1、习题一1.1 利用图 解 法求下列线性规划问题 ：（ 1） max z x1 x23x1 x2 2s.t.x1 2x2 5x1, x2 0解 ： 根据条件 ， 可行域为下面图形中的阴影部分 ， ， 有图 形 可知 ， 原问题在 A 点取得最优值 ，最优值 z=5（ 2） min z x1 6x22x1 x2 1s.t.x1 x2 7x1, x2 0解 ： 图中阴影部分表示可行域 ， 由图可知原问题在点 A 处取得最优值 ， 最优值 z=-6.（ 3） max z 3x1 2x2s.t.x1 2x2 4x1,x2 0解 ： 如 图 所示 ， 可 行 域 为 图 中阴影 部 分 ， 易 得 原线性
2、 规 划问 题 为 无界解 。x1 x2 1（ 4） min z 2x1 5x2x1 2x2 6s.t.x1 x2 2x1, x2 0解 ： 由图可知该线性规划可行域为空 ， 则原问题无可行解 。1.2 对下 列 线性规划问题 ， 找出所有的基解 ， 基可行解 ， 并求出最优解和最优值 。（ 1） min z 5x1 2x2 3x3 6x4s.t.2x1 x2 x3 2x4 3x1, x2, x3, x4 0x1 2x2 3x3 4x4 7解 ： 易知 x1的系数列向量 p1 ， x2 的系数列向量 p2 ， x3 的系数列向量 p3 ， 21 12 13x4 的系数列向量 p4 。 24 因
3、 为 p1,p2 线性无关 ， 故 有 2x1 x2 3x3 2x4x1 2x2 73x3 4x4 ， 令非基 变 量 为 x3 x4 0 ， 得x 11 1x2 313 ， 所以得到一个基解 x(1) ( , ,0,0) 是非基可行解 ；3 31 11 因为 p1,p3 线性无关 ， 可得基解 x ( ,0, ,0) ， z2 ；5 5 52 11(2) 43 因为 p1,p4 线性无关 ， 可得基解 x ( ,0,0, ) ， 是非基可行解 ；3 6111(3) 因为 p2 ,p3线性无关 ， 可得基解 x (0,2,1,0) ， z4 1；(4) 因为 p2,p4 线性相关 ， x2 ,
4、 x4 不能构成基变量 ； 因为 p3,p4 线性无关 ， 可得基解 x (0,0,1,1) ， z6 3；(6)所以 x(2) , x(4), x(6) 是原问题的基可行解 ， x(6) 是最优解 ， 最优值是 z 3 。（ 2） max z x1 x2 2x3 x4 x5x1 x2 x3 x4 1s.t.x1 2x2 x5 4xi 0,i 1,2,3,4,5解 ： 易 知 x1 的 系数列 向 量 p1 ， x2 的 系 数列 向 量 p2 ， x3 的 系 数列向 量 111 201 ， x 的系数列向量 p01p3 4 4 ， x 的系数列向量 p0 5 5 。1 因 为 p1,p2
5、线 性 无关 ， 故 有 x1 2x2 4x5x1 x2 1x3 x4 ， 令 非 基 变 量 为 x3 x4 x5 0 ， 得x 5 1x2 3 23 ， 所以得到一个基解 x(1) ( , ,0,0,0)， 是非基可行解 ；3 32 5 因为 p1,p3 线性无关 ， 可得基解 x (4,0,5,0,0) ， 是非基可行解 ；(2) 因为 p1,p4 线性无关 ， 可得基解 x (4,0,0,5,0) ， 是非基可行解 ；(3) 因为 p1,p5 线性无关 ， 可得基解 x (1,0,0,0,5) ， z4 4；(4) 因为 p2 ,p3线性相关 ， 得基解 x (0,2,1.0,0)，
6、是非基可行解 ；(5) 因为 p2,p4 线性无关 ， 可得基解 x (0,2,0,1,0) ， 是非基可行解 ；(6) 因为 p2 ,p5 线性无关 ， 可得基解 x (0,1,0,0,2) ， z7 1；(7) 因为 p3,p4 线性相关 ， x3, x4 不能构成基变量 ； 因为 p3,p5 线性无关 ， 可得基解 x (0,0,1,0,4) ， z9 6 ；(9) 因为 p4 ,p5 线性无关 ， 可得基解 x (0,0,0,1,4) ， z10 3；(10)所以原线性规划的基可行解是 x(4) , x(7), x(9) , x(10) ， 最优解是 x(7) ， 最优值是 z 1。1
7、.3 用单纯 形 法求解下列线性规划问题 ；（ 1） max z 2x1 3x2x1 3x2 5s.t.x1 x2 2x1, x2 0解 ： 引入松弛变量 x3 ， 剩余变量 x4 和人工变量 x5 ， 把原问题化为规范式max z 2x1 3x2 Mx5s.t.x1 x2 x4 x5 2， 其中 M 无 限大 ，xi 0,i 1,2.5构造初始单纯形表并计算如下 ：x1 3x2 x3 5以 x2 作为换入基 ， x3 作为换成基 ， 计算得以 x1为换入基 ， x5 作为换出基有以 x4 换入 ， x2 换出有x1 x2 x3 x4 x52+M 3+M 0 -M 0x3 1 3 1 0 0
