1、概率论第六章习题解答1、在总体 中随机抽取一容量为 36 的样本，求样本均值 落在 50.8 与 53.8 之2(5,6.3)N X间的概率。解 因为 ，所以2(,.)50.8253.8250.83.63.6XPXP1.7.()()(1)(.4)095482902、在总体 中随机抽取一容量为 5 的样本 ， ， ， ， ，(2,)N1X234X5（1）求样本均值与总体均值之差的绝对值大于 1 的概率。（2）求概率 ，12345max(,)PX12345min(,)10P解 （1）总体均值为 ， ，样本均值51,)5iiXN:所求概率为|12|2|PXP1X145451()()2.10.86.2
2、8（2） 12345 2345max(,)1max(,)1PXPX12345,X51iiP5112ii.5(.)5(0.93)3（3） 12345min,X123451min(,)10PX450,X51ii51(0)iiP5120()iiXP51()i51()i50.84302.83、求总体 的容量分别为 10,15 的两个独立样本均值差的绝对值不超过 0.3 的概率。(2,)N解 设容量为 10 的样本均值为 ，样本容量为 15 的样本均值为 ，XY则 ， ，3(20,)1X:3(20,)15Y:31()(0,)(0,)152YN:|.|.PP.33X00.1122Y.3().32PX1(0
3、)0.2.2(4)(68).37.64、 （1）设 样本是来自总体 ，126,X 0,1N，23456()()YX试确定常数 C，使 服从 分布。Y（2）设 来自总体 样本， ，试确定常数 C 使125,X (0,1)N1212345()CXY服从 分布。Yt（3）已知 ，求()tn:2(,)Fn:解 （1）因为 是来自总体 的样本，126,X (0,1)N由 知 ）()iiN 222 21( ,)nnX 故 ， ，1230,):456(,3):且相互独立，因此，123(,1)X456(0,1)3N且两者相互独立，由 是来自总体 的样本，则统计量221,nX ,22() :由 分布的定义知22
4、213456()()()XX:即 ，所以 。2()Y:1C（2）因为设 是来自总体 的样本 ，125, (0,1)N12(0,)XN:即有 ，(0,1)X:又有 223453且 ， 相互独立，于是由 分布的定义知122345Xt12122 12345345(3)(Xt:因此所求常数为 。2C（3） 因为 ，故 可写成 的形式，()Xtn:ZYn其中 ， ，且 ， 相互独立，按 分布的定义知(0,1)ZN2()YF。2Fn:5、 （1）已知某种能力测试的得分服从正态分布 ，随机地取 10 个人2(,)N参加这一测试，求他们的联合概率密度，并求这 10 个人得分的平均值小于 的概率。（2）在（1）
5、中设 ， ，若得分超过 70 就能得奖，求至少有一人得奖625的概率。解 设 表示参加测试的 个人的得分（ ） ，则 ，iXi1,20i 2(,)iXN:， ，2()1()xfxe0x由于 相互独立，所以它们的联合的联合分布密度为1210,2()1012(,)ixXifxe 102()ixe又 ，01ii1010()()i iiiEXE210102()()i iiiDD故 ，则2(,)10XN:(0).5P（2） 因为 ，若一人得分超过 70 就能得奖，则一人得奖的概率为(62,5)iX:70170i i621(.6)0.9452.85iP则 10 个人得奖可以看作是一个二项分布： ，设 A
6、表示没有人得奖，则(,0548b00101()(.548)(.92).569PAC.6.3即至少有一得奖的概率为 0.4308。6、设总体 ， 是来自总体的样本。(1,)Xbp:12,nX（1）求 的分布律；2n（2）求 的分布律；1nii（3）求 ， ，()EXD2()ES解 （1）因为 相互独立，且有 ， ，12,n (1,)iXbp:,2in即 具有分布律 ， ，i 1()iixxiPp0i因此 分布律为 （各个样本的分布律的乘积）12(,)nX11211,()iinnxxnii ixXxPXp11()nni ixxp（2）因为 相互独立，且有 ，故 ，12,n ,ib:1(,)niiX
7、bp:其分布律为1(1)nknkiniPXCp7、设总体 ， 是来自 的样本，求 ， ， 。2():1210,X ()EXD2()S解 因为 ，所以 ， n2()iEn2()i n1,0i1010()i iiiEX101022()()5i iiinDEX10102 22 2()()()()99i ii iESXEX因为 222)iiiDn()5所以 10222)0(9iESnn22()5189n8、总体 ， 是来自 的样本，2(,)XN:1210,X X（1）写出 的联合分布密度；120（2）写出 的概率密度。解 （1） 联合概率密度1210,X2()1,210()xifxe 102()25()ix（2）因为 ， ，()EX10D所以 。22()5()()2xxXfxee一般地 ， 。(,)N: 2()1(2xnXfx9、设在总体 中抽取一容量为 16 的样本，这里 ， 均为未知。2,X 2（1）求 ；其中 为样本方差。 2.041SP2S（2） 。2()D解 （1）设 为总体的一个样本，则由教材 P143 定理二知1216,X2()Snn:从而 （n-115）22.04151.04PP23.65S10.9（查表， ， ，得 ）5n2(1)0.n0.1（2）由于 ，故21S:（因为 ）2()(1)nDn2()Dn24(1)()S即 422)()1nD10 题和 11 题略去
