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第六章 弯曲应力(习题解答).doc

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1、216-3、图示矩形截面梁受集中力作用,试计算 1-1 横截面上 a、b、c、d 四点的正应力。解:(1)外力分析,判变形。荷载在纵向对称面内,与轴线垂直,梁发生平面弯曲。中性轴 z 轴过形心C 与载荷垂直,沿水平方向。(2)内力分析,弯矩图如图(b)所示,1-1 横截面的弯矩为:15230(MkNm)(3)应力分析,梁上边有弯矩图,上侧纤维受拉。1-1 横截面上的 a 点处于拉伸区,正应力为正;c 点处于中性层上,正应力为零;b、d 两点处于压缩区,正应力为负。3111max 211.0.8.6aazzzMyyIIWPM.baP0c3101(0.15.0)7.41.8.2ddzMyI PaM

2、a37.5MkNm)V图(a (c)b0-ce(d)102+ql /8kNmf2z+1b18035kNac2aBqAlz2题 6-3 图 题 6-5 图6-5、两根矩形截面简支木梁受均布荷载 q 作用,如图所示。梁的横截面有两种情况,一是如图(b) 所示是整体,另一种情况如图(c)所示是由两根方木叠合而成(二方木间不加任何联系且不考虑摩擦) 。若已知第一种情况整体时梁的最大正应力为 10MPa,试计算第二种情况时梁中的最大正应力,并分别画出危险截面上正应力沿高度的分布规律图示。解:(1)外力分析,判变形。荷载在纵向对称面内,与轴线垂直,梁发生平面弯曲。第一种情况中性层为过轴线的水平纵向面,中性

3、轴 z 轴过整体形心 C 与载荷垂直,沿水平方向。而第二种情况,两根木梁以各自的水平纵向面为中性层发生弯曲,两根中性轴为与荷载垂直的水平形心主轴。如图所示。(2)内力分析,判危险面:弯矩图如图(b)所示,跨中截面为危险面。(3)应力分析,判危险点:对于第一种情况,横截面为一个整体,跨中截面的上下边缘点正应力强度的危险点。而第二种情况,上下两块有各自的中性轴,因此,两根梁跨中的上下边缘均为正应力强度的危险点。第一种情况: 1maxaxmaxaxax23310()426zMMW P22第二种情况: 2maxaxmaxax23206zMMWP6-6、试计算图示矩形截面简支梁的 1-1 截面上 a、b

4、、c 三点的剪应力。解:(1)外力分析,判变形。荷载在纵向对称面内,与轴线垂直,梁发生平面弯曲。中性轴 z 轴过形心C 与载荷垂直,沿水平方向。(2)内力分析,剪力图如图(b)所示,1-1 横截面的剪力为: 13.2(VkN)(3)应力分析, 1-1 横截面上的 a 点既有正应力,也有剪应力; c 点处于中性层上,剪应力最大;b 为边缘点,剪应力为零。3*1, 3.210.408(.0).28116zaaVSIb PaM33.0.75208cAPaMb +-32106kNz0.8aED83210CAB(a)3.2+-48VkN)bVkNbca40ykN1016z85B(a题 6-6 图 题 6

5、-7 图6-7、图示外伸梁,截面为工字钢 28a。试求横截面上的最大剪应力。解:(1)外力分析,判变形。荷载在纵向对称面内,与轴线垂直,梁发生平面弯曲。中性轴 z 轴过形心C 与载荷垂直,沿水平方向。(2)内力分析,判危险面。剪力图如图(b)所示,危险面在 AC 段。max160(VkN)(3)应力分析, AC 段中性层上各点剪应力最大。查表工字钢 NO.28at 得: *24.,8.5xzIcbdS3,max 2, 16076.5.(.)zzVIIb 半 半 PaM236-8、图 a、b 所示矩形截面梁受均布荷载作用,若图中虚线所示纵向面和横向面从梁中截出一部分,如图c 所示。试求在纵向面

6、abcd 上内力素组成的合力 ,并说明它与什么力相平衡。dAdxxb()l(c)cyz feah/2Bq题 6-8 图解:(1)外力分析,判变形。荷载在纵向对称面内,与轴线垂直,梁发生平面弯曲。中性轴 z 轴过形心C 与载荷垂直,沿水平方向。(2)内力分析。剪力图如图(b)所示。(3)应力分析。 Abcd 纵向面为中性层的一部分,欲求其上内力,必先求出横截面的 cd 线的各点剪应力,再由剪应力双生定理求出纵向面的 cd 线各点的剪应力,然后再积分求纵向面上剪应力的组成的合力 V。3224x xqlxlVAbhbh 取如图微面积 bdx,微面积上的剪力为 ,积分求 V324xxqlxdAbdh