8、5x5 1 1 0 -1 1 2x1 x2 x3 x4 x51+ 2 M30 -1- M3-M 0x2 131 130 0 53x5 230 13-1 1 13x1 x2 x3 x4 x50 0 1232 3 M 2 -5.5x2 0 1 1212 121.5x1 1 0 12 32320.5根据单纯形表可知 ， 原问题的最优解为 x* (5,0,0,3) ， 最优值为 z* 10（ 2） max z x1 x2 2x33x1 x2 x3 5s.t.x1 4x2 x3 7x1,x2, x3 0解 ： 引入松弛变量 x4 ， 剩余变量 x5 和人工变量 x6 ， 把原问题规范化为max z x1
9、 x2 2x3 Mx63x1 x2 x3 x4 5s.t.x1 4x2 x3 x5 x6 7xi 0,i 1,2.6以 x1作为换入基 ， x4 作为换出基有x1 x2 x3 x4 x50 -3 -2 0 3M -10x4 0 2 1 1 -1 3x1 1 3 1 0 0 5x1 x2 x3 x4 x5 x61+M 1-4M -2+M 0 -M 0x4 3 1 -1 1 0 0 5x6 1 -4 1 0 -1 1 7x1 x2 x3 x4 x5 x6以 x3 为换入变量 ， x6 为换出变量 ， 得所以原问题最优解为 x* (3,0,4)， 最优值为 z* 5。（ 3） min z 2x1 3
10、x2 x3x1 4x2 2x3 8s.t.3x1 2x2 6x1, x2, x3 0解 ： 引入剩余变量 x4 , x5 和人工变量 x6 , x7 ,利 用 两阶段法得到辅助线性规划max w x6 x71 2 3max z 2x 3x xs.t.3x1 2x2 x5 x7 6xi 0,i 1,2.7构造初始单纯形表 ， 并计算x1 4x2 2x3 x4 x6 80 2 13M3 34M 53 31M3-M 0x1 1 13 -13130 0 53x6 0 1334313-1 1 163x1 x2 x3 x4 x5 x60 19 4M 4 0 112 5454M4x1 1 560 14- 1
11、33x3 0 1341 14 -34344以 x2 为换入变量 ， x6 为换出变量 ， 得以 x1为换入变量 ， x7 为换出变量 ， 得从单纯行表中可知 ， 原问题有无限多个最优解 ， 其中一个 为 x* (0.8,1.8,0) ， 最优值为z* 7 。（ 4） max z 10x1 15x2 12x3x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7z -2 -3 -1 0 0 0 0w 4 6 2 -1 -1 0 0x6 1 4 2 -1 0 1 0 8x7 3 2 0 0 -1 0 1 6x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7z 540 12 340 340w 520 -1 12-1 320
12、x2 141 12 -140 140 2x7 520 -1 12-1 121 2x1 x2 x3 x4 x5z 0 0 0 12 12x2 0 1 0.6 -0.3 0.1 1.8x1 1 0 -0.4 0.2 -0.4 0.8x2x1 x2 x3 55x 6x 15x 155x1 3x2 x3 9s.t. 0, j1,2,3j1 2 3解 ： 引入松弛变量 x4,x5 ， 剩余变量 x6, ， 人工变量 x7 ， 将原问题化为规范式max z 10x1 15x2 12x3 Mx75x1 3x2 x3 x4 9x2x1 x2 x3 x6 x7 55x 6x 15x x 15s.t.0, j1,
13、2,.,7j1 2 3 5构造初始单纯形表并计算得以 x1为换入变量 ， x4 为换出变量 ， 得以 x1为换入变量 ， x4 为换出变量x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7z 10+2M 15+M 12+M 0 0 -M 0x4 5 3 1 1 0 0 0 9x5 -5 6 15 0 1 0 0 15x7 2 1 1 0 0 -1 1 5x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7进一步计算知道 ， x7 0 ， 所以原问题没有可行解 。1.4 设目标函数极大 化 的线性规 划 问题的单 纯 形表如下 ， 表中无人 工 变量 ， 当 待 定常数a1,a2 ,b1,c1,c2 为何 值 时 ，
14、 表中 的 解 ： （ 1） 为 唯 一 最 优解 ， （ 2） 为多 重 解 ， （ 3） 有 无 界 解 ，（ 4） 为退 化 解 。解 ： 当 b1 0,c1,c2 0 ， 为唯一最优解 ； 当 b1 0,c1 0,c2 0或 c1 0,c2 0， 为多重解 ； 当 b1 0,a2 0,c1 0,c2 0， 具有无界解 ； b1 0,c1 0或 a2 0,c2 0 ， 为退化的可行解 。1.5 某 商店 要制定某 种 商品第二 季 度的计划 ， 已知该商 店 仓库容纳 此 种商品的 容 量不超过600 件 ， 3 月 底已存货 200 件 ， 以后每月初进货一次 。 假定各月份此种商品买
