1、1上海市松江区2020届高三一模数学试卷2019.12一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.已知集合 | 1 0A x x ，0,1,2B ，则A B I2.若角的终边过点(4, 3)P ，则3sin( )2 3.设1 i 2i1 iz ，则| |z 4. 2 52( )x x的展开式中4x的系数为5.已知椭圆2 2 19 4x y 的左、右焦点分别为1F、2F，若椭圆上的点P满足1 2| | 2| |PF PF，则1| |PF 6.若关于x、y的二元一次方程组4 2mx y mx my m 无解，则实数m 7.已知向量(1,2)a r，( , 3)b m
2、 r，若向量( 2 )a br rbr，则实数m 8.已知函数( )y f x存在反函数1( )y f x，若函数( ) 2xy f x 的图像经过点(1,6)，则函数1 2( ) logy f x x 的图像必经过点9.在无穷等比数列 na中，若1 2 1lim( ) 3nn a a a ，则1a的取值范围是10.函数ax by cx d 的大致图像如图，若函数图像经过(0, 1)和( 4,3)两点，且1x 和2y 是其两条渐近线，则: : :a b c d 11.若实数, 0a b ，满足abc a b c ，2 2 1a b ，则实数c的最小值为12.记边长为1的正六边形的六个顶点分别为
3、1A、2A、3A、4A、5A、6A，集合 | ( , 1,2,3,4,5,6, )i jM a a A A i j i j r r uuuur，在M中任取两个元素mur、nr，则0m n ur r的概率为二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.已知l是平面的一条斜线，直线m ，则（）A.存在唯一的一条直线m，使得l m B.存在无限多条直线m，使得l mC.存在唯一的一条直线m，使得lm D.存在无限多条直线m，使得lm214.设,x yR，则“2x y ”是“x、y中至少有一个数大于1”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件15.已知,b
4、cR，若2| |x bx c M 对任意的0,4x恒成立，则（）A. M的最小值为1 B. M的最小值为2C. M的最小值为4 D. M的最小值为816.已知集合1,2,3, ,10M ，集合A M，定义( )M A为A中元素的最小值，当A取遍M的所有非空子集时，对应的( )M A的和记为10S，则10S （）A.45 B.1012 C.2036 D.9217三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.如图，圆锥的底面半径2OA，高6PO ，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点.（1）求圆锥的侧面积和体积；（2）求异面直线CD与AB所成角的大小.（结
5、果用反三角函数表示）18.已知函数2( ) 2 3sin cos 2sinf x x x x .（1）求( )f x的最大值；（2）在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若( ) 0f A ，b、a、c成等差数列，且2AB AC uuur uuur，求边a的长.319.汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车，某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间0t、人的反应时间1t、系统反应时间2t、制动时间3t，相应的距离分别为0
6、d、1d、2d、3d，当车速为v（米/秒），且0,33,3v时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k随地面湿滑成都等路面情况而变化，0.5,0.9k）.阶段0、准备1、人的反应2、系统反应3、制动时间0t 1 0.8t 秒2 0.2t 秒3t距离0 20d 米1d 2d 23 120d vk米（1）请写出报警距离d（米）与车速v（米/秒）之间的函数关系式( )d v，并求0.9k 时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间（精确到0.1秒）；（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米
7、/秒以下？合多少千米/小时？420.设抛物线2: 4y x 的焦点为F，经过x轴正半轴上点( ,0)M m的直线l交于不同的两点A和B.（1）若| | 3FA ，求点A的坐标；（2）若2m ，求证：原点O总在以线段AB为直径的圆的内部；（3）若| | | |FA FM，且直线1ll，1l与有且只有一个公共点E，问：OAE的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出M点的坐标，若不存在，请说明理由.21.已知数列 na满足：na N（*nN）；当2kn （*kN）时，2n na ；当2kn （*kN）时，1n na a ，记数列 na的前n项和为nS .（1）求1a，3a，9a的值；（2）若
