1、13.1.1 方程的根与函数的零点课型：新授课 授课人：郭红霞【教学目标】1了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如二次方程） ，说明方程的根、函数的零点、函数图象与 x 轴的交点三者的关系；2理解函数零点存在性定理：了解图象连续不断的意义及作用；知道定理只是函数存在零点的一个充分条件；了解函数零点可能不止一个；3能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数，及所在区间；4经历“类比归纳应用”的过程，感悟由具体到抽象的研究方法，培养归纳概括能力；5初步体会函数与方程思想，能将方程求解问题转化为函数零点问题；体会函数与方程的“形”与“数” 、 “动”与“静” 、 “整体”与“局部”的内在联系 【教
2、学重难点】教学重点：方程的根与函数零点的关系、函数零点存在性定理教学难点：对零点存在性定理的准确理解【教学方法】观察探索与问题式相结合【教学过程】（一）创设情境，感知概念1实例引入解方程：（1）2 -x=4；（2）2 -x=x设计意图：通过纯粹靠代数运算无法解决的方程，引起学生 认知冲突，激起探求的 热情2一元二次方程的根与二次函数图象之间的关系填空：方程 x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0根 x1=-1，x 2=3 x1=x2=1 无实数根函数 y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3图象42-2-43-1 1 2O xy42-2-43-1 1 2O
3、 xy42-23-1 1 2O xy图象与 x 轴的交点两个交点：(-1,0)，(3,0) 一个交点：(1,0) 没有交点2问题 1：从该表你可以得出什么结论？归纳：判别式 0 0 0方程 ax2+bx+c=0 (a0)的根两个不相等的实数根 x1、x 2有两个相等的实数根 x1 = x2 没有实数根函数 y=ax2+bx+c (a0)的图象 Oxyx1 x2 Oyxx1 Oxy函数的图象与 x 轴的交点两个交点：(x1,0)，( x2,0)一个交点：(x1,0) 无交点问题 2：一元二次方程的根与相应的二次函数的图象之间有怎样的关系？学生讨论，得出结论：一元二次方程的根就是函数图象与 x 轴
4、交点的横坐标设计意图：通过回顾二次函数图象与 x 轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备3一般函数的图象与方程根的关系问题 3：其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？师生互动，由一元二次方程抽象出一般方程，由二次函数抽象出一般函数，得出一般的结论：方程 f(x)0 有几个根，yf (x)的图象与 x 轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标设计意图：由具体到抽象，将结论 推广到一般函数， 为零点概念做好 铺垫（二）辨析讨论，深化概念4函数零点概念：对于函数 yf( x)，把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x) 的零点即兴练习：函数 f(x)=x(x216)的
5、零点为 （ D ）A(0，0) ，(4，0) B0， 4 C(4，0)，(0 ，0)，(4，0) D4，0，4设计意图：及时矫正“零点是交点”这一误解说明：函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值求函数零点就是求方程 f(x)0 的根5归纳函数的零点与方程的根的关系问题 4：函数的零点与方程的根有什么共同点和区别？（1）联系：数值上相等：求函数的零点可以转化成求对应方程的根；存在性一致：方程 f(x)0 有实数根函数 yf (x)的图象与 x 轴有交点函数 yf(x) 有零点（2）区别：零点对于函数而言，根对于方程而言以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，函数问题有时可转化为方程问题，同样
6、，有些方程问题可以转化为函数问题来求解，这正是函数与方程思想的基础3练习：求下列函数的零点： 2 2(1)34(2)lg(4)fxxfxx设计意图：使学生熟悉零点的求法（即求相应方程的实数根）（三）实例探究，归纳定理6零点存在性定理的探索问题 5：观察两组画面,请你推断一下哪一组一定能说明小马已经成功过河？问题 6：将河流抽象成 x 轴，将小 马前后的两个位置抽象为 A、B 两点。请问当 A、B 与 x 轴满足怎样的位置关系时 AB 间的一段函数图象与 x 轴会有交点？并画出函数图像通过类比，发现只要满足 A、B 两点在 x 轴的两侧这种位置关系就可以达到要求。同时这种位置关系可以用 f（a）
7、f（ b）0,则 f (2) f (3)0，这说明函数 f(x)在区间(2，3)内有零点问题 8：如何说明零点的唯一性？又由于函数 f(x)在(0，+)内单调递增，所以它仅有一个零点解法 2（估算）：估计 f(x)在各整数处的函数值的正负，可得如下表格：x 1 2 3 4f(x) 结合函数的单调性，f(x )在区间(2，3) 内有唯一的零点解法 3（函数交点法）：将方程 lnx2x6=0 化为 lnx=6-2x，分别画出 g(x)=lnx 与 h(x)=6-2x的草图，从而确定零点个数为 1继而比较 g(2)、h(2)、g(3)、h(3) 等的大小，确定交点所在的区间，即零点的区间56O xy
8、21 3 4g(x)h(x)由图可知 f(x)在区间(2，3)内有唯一的零点设计意图：通过例题分析，能根据零点存在性定理，使用多种方法确定零点所在的区间，并且结合函数性质，判断零点个数 练习 求方程 2-x =x 的解的个数，并确定解所在的区间 n，n+1(nZ)设计意图：一方面与引例相呼应，又作 为例题方法的巩固，也为下一节课作铺垫（六）总结整理，提高认识（1）一个关系：函数零点与方程根的关系：函数 方程零点 根数 值存在性个 数（2）两种思想：函数方程思想；数形结合思想（3）三种题型：求函数零点、判断零点个数、求零点所在区间（七）布置作业，独立探究1函数 f(x)(x4)( x4)( x2) 在区间-5，6上是否存在零点？若存在，有几个？2利用函数图象判断下列方程有几个根：（1）2x(x2) 3；（2）e x1 44x3结合上课给出的图象，写出并证明下列函数零点所在的大致区间：（1）f(x)=2xln(x-2)-3 ；（2）f (x)3(x2)(x3)(x4)x 思考题：方程 2-x =x 在区间_ 内有解，如何求出这个解的近似值？请预习下一节设计意图：为下一节“用二分法求方程的近似解”的学习做准备【板书设计】6方程的根与函数的零点1、零点概念： 练习： 2、方程的根与函数零点的关系 3、函数零点存在性定理的条件 例 2： 例 1 反例： xyO xyO xyO