7、200324xxxAqlVdbblh6-9 外伸梁 ACD 的荷载、截面形状和尺寸如图所示,试绘制出梁的剪力图和弯矩图,并计算梁内横截面上的最大正应力和最大剪应力。 20y(b)18kN/mDz153kN6+MkNm)(dcV87-2B(a)C题 6-9 图解: (1)外力分析,荷载与轴线垂直,发生弯曲变形。荷载在纵向对称面内,与轴线垂直,梁发生平面弯曲。中性轴 z 轴过形心 C 与载荷垂直,沿水平方向。求截面惯性矩:24324541202(18)03.9610zI m* 4(208)20()2.785zS 3(2)内力分析,判危险面。弯矩图、剪力图如图(b)所示。,maxmax max8 6

8、CBCVMM - +kNkNkN因为,截面不关于中性轴对称,具有最大正负弯矩的截面都是正应力强度的危险面,即 B、C 两截面均为正是正应力强度的危险面。C 的右截面是剪应力强度的危险面。(3)应力分析,求最大正应力和最大剪应力B 截面具有最大正弯矩,上压下拉;C 截面具有最大负弯矩,上拉下压,故 C 截面的上边缘具有最大的拉应力;最大的压应力可能出现在 B 截面的86BM- +kNk上边缘或 C 截面的下边缘。最大剪应力出现在 C 的右截面的中性轴上。3,maxax5,aa:810(.28)96zCzyI 上上截 面 Pa23.78M1.3,maxax5:610(.28)9CBzMyI 上截

9、面 Pa7.4故, , 。,ax2.78Pmax.M*345102.1096zCVSIb Pa6-10 图示矩形截面悬臂梁,其横截面尺寸为 b、h,梁长为 l。(1)试证明在离自由端 x 远的横截面上,切向内力元素 dA 的合力等于横截面上的剪力,而法向内力元素 dA 的合力偶之矩等于该截面的弯矩。(2)如果沿梁的中性层切出梁的下半部分,问在中性层上的剪应力 沿梁长度的变化规律如何?该中性层上总剪力 V 的水平力有多大?与什么力平衡。解:(1)在离自由端 x 远的横截面上,距中性轴 y 远的点的应力, *224xzx xy zhySVhbybI I xyzMI故, /2 /22 3/ 3/24

10、488612h hx xyAz zhx x xz yhVyhdbbdbdyI IVV /2 /1zMMbyAIl题 -0(a)/ dAy(2)求距离自由端 x 远的横截面上中性轴上点的剪应力 x25。根据剪应力互等定律知中性层上距离自由端 x 远的点32xVqbh 32xqbh故,该中性层上总剪力 V 的水平力: 2 20344l xlAqdbxhh该剪力与 A 截面的下半部分法向内力元素 dA 的合力平衡。 (轴力)6-12、铸铁梁的荷载及横截面尺寸旭图所示。材料的容许拉应力 ,容许压应力40tMPa。试校核梁的正应力强度。已知横截面形心距截面下边缘 157.5mm。10cMPa+VkN)(

11、d520-Mm1c3/mBkNEDy(b)C27.530z题 6-12 图解: (1)外力分析,荷载与轴线垂直,发生弯曲变形。荷载在纵向对称面内,与轴线垂直,梁发生平面弯曲。中性轴 z 轴过形心 C 与载荷垂直,沿水平方向。求截面惯性矩: 3245402(7.51)031. 6.013zI m求支反力()013BDBDMYkNF(2)内力分析,判危险面。弯矩图、剪力图如图(b)所示。, 。 m)k(0maxBax10(E)(3)应力分析,判危险点:B 截面具有最大负弯矩,上拉下压, , 上下边缘点都是max,ax,BB4010t cMPa缘点都是正应力强度的危险点。(4)正应力强度校核:6ma