8、2020nS ，求n的最小值；（3）求证：2 4 2n nS S n 的充要条件是2 1 1na （*nN）.5参考答案一.填空题1. 1,2 2. 45 3. 1 4. 40 5. 4 6. 27. 32 8. (4,3) 9. 1 1 2(0, ) ( , )3 3 3U 10. 2: 1:1:111. 2 2 12. 851二.选择题13.B 14.A 15.B 16.C三.解答题17.（1）侧面积4 10，体积8；（2）14arccos 14或arctan 13 .18.（1）( ) 2sin(2 ) 16f x x ，最大值为1；（2）3A ，2a .19.（1）220 20vd v
9、 k ，20 201 2 1 3.118 18d vt v v 秒；（2）220 8020vd v k ，0.5k 时，20v 米/秒，合72千米/小时.20.（1）(2, 2 2)；（2）4 0OA OB uur uuur，证明略；（3）最小值2，(3,0)M .21.（1）1 0a ，3 0a 或1，9 0a 或1；（2）115；（3）略.20解：（1）由抛物线方程知，焦点是(1,0)F，准线方程为1x ，设A（x1，y1），由|FA|=3及抛物线定义知，x1=2，代入2 4y x得2 2y 所以A点的坐标(2,2 2)A或(2, 2 2)A 4分（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）
10、，设直线AB的方程是：xmy+2，联立2 24x myy x ，消去x得：y24my80，由韦达定理得1 21 2 48y y my y ，6分1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , )OA OB x y x y x x y y 2 2 21 2 1 21 2 1 2( ) 4 8 04 4 16y y y yy y y y ，故AOB恒为钝角，故原点O总在以线段AB为直径的圆的内部10分6（3）设A（x1，y1），则x1y10，因为|FA|FM|，则|m1|x1+1，由m0得mx1+2，故M（x1+2，0）故直线AB的斜率KAB12y因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为1
11、2yy x b ，代入抛物线方程得2 1 18 8 0by yy y ，由题意21 164 32 0by y ，得12b y12分设E（xE，yE），则14Ey y，21 14 1Ex y x 1 11 1 1 11 10 0 1 41 11 22 21 4 1OAE y xS x y x yx y 14分当且仅当1 11 14y xx y，即2 21 14y x时等号成立，由2 21 121 144y xy x 得21 14 4x x，解得1 1x 或1 0x （舍），15分所以M点的坐标为(3,0)M，min( ) 2OAES 16分21解：（1）因2 1a ，1 2a a，且1a是自然数
12、，1 0a ；2分4 2a ，3 40 a a ，且3 4,a a都是自然数； 3 0a 或3 1a ；3分16 8a ，9 10 160 8a a a ，且*( )ia N i N ， 9 0a 或9 1a 4分（2）12 2 ( )k ka k N ，当12 2k kn ( , )n k N时，1 1 1 12 1 2 2 2 3 20 2k k k k ka a a a ，由于na N，所以12 1k ma m 或m，11,2,3, ,2 1.km 6分 64 max (0 1) (1 2) (1 2 3 4) (1 2 8) (1 2 16)S 2 3 4 5 8 9 16 17 32
13、 33(1 2 32) 1 7142 2 2 2 2 128 max 64 65714 27942S 714 2020 2794 ，64 128n 8分又2020 714 1306 ，1 2 3 50 1275 1306 1 2 3 50 51 1326 所以min 64 51 115n 10分（3）必要性：若2 4 2n nS S n 7则：12 24 2 2n n nS S 12 2 2 14 (2 1) 2n n nS S 得：1 12 1 2 2 2 14 1( )n n na a a n N 11分由于112 12 2 0,1nnaa 或112 12 2 1,2nnaa 或112 1
14、2 2 02nnaa ，且2 1 0,na 或1只有当1 12 1 2 1 2 21, 1, 2n n na a a 同时成立时，等式才成立2 1 1( )na n N 13分充分性：若2 1 1( )na n N ，由于12 1 2 2 2 3 21 2n n n n na a a a 所以2 ( , , 2 )n nka k n N k N k ，即2 1 1na ，2 2 2na ，2 3 3na ，12 1 2 1n na ，又12 2n na 所以对任意的n N，都有2 2 1 1n na a （I）14分另一方面，由2n ka k ，12 2 2n ka k ( , , 2 )nn N k N k 所以对任意的n N，都有2 2n na a （II）15分2 1 2 2 1 3 2 1 2 4 2( ) ( )n n n nS a a a a a a a a a 2 4 2 2 2 32( ) 2 4( )n na a a n a a a a n 由于1 20, 1a a 2 1 24( ) 2 4 2n n nS a a a n S n 证毕.18分
