1、二次函数与一元二次方程的关系 与 x轴 有 两 个 交 点 与 x轴 有 一 个 交 点 与 x轴 无 交 点a 0a 0xyOx12y12xOy12xy12xOyxya 0a 0a 0a 0b 4ac 0b 4ac 0b2 4ac 0两 个 不 相 等 的 实 数 根 两 个 相 等 的 实 数 根 没 有 实 数 根x1， 2 2 x1 2 二 次 函 数 y 2+bc的 图 象一 元 二 次 方 程 a+bc 0（ a） 的 根 的 情 况方法归纳：（1）由抛物线的对称性易求对称轴为直线 x ，且对称轴与 x 轴交点恰为两交点间线段x1 x22的中点。（2）可用二次函数的图象求一元二次方
2、程的近似解。（3）求两个函数的交点坐标，就是求出两个函数解析式组成的方程组的解。总结：来源:学优高考网 gkstk1. 能根据一元二次方程根的情况判断抛物线与 x 轴交点的个数及由交点个数判断根的情况。2. 深入理解抛物线与坐标轴的交点、一元二次方程的解、一元二次不等式的解集之间的关系。 来源:gkstk.Com例题 1 已知：二次函数 yx 22ax2b1 和 yx 2（a3）xb 21 的图象都经过 x 轴上两个不同的点 M，N，则 a 与 b 的值分别是（ ）A. 或 B. a 1b 0) a 1b 2) a 1b 0)C. D. 无法确定来源:gkstk.Coma 1b 2)解 析 ：
3、 两个二次函数图象都经过 x 轴上两个不同的点 M，N ，将两个解析式转化为一元二次方程，比较两个方程的根与系数的关系，得出方程组，解方程组求 a、b 的值，再结合方程有两个不等根进行讨论。答 案 ： 依题意，设这两个不同点的坐标为 M（x 1，0），N（x 2，0），且 x1x 2，则 x1，x 2 为方程 x22ax2b10 的两个实数根。x1x 22a ，x 1x22b 1。x1，x 2 又是方程 x2（a3）xb 210 的两个实数根，x1x 2a3 ，x 1x21b 2， ，解得 或 。 2a a 3 2b 1 1 b2) a 1b 0) a 1b 2)当 a1，b0 时，二次函数的
4、图象与 x 轴只有一个交点， a1，b0 舍去；当 a1，b2 时，二次函数为 yx 22x 3 和 yx 22x3 符合题意，a 1， b2。选 C点拨：本题考查了二次函数解析式与一元二次方程的根与系数关系的联系，较难理解。解答这类问题时应注意两点：一是二次函数与一元二次方程的问题必然涉及抛物线与 x 轴的交点；二是注意检验所得结果是否符合题意。例题 2 已知抛物线 M 的解析式为 yax 2bxc，且抛物线 M 经过（5，0） ， （0，） ，52（1，6）三点，直线 l 的解析式为 y2x3。（1）求抛物线 M 的解析式；（2）求证：抛物线 M 与直线 l 无公共点；（3）若与直线 l
5、平行的直线 y2xm 与抛物线 M 只有一个公共点 P，求点 P 的坐标。解 析 ： 第（1）题可根据三点式确定抛物线的解析式；第（2）和（3）题应将函数问题转化成方程问题，由方程可求交点或证明有无交点。答 案 ： （1）抛物线 M 经过（5，0） ， （0，） ， （1，6）三点， ，解得52 25a 5b c 0c 52a b c 6 )， 抛物线 M 的解析式为 y x23x 。a 12b 3c 52) 12 52（2）由 消去 y，得 x2x 0，14 100，y 2x 3y 12x2 3x 52) 12 112 12 112方程无实根，即抛物线 M 与直线 l 无公共点。（3）由 消
6、去 y，得 x2x m0。抛物线 M 与直线 y2xm 只有一个y 2x my 12x2 3x 52) 12 52公共点 P， 14 （ m）0，解得 m2。把 m2 代入 x2x m0 得12 52 12 52x1x 21，当 x1 时 y x23x 0，点 P 的坐标为（1，0） 。12 52点拨：两个函数图象的交点是由这两个函数解析式所组成的方程组的解来确定的，当两个函数解析式组成的方程组中有二次函数或通过变形能转化成一元二次方程时，它们的交点个数可由判别式 的取值判断。设二次函数 yax 2bx c（a0）的图象与 x 轴交点的横坐标分别为 x1、x 2，且 x1x 2，若抛物线开口向
7、上，则 ax2bx c0 的解集为 xx 1 或 xx 2，ax 2bxc0 的解集为 x1xx 2；若抛物线开口向下，则 ax2bxc 0 的解集为 x1xx 2， ax2bxc0 的解集为 xx 1 或 xx 2。xyOxOx12y12例 如图，直线 yx m 和抛物线 yx 2bxc 都经过点 A（1，0），抛物线与 y 轴交点的纵坐标是 2，则不等式 x2bx cxm 的解集为（ ）A. x1 B. x3 C. x1 或 x3 D. 1x3解： 直线 yx m 经过点 A（1，0），所以 01m ，m 1，所以 yx1。因为抛物线yx 2bxc 经过点 A（1， 0）且与 y 轴交点的
