1、相似三角形的综合课后作业1、 如图，Rt ABC 中，ACB=90，CDAB 于点 D，下列结论中错误的是（ ）AAC 2=ADAB BCD 2=CACB CCD 2=ADDB DBC 2=BDBA2、如图，身高为 1.5 米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影 BA 由 B 向 A 走去，当走到 C 点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得 BC=4 米，CA=2 米，则树的高度为（ ）A6 米 B4.5 米 C4 米 D3 米3、如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长 18cm，底边上的高长 18cm，现沿底边依次向下往上裁剪宽度均为 3cm 的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正
2、方形，则这张正方形纸条是（ ）A第 4 张 B第 5 张 C第 6 张 D第 7 张4、如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 EFG 测量树的高度 AB，他调整自己的位置，设法使斜边 EG 保持水平，并且边 EF 所在的直线经过点 A已知纸板的两条直角边EF=60cm，FG=30cm，测得小刚与树的水平距离 BD=8m，边 EG 离地面的高度 DE=1.6m，则树的高度 AB 等于（ ）A5m B5.5m C5.6m D5.8m5、如图所示，数学小组发现 8 米高旗杆 DE 的影子 EF 落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动小刚身高 1.6 米，测得其影长
3、为 2.4 米，同时测得EG 的长为 3 米，HF 的长为 1 米，测得小桥拱高（弧 GH 的中点到弦 GH 的距离，即 MN 的长）为2 米，则小桥所在圆的半径为（ ）A B5 C3 D66、如图，在ABC 中，AD 和 BE 是高，ABE=45，点 F 是 AB 的中点，AD 与 FE、BE 分别交于点 G、H，CBE= BAD有下列结论：FD=FE ；AH=2CD；BCAD= 2AE2； SABC=4SADF其中正确的有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个7、矩形 ABCD 中 AEBD 于 E，AB=4，BAE=30，求DEC 的面积是 8、九章算术是中国传统数学最重要的著作，
4、奠定了中国传统数学的基本框架其中卷第九勾股，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长 7 里，南北向城墙长 9 里，各城墙正中均开一城门走出东门 15 里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1 里=300 步）你的计算结果是：出南门 步而见木9、在平面直角坐标系中，点 A（-5 ，0），以 OA 为直径在第二象限内作半圆 C，点 B 是该半圆周上一动点，连接 OB、AB，作点 A 关于点 B 的对称点 D，过点 D 作 x 轴垂线
5、，分别交直线OB、x 轴于点 E、F，点 F 为垂足，当 DF=4 时，线段 EF= 10、如图，在ABC 中，ACB=90 ，CDAB 于点 D，AC=6 ，BD=33（1）求A 的度数；（2）求 BC 的长及ABC 的面积11、如图，已知 AD 是ABC 的外角EAC 的平分线，交 BC 的延长线于点 D，延长 DA 交ABC 的外接圆于点 F，连接 FB，FC （1）求证：FBC=FCB；（2）已知 FAFD=12，若 AB 是ABC 外接圆的直径，FA=2，求 CD 的长12、课本中有一道作业题：有一块三角形余料 ABC，它的边 BC=120mm，高 AD=80mm要把它加工成正方形零
6、件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB，AC 上（1）加工成的正方形零件的边长是多少 mm？（2）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图 1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少？请你计算（3）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图 2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长参考答案1、解析：直接根据射影定理对各选项进行判断解：ACB=90，CDAB 于点 D，AC 2=ADAB，CD 2=DADB，BC 2=BDBA故选 B2、解析：如图，CE=1.5m，易证得ACE
