喝，我拿勺子喂给你喝，喝水问题圆满解决这个“活动”固然有趣，办法也很好，但与“乘法”没有关系，亦离开了“数量不变”的交换率本身交换律的本质是变化中的不变性，学生在
32、这里学到的不是数学或不是“乘法交换律” （地狱与天堂的寓言）如何防止“去数学化” ，既是教学的挑战，又是数学的挑战 （张奠宙 教育数学是具有教育形态的数学数学教育学报， 2005，8）案例 5 “倒数”的负情境在讲解“倒数”的概念时某教师作了设计，教师引导“杯子可以倒过来，数可以倒过来吗?” “上海自来水来自海上，可以倒过来念还是上海自来水来自海上”结果出现了 26 的倒数是 62，引入的情境不具有“倒数”的必要因素与必要形式，对学生的学习产生了负作用（金小君 创设有效情景，让课堂焕发活力J 成才之路，2008，6）案例 6 “用字母表示数”的导入情景师：同学们，早餐吃过了吗? 生：吃过了师：
33、你们都吃了什么早餐?生：面包，稀饭，饼干师(感觉不太好) ：有吃过拉面吗?生：没有师：拉面怎么做的?生用手比画师：做拉面，你能发现什么规律吗?生：拉面越拉越长师：还有其他规律吗?生茫然，师无奈师：拉面拉长后条数怎样变化?生：越来越多师(不得已) ：任意多次后，拉面条数可以表示为 ，这2n就是今天学习的用字母表示数，引出课题（金小君 创设有效情景，让课堂焕发活力J 成才之路，2008，6）案例 7 她需要什么样的带助?有这样一道题目:XX 牌 52 型施拉机，一天耕地 15O 公亩，问 12 天耕地多少公亩?一位学生是这样解的: 5210936因为是新接的四年级班，对孩子不熟悉，所以老师就找她问
34、话:“告诉我，你为什么这么列式?”“老师，我错了 ”“好的，告诉我，你认为正确的该怎么列式?”“除 ”“怎么除?”“大的除以小的 ”“为什么是除呢?”“老师，我又错了 ”“你说，对的该怎样呢?”“应该把它们加起来 ”看来，这位学生是在瞎猜，只要老师重复问一句，她就习惯性地说自己错了，接着拿另一种计算方法来搪塞显然，她没有学会分析，她知道加减乘除肯定有一种是适合这道题目的，这也是在许多数学学习困难的学生中常见的现象于是，老师又对她说:“我们换一道题目，比如你每天吃两个大饼，5 天吃几个大饼?”老师想这道题她应该会做，因为其结构与前面的题目一样，都是每份数、份数与总数的关系，引导学生迁移一下就可以
35、了“老师，我早上不吃大饼的 ”“那你吃什么?”“我经常吃粽子 ”“好，那你每天吃 2 个粽子，5 天吃几个粽子?”“老师，我一天根本吃不下两个粽子 ”“那你能吃几个粽子?”“吃半个就可以了 ”“好，那你每天吃半个(小数乘法没学)粽子，5 天吃几个粽子?”“两个半 ”“怎么算出来的?” “2 天一个，5 天两个半 ”这位学生的问题在哪里呢? （俞正强：不让一个学生落后从四个数学准备性学习案例谈学生群体学习质量的提高俞正强：不让一个学生落后， 人民教育，2007 年第 7 期 ）这些小例子表明，现实向我们提出了从理论到实践的挑战、向我们提出了从教学到数学的挑战然而，不是教师不适应、不合格才需要培训
36、，而是教师要学习、要成长、要发展才需要培训 新课程面临问题是对教师的学习愿望与学习潜能的唤醒与激发,是对教师反思、变革、实践能力的有效培植 2 案例研究的理论提炼2-1 案例研究的理论支持（1）对教育研究方法的反思对教育研究方法的反思导致了几个转向，如：支撑教师教育的理念根基已由以往的关注“理论”转向关注“实践” 、关注“课堂” ；教育问题的研究从借鉴自然科学的精确描述转向为对教育问题的理解和诠释 越是追求精确，就越是脱离人类经验，于是， “案例教学” 、 “教育叙事” 、 “行动研究”等应运而生教师发展从理论培训到校本教研的兴起，以校为本的教研，其核心要素是：实践与反思，交流与合作，引领与创
37、新（2）教师知识组成的新认识通常认为，数学教师的知识组成包括教育学知识、数学系统知识、数学教学知识诸方面，而美国舒尔曼的研究表明：教师专业知识结构由三类知识构成，即原理规则知识；专业的案例知识运用原理规则于特殊案例的策略知识这就从教师的知识分类上将教育教学案例纳入到教师的知识系统，并且后两者都属于内隐知识这些知识以及创造性解决问题的能力，仅仅依靠现成书本的格式化知识的传授是无法获得的 （冰山的水下部分）（3）范良火博士论文的结论范良火在其博士论文中研究得出：教师教学知识的最重要来源是自身的教学经验和反思； 和同事的日常交流；至于职后培训、当学生时的经历、职前培训、阅读专业报刊等都是其次的、第三、第四位的，教师自主的实践中学习、及教师群体内部的自主交流是对教师的专业发展贡献最大的两个方面（4）顾泠沅“行动教育”模式（青浦经验：1977 年，以初中一、二年级的数学常见题，对全县中学最高年级的 4373 名学生进行统考，总平均分数为111 分，零分学生的比例高达 235%，约有三分之二的学生连小学的分数运算都不熟练经过近九年的改革，青浦县的数学质量从七十年代的全市最低水平开始逐年稳步上升，1985 年初中升学考试数学成绩，全市各区县平均为 697 分，青浦县平均为 791 分 ）顾泠沅在上海的调查研究表明：
