1、绵阳市高中 2014 级第二次诊断性考试数学（理工类）第卷一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合 , ，则|2AxZ|(1)30BxZxABA B C D 3|22、若复数 满足 是虚数单位） ，则 的虚部为z(1)(izzA B C D 2i12i3、某校共有在职教师 200 人，其中高级教师 20 人，中级教师 100 人，初级教师 80 人，现采用分层抽样抽取容量为 50 的样本进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数为A5 B12 C D25 204、 “ ”是 与直线 垂直的1a:(1)lxa
2、y2:(1)(3)0laxyA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件5、某风险投资公司选择了三个投资项目，设每个项目成功的概率都为 ，且相互之间没12有影响，若每个项目成功都获利 20 万元，若每个项目失败都亏损 5 万元，该公司三个投资项目获利的期望为 A30 万元 B22.5 万元 C10 万元 D7.5 万元 6、宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 分别为 ，,ab5,2则输出的 等于nA2 B3 C4 D5 7、若一个三位自然数的各位数字中，有
3、且仅有两个数字一样，我们把这样的三位自然数定义为“单重数” ，例： ，12,3则不超过 的“单重数”个数是20A19 B27 C28 D37 8、若点 的直线 与函数 的图象交于 A、B 两点，O 为坐标原点，(,1)Pl234xf则 OA B C D10 5259、已知 是函数 的两个零点，则cos,in2()fxtRsin2A B C D 110、设 分别为双曲线 的两个焦点，M、N 是双曲线 C 的一条12,F2(0,)xyab渐近线上的两点，四边形 为矩形，A 为双曲线的一个顶点，若 的面积为12MFNAN，则该双曲线的离心率为21cA3 B2 C D 3211、已知点 在椭圆 上，过
4、点 作圆14(,)P2:1(0)xyabP的切线，切点为 A、B，若直线 AB 恰好过椭圆 C 的左焦点 F，则 的2:Oxy 2ab值是A13 B14 C15 D16 12、已知 ，若 ，则 取得最小值时， 所在的,lnxfegxftgstft区间是A B C D (ln2,1)(,l2)1(,)3e1(,)2第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上。.13、 的展开式的常数项为 251()x14、甲乙甲乙二人能译出某种密码的概率分别为 和 ，现让他们独立地破译这种密码，123则至少有 1 人能译出密码的概率为 15、已知直线 与圆 相交于
5、A、B 两点，点 P20mxy221:()()1Cxy是圆上的动点，则 面积的最大值是 22:(3)5CPAB16、已知抛物线 ，焦点为 F，过点 作斜率为 的直线 与抛物2:4yx(1,0)(0)kl线 C 交于 A、B 两点，直线 AF、BF 分别交抛物线 C 与 M、N 两点，若 ，则 18AFBNk三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、 （本小题满分 12 分）数列 中， 。na21120(),3nnaNa（1）求证： 是等差数列；1（2）求数列 的前 n 项和 。aS18、 （本小题满分 12 分）在 中，角 所对的边分别为 ，已
6、知 。ABC, ,abc,2bcCA（1）若 ，求角 ；2caA（2）是否存在 恰好使 是三个连续的自然数？若存在，求 的周长；,c B若不存在，请说明理由。19、 （本小题满分 12 分）2016 年下半年，简阳市教体局举行了市教育系统直属单位职工篮球比赛，以增强直属单位间的交流与合作，组织方统计了来自 等 5 个直属单位的男子篮球队的平1234,A均身高与本次比赛的平均得分，如下表所示：（1）根据表中的数据，求 y 关于 x 的线性回归方程；（系数精确到 0.01）（2）若 M 队平均身高 ，根据（1）中所得的回归方程，预测 M 队的平均得分。 （精85cm确到 0.01）注：回归方程 中
7、斜率和截距最小二乘估计公式分别为ybxa12() ,niiiiibyxx20、 （本小题满分 12 分）已知椭圆 的右焦点 ，过点 F 作平行于 y 轴的直线截2:1(0)xyCab(6,0)F椭圆 C 所得的弦长为 。（1）求椭圆的标准方程；（2）过点 的直线 交椭圆 C 与 P、Q 两点，N 点在直线 上，若 是等边(,0)l 1xNPQ三角形，求直线 的方程。l21、 （本小题满分 12 分）已知函数 的两个零点为 。1ln()2fxxmR12,()x（1）求实数 的取值范围；（2）求证： 。12xe请考生在第（22） 、 （23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时