12、xax6 6axax62580.19375107.3 3.45.428.5B tzB czqMyI qI 下上 kN/m故,梁的容许均布荷载集度 min(3.,5)3.4qk/题 6-13 图276-14 图示梁由两根槽钢组成。钢的容许应力 ,试选择梁的槽钢型号。160MPa,(d)kNm14+(b)3AB42/5cV.-zyD题 6解: (1)外力分析,荷载与轴线垂直,发生弯曲变形。荷载在纵向对称面内,与轴线垂直,梁发生平面弯曲。中性轴 z 轴过形心 C 与载荷垂直,沿水平方向。(2)内力分析,判危险面。弯矩图如图(c) 、(d)所示,正应力强度的危险面是跨中横截面,剪应力强度的危险面靠近支

13、座。 max14,56DMVkNk(3)应力分析,判危险点:由于截面关于中性轴 z 对称,故 D 危险面的上下边缘点是正应力强度危险点, A 的右截面 、 B 的左截面的中性轴上各点为剪应力强度危险点。 (4)由正应力强度条件,选择槽钢型号3max 33max,a 61402.7125056.22Dz zzMWWcm查表选择 NO.28b 工字钢的 略大于所需的。3zc(5)由剪应力强度条件,校核所选择工字钢型号查表得 No.28b 的:故:由两根槽钢组130,280xIh4cm高 腰 厚 d=9.5m,平 均 腿 厚 t=12.5m,腿 宽 b=84合梁的截面几何性质:*, 432516,(

14、)/2(/20.80.8.4/.04.95/2.510mzx hSb 4半 c)-t)(-1)34max,ax 8561. .22.zVSPaMaIb 半故采用两根 No.28b 槽钢。6-15 某一跨度为 l=8m 的简支梁,在跨度中央受集中力 P=80 作用。该梁如图示由两根 36a 工字钢铆接而成。28铆钉直径 d=20mm,铆钉间距 s=150mm。铆钉的容许剪应力 ,钢梁的容许正应力 。60MPa160MPa(1)试校核铆钉的强度。 (2)当 P 值及作用于梁跨中央的条件不变时,试确定简支梁的容许跨度l。VkN)(aA40-+8Bl/kN题 6152lMm(b)c(dz15C解: (

15、1)外力分析,荷载与轴线垂直,发生弯曲变形。荷载在纵向对称面内,与轴线垂直,梁发生平面弯曲。中性轴 z 轴过形心载荷垂直,上下对称水平方向。查表得 No.36a 的:76.480,1580,360xAIh24cmc高 m腿 宽 b=1两根工字钢组合梁的截面几何性质:8424*43, .27.()8.5901,0.36(76.81)1.02zxzhISA 2半 cmb=0.13m(2)内力分析,判危险面。弯矩图如图(c) 、(d)所示,正应力强度的危险面是跨中横截面,梁各横截面均为剪应力强度的危险面。 max20,40DMlVkNk(3)应力分析,判危险点:由于截面关于中性轴 z 对称,故跨中截

16、面的上下边缘点是正应力强度危险点,梁中性层上各点为剪应力强度危险点。 (4)按剪应力强度条件校核铆钉强度:1)求中性层上各点的剪应力 33max,ax 4401.7610.49878.59.zVSPaMPaIb 半2)求中性层上的剪力 V 中 6max.97.352.9l Nk中3)求每个铆钉的剪应力 铆29梁共有 ,由于铆钉间距 s 相等,切前后对称布置, 每个铆钉的剪力相等,设每个的剪力在其横80.15n个截面内均匀分布,故每个铆钉的名义剪应力 为:铆 32 24.7910Pa16.98MPa=60Pa8/5.4Vnd 中铆(5)由正应力强度条件确定简支梁的容许跨度l3 6max,max

17、4:201.601018.035m8.59zMly lI 跨 中跨 中跨 中 截 面 Pa=Pa故,简支梁的容许跨度l =18m6-17 图示起重机行走在由两根工字钢所组成的简支梁上,起重机的重量及其起吊重量如图示。设全部荷载平均分配在两根工字钢梁上,材料的容许应力 。试求当起重机行至梁跨中央时,170Ma,需要多大的工字钢才能满足强度要求。 (d)140M+-cV3520(b)DC5kNABz5kN04m1a01kN题 6-17 图解:(1)外力分析研究小车,可求得工字钢施与其约束反力,如图所示。研究工字梁,由作用力和反作用力定律知钢所受小车施与其的反作用力。荷载与梁轴垂直,梁将发生平面弯曲