8、纵坐标是 2，所以 ，解得 b3，所1 b c 0c 2 )以 yx 23x 2。解方程组 ，得 ， 。所以直线与抛物线的交点坐标y x2 3x 2y x 1 ) x1 1y1 0) x2 3y2 2)是（1，0）、（3，2），根据图象可知，当 x1 或 x3 时二次函数值大于一次函数值，所以不等式 x2bxc xm 的解集为 x1 或 x3。故选 C。解析：本题主要考查了二次函数与不等式的关系，解题的关键是根据图象找出直线 yxm 和抛物线 yx 2bx c 的交点，要具备一定的读图能力，能够从图象中找出符合题意的区域。一、选择题1. 若抛物线 yx 22x c 与 y 轴的交点为（0，3）
9、 ，则下列说法不正确的是（ ）A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的对称轴是 x1C. 当 x1 时， y 的最大值为4 D. 抛物线与 x 轴的交点为（ 1，0） ， （3，0）2. 如图，一小孩将一只皮球从 A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处 A 距地面的距离 OA 为 1m，球所经过路线的最高点 B（8，9），则小孩将球抛出了约（ ） xyOAA. 16 米 B. 16.5 米 C. 17 米 D. 17.5 米*3. 函数 ykx 27x 7 的图像和 x 轴有交点，则 k（ ）A. k B. k C. k 且 k0 D. k 且 k074 74 7
10、4 74*4. 如图，抛物线 yax 2bxc 与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于 C。如果 OBOC OA，那12么 b 的值为（ ） xOCA. 2 B. 1 C. D. 12 12*5. 已知：二次函数 yx 24x a，下列说法错误的是（ ）A. 当 x1 时，y 随 x 的增大而减小B. 若图象与 x 轴有交点，则 a4C. 当 a3 时，不等式 x24xa0 的解集是 1x3D. 若将图象向上平移 1 个单位，再向左平移 3 个单位后过点（1，2），则 a3*6. 若二次函数 yax 2bx c（a0）的图象与 x 轴有两个交点，坐标分别为（x 1，0） ，（x 2，0） ，
11、且 x1x 2，图象上有一点 M（x 0，y 0）在 x 轴下方，则下列判断正确的是（ ）A. a0 B. b24ac 0C. x1x 0x 2 D. a（x 0x 1） （x 0x 2）0二、填空题7. 已知二次函数 yx 23x m（m 为常数）的图象与 x 轴的一个交点为（1，0） ，则关于 x 的一元二次方程 x2 3xm0 的两实数根是_。*8. 二次函数 y2x 2mx8 的图象如图所示，则 m 的值是_。*9. 若直线 y b（b 为实数）与函数 yx 24x3的图象至少有三个公共点，则实数 b 的取值范围是_。*10. 若抛物线 yx 2bx c 与 x 轴只有一个交点，且过点
12、 A（m，n） ，B（m6，n） ，则n_。三、解答题11. 已知二次函数 yx 2（ m2）xm1，试证明不论 m 取何实数，这个二次函数的图象必与 x 轴有两个交点。12. 抛物线 y ax2bxc 经过点（0，0）与（12，0） ，最高点的纵坐标是 3，求这条抛物线的表达式。*13. 已知二次函数 yx 22kxk 2k2。（1）当实数 k 为何值时，函数图象的顶点在第四象限内？（2）当实数 k 为何值时，图象过原点？*14. 已知抛物线 yax 2bxc（a0）与 x 轴的交点坐标为（1，0） 、 （3，0） ，当2x5 时， y 的最大值为 12，试求该抛物线的解析式。*15. 已知
13、抛物线 yx 2mx 与抛物线 yx 2mx m2 在平面直角坐标系 xOy 中的位置如图m22 34所示，其中一条与 x 轴交于 A、B 两点。xyABO（1）试判定哪条抛物线经过 A、B 两点，并说明理由；（2）若 A、B 两点到原点的距离 OA、OB 满足 ，求经过 A、B 两点的这条抛物线的1OB 1OA 23解析式。来源:学优高考网一、选择题1. C 解析： 抛物线过点（0，3） ，抛物线的解析式为： yx 22x3。A、抛物线的二次项系数为 10，抛物线的开口向上，正确。B、根据抛物线的对称轴 x 1，正确。C、由 A 知b2a抛物线的开口向上，二次函数有最小值，当 x1 时，y
14、的最小值为4，而不是最大值。故本选项错误。D、当 y0 时，有 x22x30，解得：x 11 ，x 23，抛物线与 x 轴的交点坐标为（1，0） ， （3，0） ，正确。2. B 解析：根据题意，此抛物线的顶点坐标是（8，9），所以设二次函数的解析式为：ya（x8） 29，把 A（0，1）代入得 a ，y （x8） 29，当 y0 时，解得18 18x186 16.5 ，x 286 0（舍去）。小孩将球抛出了约 16.5 米。2 2*3. B 解析：当 k0 时 y 是一次函数，与 x 轴有交点；当 k0 时 y 是二次函数，当（7）24k（7） 0 时与 x 轴有交点，即 k 。综上所述，当