8、用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上22、 （本小题满分 10 分）选修 4-4 坐标系与参数方程已知曲线 C 的参数方程是 为参数）3cos(inxy（1）将 C 的参数方程化为普通方程；（2）在直角坐标系 中， ，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极xO(0,2)POx坐标系，直线 的极坐标方程为 为 C 上的动点，求线lcos3in20,Q段 PQ 的中点 M 到直线 的距离的最小值。l23、 （本小题满分 10 分）选修 4-5 不等式选讲已知函数 1()fxxtR（1） 时，求不等式 的解集；2t2f（2）若对于任意的 恒成立，求实数 的取值范围。,
9、3txfxaa绵阳市高 2014 级第二次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分BACAB CCDAD CB二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13-11 14 151632535三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 17解 ：（） 令 ，nnac1则 =( )-( )= （常数） ，nc12a 12nna， 2故 an+1-an是以 2 为首项，1 为公差的等差数列 4 分()由（）知 ， 即 an+1-an=n+1，cn于是 1211 )()()(n ， )(8 分故 )1(2)1(nna S
10、n=2(1- )+2( - )+2( - )+34)1(2n=2(1 )1= 12 分2n18解：() ，ac 由正弦定理有 sinC= sinA 2 分2又 C=2A，即 sin2A= sinA，于是 2sinAcosA= sinA， 4 分在 ABC 中，sin A0，于是 cosA= ，2 A= 6 分4()根据已知条件可设 ， nN* 1cnba，由 C=2A，得 sinC=sin2A=2sinAcosA， 8 分c2sinco由余弦定理得 ， 代入 a， b， c 可得ba， 10 分nn2)(12)(2解得 n=4， a=4， b=5， c=6，从而 ABC 的周长为 15，即存在
11、满足条件的 ABC，其周长为 15 12 分19解：()由已知有，17659817640x，587642y 2222 )1769()1768()1764()10( )68(0)170( b= 0.73，32于是 =-62.48，73.6xya 10 分4820b() x=185，代入回归方程得 =72.57，48.6215.0y即可预测 M 队的平均得分为 72.57 12 分20解：() 设椭圆 C 的焦半距为 c，则 c= ，于是 a2-b2=6由 ，整理得 y2=b2(1- )=b2 = ，解得 y= ，12byaca4ab2 ，即 a2=2b4， 2 b4-b2-6=0，解得 b2=2
12、，或 b2=- （舍去） ，进而 a2=8，3 椭圆 C 的标准方程为 4 分18yx()设直线 ： ， PQt )()(2yxQP，联立直线与椭圆方程：消去 得： ， ，12tyx 0742tyt y1+y2= ， y1y2= 7 分4t47t于是 ， 8)(tx故线段 PQ 的中点 8 分)422ttD，设 ， 由 ，则 ， )1(0yNNQP1PQDk即 ，整理得 ，得 ttt42 4320ty )43(2tN，又 是等边三角形，PQ ，即 ， ND232243PQND即 ， 47)(1)()14( 222 tttt整理得 ， 即 ，222)4(8)14(tt 22)4(8)8(tt解得
13、， ， 11 分0t 直线 l 的方程是 12 分01yx21解：() ， 1 分22)(xmf m0 时， 0， 在 上单调递增，不可能有两个零点x)(f)2 分 m0 时，由 可解得 ，由 可解得 ， 0f 0)(xf mx2 在 上单调递减，在 上单调递增，)(xf)2， 2，m于是 min= = ， 4 分(f 1ln要使得 在 上有两个零点，)x)0，则 t20 8 分要证 ，即证 ，即 ex21et1ett121即证 9 分)()tht令 ，(xex下面证 对任意的 恒成立0)10(e10 分22)(1ln1l)2()( xexehx ， )10( ，22)(lnxex = )( 22)(1ln)1lxexe2)(lnxe 0， 在 是增函数，)(x)10e 综合得 x )(f )(f255 不等式 的解集为 x| x 5 分221（） 等价于 a f(x)-x令 g(x)= f(x)-x)(xf当-1 x1 时， g(x)=1+t-3x，显然 g(x)min=g(1)=t-2当 1g(1)=t-2当 t x3 时， g(x)=x-t-1， g(x)min=g(1)=t-2 当 x1，3时， g(x)min= t-2又 t1，2， g(x)min-1，即 a-1综上， 的取值范围是 a-1 10 分
