光电图像处理 第四章 图像变换1.pdf

1、光电图像处理 第一章 绪论 第二章 图像处理基础知识 第三章 空域图像增强 第四章 图像变换 第五章 频域图像增强 第六章 图像恢复 第七章 二值图像及形态学图像处理 第八章 彩色图像处理 第九章 图像编码 课程内容 第四章 图像变换光电图像处理 第四章 图像变换 快速傅里叶变换FFT 傅里叶变换FT光电图像处理 4.1 傅里叶变换 第四章 图 像变换 一、 背景 Background 法国数学家傅里叶(生于1768年)在 1822年出版的热分析理论一书 中指出:任何周期函数都可以表达为 加权的不同频率的正弦和/或余弦和 的形式,即傅里叶级数。 非周期的函数可以用正弦和/或余弦 乘以加权函数的

2、积分来表示，即傅 里叶变换。 用傅里叶级数或变换表示的函数特 征可以完全通过傅里叶反变换来重 建，不丢失任何信息。 20世纪50年代后期,快速傅里叶变换 算法出现,得到了广泛的应用。光电图像处理 第四章 图 像变换 二、 一维傅里叶变换及其反变换 连续函数f(x)的傅里叶变换F(u): dx e x f u F ux j 2 ) ( ) ( du e u F x f ux j 2 ) ( ) ( 1 0 / 2 ) ( 1 ) ( M x M ux j e x f M u F 1 0 / 2 ) ( ) ( M x M ux j e u F x f 1 ,., 2 , 1 , 0 M u 1

3、,., 2 , 1 , 0 M x F(u)的傅里叶反变换: 离散函数f(x) (其中x=0,1,2,M-1) 的傅里叶变换: 傅里叶变换F(u)的反变换:光电图像处理 第四章 图 像变换 ) ( ) ( ) ( u j e u F u F ) ( ) ( ) ( 2 2 u I u R u F ) ( ) ( arctan ) ( u R u I u ) ( ) ( ) ( 2 2 u I u R u P 功率谱 相位谱 频谱 傅里叶变换在极坐标下表示: 傅里叶变换可以看作数学的棱镜,将函数基于频率分成不同 成分，使我们能通过频率成分来分析一个函数。 注：欧拉公式 2 cos 2 sin 2

4、 ju x eu x ju x 光电图像处理 第四章 图 像变换 当曲线下的面积在x域加倍时，频率谱的高度也加倍； 当函数的长度加倍时，相同间隔下频谱中零点的数量 也加倍。光电图像处理 第四章 图 像变换 三、二维离散傅里叶变换及其反变换 图像(MN )的灰度函数f(x,y)的离散傅里叶变换F(u,v): 1 0 1 0 ) / / ( 2 ) , ( 1 ) , ( M x N y N vy M ux j e y x f MN v u F 1 ,., 2 , 1 , 0 M u 1 ,., 2 , 1 , 0 M u 1 0 1 0 ) / / ( 2 ) , ( ) , ( M u N v

5、 N vy M ux j e v u F y x f 1 ,., 2 , 1 , 0 N v 1 ,., 2 , 1 , 0 N v F(u,v)的反变换:光电图像处理 第四章 图 像变换 二维离散傅里叶变换在极坐标下表示: (,) (,) (,) juv Fuv Fuve ) , ( ) , ( ) , ( 2 2 v u I v u R v u F ) , ( ) , ( arctan ) , ( v u R v u I v u ) , ( ) , ( ) , ( 2 2 v u I v u R v u P 功率谱 相位谱 频率谱光电图像处理 第四章 图 像变换 图像大小：512 512

6、白色矩形： 20 40 (4-1.bmp) 频谱图 f=imread(4-1.bmp); F=fft2(f); S=abs(F); imshow(S,)光电图像处理 第四章 图 像变换 y x y x f ) 1 )( , ( 傅里叶变换的原点即F(0,0)为(M/2,N/2)。 ) 2 / , 2 / ( ) 1 )( , ( N v M u F y x f y x 光电图像处理 第四章 图 像变换 f=imread(4-1.bmp); F=fft2(f); Fc=fftshift(F); S=abs(Fc); imshow(S,) S2=log(1+S)*0.5; imshow(S2,)