18、。中性轴 z 过形心与载荷垂直,沿水平方向。(2)内力分析,判危险面,弯矩图、剪力图如图所示,。正应力强度的危险面是 D 截面,剪应力强度的危险面是 DB 杆段各横max140,35DMVkNk截面。(3)应力分析,判危险点。由于 D 截面关于中性轴 z 对称,故 D 危险面的上下边缘点是正应力强度危险点, DB 杆段各横截面的中性轴上各点为剪应力强度危险点。 (4)由正应力强度条件,选择工字钢型号。303max 3 361402.8251041.767z zMWWmcm查表选择 NO.25b 工字钢的 略大于所需的 。3zWc3.z(5)由剪应力强度条件,校核所选择工字钢型号。查表得 No.

19、25a 的 :21.zIS=0.,b=d10.3,max, 51/22 8.zzVPaMaIIbbS 半 半故采用两根 No.25b 工字钢。6-18 图示挡水墙由一排正方形截面的竖直木桩上钉木板所做成。木板的计算简图台图 b,木桩的计算简图如图 c。木材的容许弯曲正应力,容许剪应力。设计正方形木桩的边长和所需木板的厚度 d。题 6-18 图h=150板x(a)dh=150 4.9125630板 板 1.03276-+-MkNm)V(d)MkNmVq =25kN/mDC(cbyzA4.7SaS桩 桩x桩yzB解:(1)外力分析,判变形。荷载与板轴垂直,将发生平面弯曲。中性轴过形心与载荷垂直。(

20、2)内力分析,判危险面,弯矩图、剪力图如图所示。桩的正应力强度和剪应力强度的危险面是固定端:。maxmax5.12,1.025MV桩 桩 kNkN板的正应力强度的危险面是跨中截面,剪应力强度的危险面在靠近木桩的两端: axax.76,.板 板(3)应力分析,判危险点。由于截面关于中性轴对称,故危险面上离中性轴最远的边缘点是正应力强度危险点,剪力最大截面的中性轴各点是剪应力强度的危险点。 31(4)由强度条件,设计木桩的边长 a,及板的厚度 d.。36maxax 2, 36axmax 25.10810.1656 33902zMWaVA 桩桩 桩 桩桩 桩 m故,木桩的边长 a, (0.15.).

21、150.,=36maxax 2, 36axmax.7680.37108631.5.912zMWddVA 板板 板 板板 板 m故,木板的厚度 d, (0.7,.8)0.73.1=6-20 当荷载 P 直接作用在跨长为 的简支梁 AB 中截面时,梁内最大正应力超过 的 30%。为了消6lm除此过载现象。如图所示配置辅助梁 CD。试计算辅助梁所需的最小跨长 a。B3图(b)+题 -2图 P+m/(3a)b1.5CD解: (1)外力分析,荷载与轴线垂直,发生平面弯曲变形。(2)内力分析,判危险面。弯矩图如图(b) 、(b)所示,(b) 图中正应力强度的危险面是跨中横截面, max1.5CMP(b)

22、图中主梁正应力强度的危险面是 CD 段 。ax(3)2Da(3)应力分析,判危险点:危险截面的上下边缘点是正应力强度危险点。 (4)确定辅助梁梁的容许跨度a32,max,ax,max1.530%1.21.51.30. 3.()21.38522CzzDzzCzDzMPWaPamaW原 跨 中现 原现 ( -) .( 3-) ( -)6-26 在图示 20a 工字钢截面 c-c 的下边缘处,用应变仪测得标距 s=20mm 的纵向伸长量为 0.012mm。已知钢的弹性模量 E=210GPa。试求 P 的大小。 zN0.2aAB/5解:(1)求截面 c-c 的下边缘处的应变 40.261s(2)求截面

23、 c-c 的下边缘处的应力。梁的下边缘处于单向应力状态, 946021EPa(3)求 P 的大小 666,max6/ 21023759.7242371CzMNkW6-27 图示多跨梁材料的。拟采用矩形截面,且预设截面的高宽比为 3:2,试确定此梁的的高度 h 和宽度b。 +-8043615MkNm)72VkNyzhbq =/mEAB(a)CD题 6-27 图解:(1)外力分析33研究附属部分,可求得 D 链杆的约束反力为 80kN,如图所示。研究整个多跨梁,可求得 A、B 链杆的约束反力,如图所示。荷载与梁轴垂直,梁将发生平面弯曲。中性轴 z 过形心与载荷垂直,沿水平方向。(2)内力分析,判危