7、ABD ，根据相似三角形的性质得到 ，BD5.142然后利用比例性质求出 BD 即可解：如图，CE=1.5m，CEBD，ACEABD，AC:AB=CE:BD，即 2:(2+4)=1.5:BD，BD=4.5（m），即树的高度为 4.5m故选 B3、解析：根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是 3，所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为 x，则 3:18=x:18，解得 x=3，所以另一段长为 18-3=15，因为 153=5，所以是第 5 张故选：B4、解析：先求出 EC=BD，再求
8、出 EFG 和ECA 相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到 AC，再根据 AB=AC+BC 求解即可解：小刚与树的水平距离 BD=8m，EC=BD=8m，E=E，EFG=ECA=90，EFGECA，EF:FG=EC:CA，即 60:30=8:CA，解得 AC=4，又DE=1.6m，BC=DE=1.6m，AB=AC+BC=4+1.6=5.6m故选 C5、解析：小桥所在圆的圆心为点 O，连结 OG，设O 的半径为 r 米先利用平行投影的性质和相似的性质得到 DE:EF=1.6:2.4，于是可求出 GH=8 米，再根据垂径定理得到点 O 在直线 MN上，GM=HM= GH=4 米，然后根
9、据勾股定理得到 r2=（ r-2） 2+16，再解方程即可2解：如图，设小桥的圆心为 O，连接 OM、OG设小桥所在圆的半径为 r 米DE:EF=1.6:2.4，8:EF=1.6:2.4解得 EF=12，GH=12-3-1=8（米）MN 为弧 GH 的中点到弦 GH 的距离，点 O 在直线 MN 上，GM=HM= GH=4 米21在 RtOGM 中，由勾股定理得：OG2=OM2+GM2，即 r2=（r-2） 2+16，解得：r=5答：小桥所在圆的半径为 5 米6、解析：由直角三角形斜边上的中线性质得出 FD= AB，证明 ABE 是等腰直角三角形，得21出 AE=BE，证出 FE= AB，延长
10、 FD=FE，正确；21证出ABC=C，得出 AB=AC，由等腰三角形的性质得出BC=2CD，BAD=CAD= CBE，由 ASA 证明 AEH BEC，得出 AH=BC=2CD，正确； 来源:学优高考网 gkstk证明ABDBCE ，得出 BC:AB=BE:AD，即 BCAD=ABBE，再由等腰直角三角形的性质和三角形的面积得出 BCAD= AE2；正确；来源:学优高考网 gkstk由 F 是 AB 的中点， BD=CD，得出 SABC=2SABD=4SADF正确；即可得出结论解：在ABC 中，AD 和 BE 是高，ADB=AEB=CEB=90，点 F 是 AB 的中点，FD= AB，21A
11、BE=45，ABE 是等腰直角三角形，AE=BE，点 F 是 AB 的中点，FE= AB，21FD=FE，正确；CBE=BAD，CBE+C=90 ，BAD+ ABC=90 ，ABC=C，AB=AC，ADBC，BC=2CD，BAD=CAD=CBE ，在AEH 和 BEC 中，AEHCEB, AEBE, EAHCBE ，AEH BEC（ASA），AH=BC=2CD ，正确；BAD=CBE，ADB=CEB，ABDBCE ，BC:AB=BE:AD，即 BCAD=ABBE， AE2=ABAE=ABBE，BCAD=ACBE=ABBE ，BCAD= AE2；正确；F 是 AB 的中点， BD=CD， SAB
12、C=2SABD=4SADF正确；故选：D7、解析：根据已知条件，先求出线段 AE，BE，DE 的长度，进而求 RtAED 的面积，再证明 ECD 的面积与它相等即可得出答案解：如图，过点 C 作 CFBD 于 F矩形 ABCD 中，AB=4 ，AEBD，BAE=30，AB 2=BEBD，BE=2，AE=2 ，3ED=BD-BE=6，ABE=CDF=60，AB=CD=4 ，AEB= CFD=90 ABECDFAE=CFS AED= EDAE，S ECD= EDCF2121S AED=SCDE，AE=2 ，DE=6，3ECD 的面积是 6 3故答案为：68、解析：根据题意写出 AB、AC、CD 的