7、y光电图像处理 离散傅里叶变换实例光电图像处理 第四章 图 像变换 离散图像在原点的傅里叶变换等于 1 0 1 0 ) , ( 1 ) 0 , 0 ( M x N y y x f MN F 图像的平均灰度值： 1 0 1 0 ) / / ( 2 ) , ( 1 ) , ( M x N y N vy M ux j e y x f MN v u F 光电图像处理 第四章 图 像变换 频率域的中心区域对应图像中变化慢部分,离开频率域 的中心时,较高的频率开始对应图像中变化较快的部分 （如：物体的边缘等）。 1 0 1 0 ) / / ( 2 ) , ( 1 ) , ( M x N y N vy M

8、ux j e y x f MN v u F 每个F(u,v)项包含了被指数修正的f(x,y)的所有值。 因此，一般情况下不可能建立图像特定分量和其变换 之间的直接联系。光电图像处理 第四章 图 像变换 1. 平移性： 四、离散傅里叶变换的性质 j2( ) / (,)( , ) cx dy N Fucvd fxye ) , ( ) , ( v u F y x f j 2( ) / (,)( , ) au bv N fxayb Fuve j2 ( )/ 11 j2 ( )/ j2 ( )/ 00 11 j 2( )( ) / 00 (,) 1(,) 1(,) ( ), ( ) cx dy N NN

9、 cx dyNu x v y N xy NN ucxvdyN xy fxye fxye e N fxye N Fuc vd F 推 导光电图像处理 第四章 图 像变换 2. 分离性： 11 2(/ /) 00 11 2/ 2/ 00 1 2/ 0 1 (,) (,) 11 (,) 1 (,) MN ju x Mv yN xy MN j ux M j vy N xy M ju xM x Fuv fxye MN ef x y e MN Fxve M 光电图像处理 第四章 图 像变换 3. 周期性和共扼对称性： * * (,) ( , ) (,) ( , ) Fuv F u v Fuv F u v

10、(,) ( ,) (, ) ( , ) Fuv Fu Mv Fuv N Fu Mv N 光电图像处理 第四章 图 像变换 4. 旋转性： 00 (, ) (, ) fr F 光电图像处理 第四章 图 像变换 5. 分配律： 1212 (,) (,) (,) (,) Ffxyf x y F f x y F f x y 注意：对乘法一般不满足分配律！ ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 2 1 2 1 y x f F y x f F y x f y x f F 光电图像处理 第四章 图 像变换 6. 尺度变换： (,) (,) 1 (,) , af x y aF u v uv fa x

11、b y F ab a b 光电图像处理 第四章 图 像变换光电图像处理 第四章 图 像变换 7. 平均值： 离散图像在原点的傅里叶变换等于图像的平均灰度值 11 2 00 1 (0,0) ( , ) NN xy Ff x y N 11 2( ) / 2 00 1 (,) (,) NN j ux vy N xy Fuv fxye N 光电图像处理 第四章 图 像变换 8. 卷积： () *() ()( ) fxgx fzgxzd z 一维卷积定义为： 二维卷积定义为： (,) *(,) (,)( , ) f xy gxy fpqgx pyqdpdq 光电图像处理 第四章 图 像变换 傅里叶变换的

12、一维卷积特性： () *() ()() ()() () *() fxgxFuGu f xgx Fu Gu 傅里叶变换的二维卷积特性： (,) *(,) (,)(,) (,)(,) (,) *(,) f xy gxy FuvGuv f xygxy Fuv Guv 光电图像处理 第四章 图 像变换 9. 相关： () () * ()( ) fxgx fzgxzd z 一维相关定义为： 二维相关定义为： (,) (,) * (,)( , ) f x y g x y f p q g x p y q dpdq 光电图像处理 第四章 图 像变换 傅里叶变换的二维相关特性： (,) (,) * (,)(,)