15、 k 时 y 与 x 轴有交点。74 74*4. C 解析：设 OA2m （m 0） ，则 OBOCm ，所以 A（2m，0） 、B（m，0） 、C（ 0， m） ，则 ，解得 b 。4am2 2mb c 0am2 mb c 0c m ) 12*5. B 解析：二次函数为 yx 24xa，对称轴为 x 2，图象开口向上。则：A 、当 x1 时，y 随 x 的增大而减小，故该选项正确；B 、若图象与 x 轴有交点，即 164a0，则 a4，故该选项错误；C、当 a3 时，不等式 x24xa0 的解集是 1x3，故该选项正确；D、原式可化为 y（x2） 24a，将图象向上平移 1 个单位，再向左平
16、移 3 个单位后所得函数解析式是y（x1） 23a。其图象过点（1，2），代入解析式得到 a3。故该选项正确。所以说法错误的是 B。*6. D 解析：抛物线与 x 轴有不同的两个交点，则 b2 4ac0，与 B 矛盾，可排除 B 选项；剩下 A、C 、D 不能直接作出正误判断，我们分 a0，a0 两种情况画出两个草图来分析（见下图） 。在图 1 中，a0 且有 x1x 0 x2，则 a（x 0x 1） （x 0x 2）0；在图 2 中，a0 且有 x0x 1x 2，则 a（x 0x 1） （x 0x 2）0，所以正确选项为 D。xyOxyOM0x12012图 图 2二、填空题7. x11，x
17、22 解析：二次函数的解析式是 yx 23xm（m 为常数） ，该抛物线的对称轴是 x 。又二次函数 yx 23xm（m 为常数）的图象与 x 轴的一个交点为（1，0） ，根据抛物32线的对称性质知，该抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标是（2，0） ， 关于 x 的一元二次方程x23xm0 的两实数根分别是：x 11，x 22。*8. 8 解析：由图可知，抛物线与 x 轴只有一个交点，所以 m 24 280，解得 m8，对称轴为直线 x 0，m0， m 的值为 8。来源:学优高考网m22*9. 0 b1 解析：函数 yx 24x3的图象如图所示：此图象相当于把 yx 24x3 的图象的 x 轴
18、下面的部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方。函数 y x24x3 的顶点坐标为（2，1） ，它翻折后的对称点坐标是（2，1） ，所以当 0b1 时直线 yb（b 为实数）与函数 yx 24x3的图象至少有三个公共点。 xO*10. 9 解析：抛物线 yx 2bx c 与 x 轴只有一个交点，当 x 时，y0。且b2b24c0，即 b24c 。又点 A（m，n） ，B （m6，n） ， 点 A、B 关于直线 x 对称，b2A（ 3， n） ，B （ 3，n） ，将 A 点坐标代入抛物线解析式，得：n（ 3）b2 b2 b22b（ 3）c b2c9，b 24c ， n 4cc99。b2 14 14三、
19、解答题11. 证明：由题意可知（m 2） 24（1）（m1）m 24m44m4m 28，m 20，m 280，即无论 m 取何值总有0，这个二次函数的图象必与 x 轴有两个交点。12. 解：点（0，0）与点（12，0）在 x 轴上，关于抛物线的对称轴对称，抛物线的对称轴为x6，又因为其最高点的纵坐标是 3，这条抛物线的顶点是（6，3） 。设其表达式为ya（x6） 23，把点（0 ，0）代入解得 a ，y x2x 。112 112*13. 解：（1）由题意知 ，解得 0k2。 2k2 04（ k2 k 2） 4k24 0)（2）由题意知 k2k 20，解得 k1 或 k2。*14. 解：抛物线与
20、 x 轴交点的横坐标是方程 ax2bxc0 的两根，所以可设此抛物线为ya（x1） （x 3） 。根据题意，当 a0 时，由抛物线的对称性可知当 x1 时 y 最大 12；当a0 时，x5 时 y 最大 12。将其分别代入 ya（x1） （ x3）可得 a3 或 a1。所以y3（x1） （x 3）或 y（x1） （x3） 。即该抛物线的解析式为 y3x 26x9 或yx 22x3。*15. 解：（1）两条抛物线都不经过原点，m0。对抛物线yx 2mx ， 1m 24 1 m 20；对抛物线m22 m22yx 2mx m2， 2m 2 4 m24m 20，故抛物线 yx 2mx m2 经过 A、B 两点。34 34 34（2）设 A（x 1，0） 、B （x 2，0） ，则 x1、x 2 是方程 x2mx m20 的两根，34x 1x 2m，x 1x2 m2。点 A 在原点的左边，点 B 在原点的右边，34AOx 1， OBx 2。由 得 ，即 ， ，解得 m2，当1OB 1OA 23 1x2 1x1 23 x1 x2x1x2 23 m 34m2 23m2 时， 20 且 x1x20，m2。故所求抛物线的解析式为 yx 22x3。