13、长，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可解：由题意得，AB=15 里，AC=4.5 里，CD=3.5 里，ACBDEC，DE:AC=DC:AB，即 DE:4.5=3.5:15，解得，DE=1.05 里=315 步，走出南门 315 步恰好能望见这棵树，故答案为：3159、解析：连接 OD，则 OD=OA=5，在直角三角形 ODF 中，可求出 OF=3，故 AF=2，在直角三角形 ADF 中由勾股定理求出 AD，由相似三角形的判定定理找出 DBEDFA ，结合三角形相似的性质找出 DE:DA=DB:DF，在等腰三角形 AOD 中可得出 AB=DB= AD，套用21DE=DBDA:DF 得出
14、DE 值，再由 EF=DF-DE 得出结论解：连接 OD，如图所示点 A、点 D 关于 B 点对称，OD=OA=5在 RtODF 中，OD=5，DF=4，DFO=90，OF= =3，2FOAF=OA-OF=2AO 为C 的直径，ABO=90，DBE=90=DFA，又BDE=FDA ，BDEFDA，来源:学优高考网 gkstkDE:DA=DB:DF在 RtADF 中，AF=2 ，DF=4 ，AFD=90 ，AD= =2 2AFD5OA=OD，且 OBAD，AB=DB= AD= ，DE=DBDA:DF= ，2125EF=DF-DE= 故答案为：3310、解析：（1）先利用射影定理得到 AC2=AD
15、AB，即（6 ） 2=AD（AD+3），再解方程3得到 AD=9，然后根据正弦的定义求A ；（2）先根据含 30 度的直角三角形三边的关系求 BC，然后根据三角形面积公式求 ABC 的面积解：（1）ACB=90，CDAB 于点 D，AC 2=ADAB，即（6 ） 2=AD（AD+3），3整理得 AD2+3AD-108=0，解得 AD=9 或 AD=-12（舍去），在 RtACD 中，AD:AC=9:6 = :2，A=30；（2）AB=AD+BD=9+3=12，而A=30，BC= AB=6，1S ABC= ACBC= 6 6=1821311、解析：（1）由圆内接四边形的性质和邻补角关系证出FBC
16、=CAD，再由角平分线和对顶角相等得出FAB=CAD ，由圆周角定理得出FAB=FCB，即可得出结论；（2）由（1）得：FBC=FCB ，由圆周角定理得出FAB=FBC，由公共角BFA=BFD，证出AFB BFD ，得出对应边成比例求出 BF，得出 FD、AD 的长，由圆周角定理得出BFA=BCA=90 ，由三角函数求出FBA=30 ，再由三角函数求出 CD 的长即可（1）证明：四边形 AFBC 内接于圆，FBC+ FAC=180，CAD+FAC=180，FBC= CAD ，AD 是ABC 的外角EAC 的平分线，来源:学优高考网 gkstkEAD=CAD，EAD=FAB，FAB=CAD，又F
17、AB=FCB，FBC= FCB；（2）解：由（1）得：FBC=FCB ，又FCB= FAB，FAB=FBC，BFA=BFD，AFB BFD，BF:FD=FA:BF，BF 2=FAFD=12，BF=2 ，来源:gkstk.Com3FA=2，FD=6，AD=4，AB 为圆的直径，BFA=BCA=90，AF:BF=2:2 = :3，3FBA=30，又FDB=FBA=30 ，CD= =4 =22312、解析：（1）设正方形的边长为 xmm，则 PN=PQ=ED=x，AE=AD-ED=80-x，通过证明APN ABC，利用相似比可得到 x:120=(80-x):80，然后根据比例性质求出 x 即可；（2
18、）由于矩形是由两个并排放置的正方形所组成，则可设 PQ=x，则 PN=2x，AE=80-x，然后与（1）的方法一样求解；（3）设 PN=x，用 PQ 表示出 AE 的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用 x 表示出 PN，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答解：（1）如图 1，设正方形的边长为 xmm，则 PN=PQ=ED=x，AE=AD-ED=80-x，PNBC，APN ABC，PN:BC=AE:AD，即 x:120=(80-x):80，解得 x=48加工成的正方形零件的边长是 48mm；（2）如图 2，设 PQ=x，则 PN=2x，AE=80-x，PNBC，APN ABC，PN:BC=AE:AD，即 2x:120=(80-x):80，解得：x=240:702x= ，7480这个矩形零件的两条边长分别为 mm， mm；72408（3）如图 3，设 PN=x（mm ），矩形 PQMN 的面积为 S（mm 2），由条件可得APNABC ，PN:BC=AB:AD，即 x:120=(80-PQ):80，解得：PQ=80- x32则 S=PNPQ=x（80- x）=- x2+80x=- （x-60） 2+2400，3故 S 的最大值为 2400mm2，此时 PN=60mm，PQ=80- 60=40（mm）