13、 *( , ) ( , ) ( , ) ( , ) f xy gxy F uvGuv f xygxy Fuv Guv 光电图像处理 4.2 快速傅里叶变换FFT 1 0 () () ( 0 1 ) N nk n Xk xnW k N 1 0 1 () () ( 0 1 ) N nk k xn XkW n N N (2 / ) j N We 一、问题的提出 000 0 01 12 1 ( 1 ) 1 0 1 (1 ) 2 (1 ) (1 ) (1 ) (0) (0) (1) (1) (1 ) (1 ) N NNN N Xx WWW W Xx WWW W XN xN WW W W 第四章 图 像变

14、换光电图像处理 000 0 01 12 1 ( 1 ) 1 0 1 (1 ) 2 (1 ) (1 ) (1 ) (0) (0) (1) (1) (1 ) (1 ) N NNN N Xx WWW W Xx WWW W XN xN WW W W 000 0 01 12 1 ( 1 ) 1 0 ( 1) 1 ( 1) 2 ( 1) ( 1) (0) (0) (1) (1) 1 (1 ) (1 ) N NNN N xX WWW W xX WW W W N xN XN WW W W 计算量：复数加法N(N-1)、复数乘法N 2 当N1024时，需要一百多万(1,048,576)次 复数乘法运算。 第四章

15、 图 像变换光电图像处理 二、减小运算工作量的途径 当N=4时 0000 0123 0246 0369 (0) (0) (1) (1) (2) (2) (3) (3) Xx WWWW Xx WWWW Xx WWWW Xx WWWW 特性分析 () () nk n k N k n N WW W （2）周期性 （3）对称性 2 N nk nk WW 0/ 22 / / 2 1; 1 Nj N N WWe （1） 当N=4时，有W 2 W 6 ，W 1 W 9 ，W 0 =W 4 当N=4时，有W 3 W 1 ，W 2 W 0 第四章 图 像变换 (2 / ) kn j N kn We 光电图像处理

16、 000000000000 012301230101 024602020000 036903210101 WWWWWWWWWWWW WWWWWWWWWWWW WWWWWWWWWWWW WWWWWWWWWWWW 对称性简化 原计算式 周期性简化 （库利图基FFT算法的基本思想） 第四章 图 像变换光电图像处理 三、FFT 计算方法 基2FFT算法 （1 ）要求N 为2的幂。 设一个点序列x(n) ，采样点数N=2 M ，M 为正整数 如:N=128 (2 7 ) 、256 (2 8 ) 、512 (2 9 ) 、1024 (2 10 ) （2 ）把N 点DFT 运算分解成两组N/2点的DFT 运

17、算， 即把x(n) 按n 为偶数和n 为奇数分解为两部分。 第四章 图 像变换光电图像处理 2( 2 1 ) 0 22 0 /2 /2 0 () ( 2) ( 2 1 ) (2 )( ) (2 1)( ) (2 ) (2 1) () () rk r k NN rk k rk NN N rk k rk NN N k N Xk xrW xr W xrW W xr W xrW W xrW Gk WHk N/2-1 N/2-1 r r=0 N/2-1 N/2-1 r r=0 N/2-1 N/2-1 r r=0 2 22/ 2/ (/ 2 ) /2 () jN jN NN We e W 式中，W N n

18、k 的下标N表示取N点DFT计算 1 0 nn () () () () () N kn N n kn kn NN Xk D F Txn xnW xnW xnW 偶数 奇数 第四章 图 像变换光电图像处理 () () () k N Xk Gk WHk 2 222 () () () ()() () () () 0 , 1 , , /21 N k N k NNN N k N Xk Gk WHk Xk Gk W Hk Gk WHk k N 2 2 ()( ) ()( ) N N Gk Gk HkH k /2 1 /2 0 /2 1 /2 0 () ( 2) () ( 2 1 ) N rk N r N

19、rk N r Gk x rW Hk xr W 其中， 由周期性可知： 一个N点的DFT 可分解为两个 N/2点的DFT， 而这两个N/2 点的DFT又可 组合成N点的 DFT 第四章 图 像变换 k N k N N N N k N W W W W 2 / 2 / 又光电图像处理 当N=4时 0 4 1 4 0 4 1 4 (0) (0) (0) (1) (1) (1) (2) (0 4/ 2) (0) (0) (3) (1 4 / 2) (1) (1) XGW H XGW H XX GW H XX GW H x(0) x(2) x(1) x(3) 蝶 形 运 算 第四章 图 像变换光电图像处理