24、险面,弯矩图、剪力图如图所示,。正应力强度的危险面是 D 横截面,剪应力强度的危险面是 CDE 杆段maxmax80,40MVkNk各横截面。(3)应力分析,判危险点。由于 D 截面关于中性轴 z 对称,故 D 危险面的上下边缘点是正应力强度危险点, C DE 杆段各横截面的中性轴上各点为剪应力强度危险点。 (4)由正应力强度条件,确定横截面尺寸 3max 3622 3801.710.5.60.1zWbhm取 ,=83(5)由剪应力强度条件校核所选横截面尺寸 3maxax4012.692.2.8VPaMA 故, 1b取 ,h=83补充 1:矩形截面悬臂梁,受力如图所示。求固定端截面上 A、B

25、的正应力。B 点在中性轴上。3m0kNMkNm)Vz15(+-2051830AB解:(1)外力分析,判变形。所有荷载均在纵向对称面内,梁发生平面弯曲变形。(2)内力分析,判危险面。其剪力图和弯矩图如图所示。 max3固 -510(3)应力分析:B 点在中性轴上,正应力为零。固定端截面上 A 是压缩区的边缘点。34209.61.80.36BAzMPaMW固 -5补充 2:图示平顶凉台,顶面荷载 p=2000N/m2, 木梁的许可应力=10MPa,s=1m (1) 试:在次梁用料最经济的条件下。求主梁的位置 x 值。 (2) 若 h/b=2,选择矩形木次梁的尺寸。补充 1 图-Mmax=+y2图

26、s=m1BYA2kN/m(b)(c)al6板 次 梁 主 梁 柱柱次 梁 主 梁 柱墙 l=mV图解:(1)外力分析,判变形。木次梁计算简图如图,发生弯曲变形。求反力: xYxxYmAAB 6)3(120)3(62)(0)(F(2)内力分析,判危险面。其剪力图和弯矩图如图所示。危险面是 B 或 AB 间剪力为零的横截面。1)因为矩形木次梁的拉压强度相等,当次梁的最大正弯矩和最大负弯矩绝对值相等时,且木次梁在两危险面上的最大应力都达到许用应力值,则用料最经济。2)令,次梁上距 A 端 y 远的截面剪力为零。 6(3)()020AxVyYy3)求最大正、负弯矩 222max2 )6(36)3()(

27、6)3(16)3(12 xxxyxyYMA )(7.1)6(322axa mx35(3)应力分析,判危险点。由于危险面关于中性轴对称,故上下边缘为正应力为危险点。(4)强度运算,设计尺寸。mbbbbhxWMz 7,10467.10647.1603726322ma 取补充 3:一矩形截面木梁, ,矩形截面 ,已知许用正应力.qkN/mm2h,许用剪应力 ,试校核梁的正应力强度和剪应力强度。=10Pa=2MPa解:(1)求支反力 RA=1.611KN,RB=3.914KN(2)画内力图如图所示。危险面于 B 支座的左截面,VMAX=2.289KN,MMAX=1.015KNm。2.89kNm)0(+

28、-)15C634312kNm(+).906875kNm-/DB补充 2 图 补充 3 图(3)对梁进行正应力、剪应力强度校核 3maxax 23ax 21.057.049()6.3.89.()201zMPaMaWVA 故,梁的强度足够。补充 4:由工字钢制成的简支梁,受力如图所示,已知许用正应力 ,许用剪应力=170Pa,试选择工字钢的型号。=10MPa解:(1)求支反力 RA=118.125KN,RB=91.875KN(2)画内力图如图所示。危险面于 A、C 横截面,V MAX=118.125KN, 和距 C 截面 1.9061m 远的横截面MMAX=95.395KNm。(3)按梁的正应力强度选择工字钢的型号3633963 63maxax 102.51052.1079.57. mmWMz zz 选择 No.32a 工字钢:,dbZzSI 323Z 105.9,1046.7,2.9 (4) 校核所选择工字钢梁的正应力、剪应力强度 36maxa -93ax 25.10.8()4.8765105.210(7.4)()zzzMWVSIb Pa(Ma)(Pa)故, 所选择 No.32a 工字钢梁强度足够。

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