1、八年级数学(人教版)上册,13.4最短路径问题,如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？,两点之间,线段最短, ,解：走路线最近。,线段公理： 两点之间，线段最短.,垂线段性质：垂线段最短.,B,()两点在一条直线异侧,已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点C，使得AC+CB最小。,解：连接AB,线段AB与直线L交于点C ，则点C即为所求。,这样做的依据是什么？ 根据是：两点之间线段最短.,C,问题1 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到B地牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？,思考： 你能把这个问题转化 为数学问题
2、吗？,A,B,l,() 两点在一条直线同侧,l,当点C在直线 l 的什么位置时，AC与BC的和最小？,分析：,A,B,l,（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？（2）我们能否把A、B两点转化到直线l 的异侧呢？转化需要遵循的原则是什么？（3）利用什么知识可以实现转化目标？,分析：,B,() 两点在一条直线同侧,问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？,作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B； （2）连接AB，与直线l 相交于点C则点C 即为所求路径AC+CB最小,B,() 两点在一条直线同侧,问题3
3、你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？,证明：如图，在直线l 上任取一点C（与点C 不重合），连接AC，BC，BC直线L是点B、B的对称轴，点C、C在对称轴上。BC =BC，BC=BC AC +BC= AC +BC = AB，AC+BC= AC+BC,B,() 两点在一条直线同侧,三角形任意两边之和大于第三边,问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？,证明：在ABC中，ABAC+BC， AC +BCAC+BC即 AC +BC 最短,问题1 归纳,问题2 （造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平
4、行的直线，桥要与河垂直.）,思考： 你能把这个问题转化 为数学问题吗？,如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么折线AMNB在什么情况下最短呢？,分析：,a,b,由于河宽是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.,作法：1.将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A使AA等于河宽，2.连接AB交河岸b于点N,则点N为建桥MN的位置，此时路径AM+MN+BN最短。,A,N,M,问题2 （造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）,另任意造
5、桥MN， 连接AM、BN、AN.,由平移性质可知， AMAN，AMAN AAMNM N.,AM+MN+BNAA+AB，AM+MN+BNAA+AN+BN.,在ANB中，由线段公理知AN+BN AB，,AM +MN +BN AM+MN+BN.,证明：,a,b,问题2 归纳,小结归纳,转化,轴对称 变换,平移 变换,两点之间，线段最短.,1、如图，A为马厩，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到马厩. 请你帮他确定这一天的最短路线.,已知：如图，在l1、l2之间有一点A.,求作：分别在l1、l2上确定一点M、N，使AM+MN+NA最小.,作法：1.作点A关于直线L1
6、的对称点A1,2. 作点A关于直线 L2的对称点A2,3.连接A1A2分别交直线L1.L2于点M.N， 则路径AM+MN+AN最短,河 流,草 地,2. 如图：C为马厩，D为帐篷，OA是草地，OB是河流。牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。作法：1.作点C关于直线 OA 的对称点点F,2. 作点D关于直线 OB的对称点点E,3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H， 则路径CG+GH+DH最短,F,A,O,B,D , C,E,G,H,证明：在直线OA 上另外任取一点M，连接FM、CM 点F,点C关于直线OA对称，点G.M
7、在OA上，GF=GC,FM=CM,同理HD=HE，ND=NE, CG+GH+HD=FG+GH+HE=FE, CM+MN+ND=FM+MN+NE, 在四边形FMNE中， FM+MN+NEFE（两点之间，线段最短）， 即FM+MN+NEFG+GH+HE FM+MN+NECG+GH+HD 即CG+GH+HD最短,F,A,O,B,D ,E,M,N,G,H, C,3.某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？作法：1.作点C关于直线 OA 的 对称点点D,2. 作点C关于直线 OB的对称点点E,3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N， 则CM+MN+CN最短,A,O,B,. .,E,D,M,N,4.你喜欢打台球吗？其实在打台球过程中也用到数学知识.如图，四边形ABCD是长方形的球桌台面，有两个球分别位于P、Q两点上，先找出P点关于BC的对称点P，连接PQ交BC于M点，则P处的球经BC的点M处反弹后，会击中Q处的球.请回答：如果使P球先碰撞台边BC反弹碰撞台边AD后，再击中Q球，该如何撞击呢?（画出图形）,课堂小结,祝同学们学习进步！,