20、 12 / 2 0 22 1 jj We e W 基2FFT算法计算量统计 /2 1 /2 0 /2 1 /2 0 () ( 2) () ( 2 1 ) N rk N r N rk N r Gk x rW Hk xr W ) 3 ( ) 1 ( ) 3 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 3 ( ) 1 ( ) 3 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 2 ( ) 0 ( ) 2 ( ) 0 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 0 ( ) 2 ( ) 0 ( ) 0 ( 0 2 1 2 0 2 0 2 0 2 1 2 0 2 0 2 x W x x W x H x W x x W x H x W x x W

21、 x G x W x x W x G 当N=4时 第四章 图 像变换 ) 3 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 2 ( ) 0 ( ) 1 ( ) 0 ( 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 x x W W W W H H x x W W W W G G光电图像处理 0 4 1 4 0 4 1 4 (0) (0) (0) (1) (1) (1) (3) (0 4 / 2) (0) (0) (4) (1 4/ 2) (1) (1) XGW H XGW H XX GW H XX GW H 基2FFT： 乘法计算次数： 2N/2（4次） 加法计算次数： 2N （

22、8次） DFT ： 乘法N 2 次（ 16） 加法N(N-1)次（ 12） 第四章 图 像变换 ) 3 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 2 ( ) 0 ( ) 1 ( ) 0 ( 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 x x W W W W H H x x W W W W G G光电图像处理 当N=8时 第四章 图 像变换光电图像处理 当N=8时 三级蝶形运算 基2FFT： 乘法计算次数： ( N/2) log 2 N（12次） 加法计算次数： Nl o g 2 N （24次） DFT ： 乘法N 2 (64次) 加法N(N-1) (56次) 第四章 图

23、像变换光电图像处理 基2FFT： 乘法计算次数：( N/2) log 2 N 加法计算次数：Nl o g 2 N DFT ： 乘法计算次数：N 2 加法计算次数：N(N-1) 1024 乘法次数 采样点数 （10 3 ） 第四章 图 像变换光电图像处理 本章小结 傅里叶变换 FT dx e x f u F ux j 2 ) ( ) ( du e u F x f ux j 2 ) ( ) ( 1 0 / 2 ) ( 1 ) ( M x M ux j e x f M u F 1 0 / 2 ) ( ) ( M x M ux j e u F x f 一维傅里叶变换及其反变换 第四章 图 像变换光电图

24、像处理 二维离散傅里叶变换及其反变换 1 0 1 0 ) / / ( 2 ) , ( 1 ) , ( M x N y N vy M ux j e y x f MN v u F 1 ,., 2 , 1 , 0 M u 1 ,., 2 , 1 , 0 M u 1 0 1 0 ) / / ( 2 ) , ( ) , ( M u N v N vy M ux j e v u F y x f 1 ,., 2 , 1 , 0 N v 1 ,., 2 , 1 , 0 N v ) , ( ) , ( ) , ( 2 2 v u I v u R v u F ) , ( ) , ( arctan ) , ( v u

25、 R v u I v u ) , ( ) , ( ) , ( 2 2 v u I v u R v u P 功率谱 相位谱 频率谱 第四章 图 像变换光电图像处理 离散傅里叶变换的性质 1. 平移性 2. 分离性 3. 周期性和共扼对称性 4. 旋转性 5. 分配律 6. 尺度变换 7. 平均值 离散图像在原点的傅里叶变换等于图像 的平均灰度值 11 2 00 1 (0,0) ( , ) NN xy Ff x y N 8.卷积特性 9.相关特性 第四章 图 像变换光电图像处理 快速傅里叶变换 FFT 基2FFT： 乘法计算次数：( N/2) log 2 N 加法计算次数：Nl o g 2 N DFT ： 乘法计算次数：N 2 加法计算次数：N(N-1) 第四章 图 像变换光电图像处理 作业 1、分别用DFT和基2FFT算法求4点序列 2，3，3，2的傅里叶变换。 第四章 图 像变换