15、进售出的单价如下 ， 问各月进货 、 售货各多少件才能使利润最大 ？ 假设进货时受到仓库容量的限制 ， 售货z 0 9M5 103M5 22M5 0 -M 0x1 1 0.6 0.2 0.2 0 0 0 1.8x5 0 9 16 1 1 0 0 24x7 0 -0.2 0.6 -0.4 0 -1 1 1.4x1 x2 x3 x4 x5 x6c1 0 c2 -9 0 0 z0x2 a1 1 a2 -1 0 0 7x5 -1 0 -5 0 1 0 3x6 4 0 -2 1 0 1 b1时受到进货量的限制 ， 不考虑货物存放在仓库的耗损与保管费用 。解 ： 设 xi 表示每个月进货量 ， yi 表示
16、相应月份售货量 ， 其中 i 1,2,3， 则有数学模型 ：max z 18y1 18y2 19y3 17x1 16.5x2 17x3x1 600200x y x y x y 200x1 y1 x2 y2 200 1 1 2 2 3s.t.x1 y1 200xi , yi 0,i 1,2,3x y x y x 600200 1 1 2x y x 6002001 1 2 2 3 3经计算 ， 当 x1 400, y1 600, x2 500, y2 600, x3 600, y3 600 时 ， 即四 月 份进货400 件 ， 售 货 600 件 ， 五月份进货 500 件 ， 售 货 600
17、件 ， 六 月 份进货 600 件售货 600 件时 ，最大利润为 6100 元 。1.6 设市场 上 可买到 n 种 不同的食品 ， 第 j 种食品 的 单位售价为 c j ， 每种食品含有 m 种基本营养成分 ， 第 j 种食品 每 一个单位含第 i 种营养 成 分为 aij ， 每人每天对第 i 种 营养成分的需要量不少于 bi ， 试确定在保持营养成分要求条件下的最经济食谱 。解 ： 设没人每天需要第 j 种食品的数量为 x j（ j=1,2,.,n） ， 建立 数 学模型为 ：nmin z c jx jj1月份 买进单价 /(元 /件 ) 售出单价 /(元 /件 )4 17 185
18、16.5 186 17 19x j 0, j1,2,.naijx j bi ,i 1,2,.,ms.t. j1 n1.7 A,B 两 种产品都需要经过前 、 后两道工序加工 ， 每一个单位产品 A 需要前道工序 1h 和后道工序 2h， 每一个位产品 B 需 要 前道工序 2h 和后道工序 3h.可利用的 前 道工序有 11h，后道工序有 17h。 没加 工 一个单位产品 B 的同 时 ， 会产生 2 个单位的副产品 C， 并 且 不需要任何费用 ， 产品 C 一部分可出售盈利 ， 其余的只能加以销毁 。 出售单位产品 A,B,C 的利润分别为 3 元 ， 7 元 ， 2 元 ， 每单位产品
19、C 的销 毁 费为 1 元 。 预测表明 ， 产品 C 最 多 只能出售 13 个单 位 。 试建立总利润最大的生产计划数学模型 。解 ： 设 x1,x2 分别为产品 A,B 的产量 ， x3 为副产品 C 的 销售量 ， x4 为副产品 C 的 销毁量 ，于是有 x3 x4 2x2 ， z 为 总利润 ， 则数学模型如下 ：max z 3x1 7x2 2x3 x4x1 2x2 11x3 13s.t.2x2 x3 x4 0x1,x2, x3, x4 02x 3x 171 2习题二2.1 写出下 列 线性规划问题的对偶问题 ：（ 1） min z 10x1 5x2 x3x1 2x2 4x3 10
20、x , x1 x2 7 1 3 2 1 2 3x 6x 5x 2s.t. 0, x 自由变量解 ： 原问题的对偶问题为 ：max w 10y1 2y2 y3 7y4y1 y2 104y1 5y2 1y1 0, y2 , y3 , y4 0（ 2） max z x1 2x2 3x3 4x 4x1 5x2 x3 2x4 62y 6y y y 5s.t. 1 2 3 4x , x ,x 0, x 自 由变量4x1 2x2 3x3 x4 5 1 2 32x x x 5x 13s.t.41 2 3 4解 ： 原问题的对偶问题是min w 6y1 13y2 5y3y1 2y2 4y3 12y1 5y2 y
21、3 4s.t.2y1 y2 3y3 3y1无约 束 , y2 0, y3 05y y 2y 21 2 32.2 证明下 列 线性规划为题为最优解min z x1 2x2 2x3 s.t.x , x1 x2 7 1 2 1 2 3x 2x 3x 22x1 x2 2x3 3 0, x 自由变量3证明 ： 原问题的对偶问题为max w 3y1 2y22y1 y2 12y1 3y2 2y2 0, y1无约束易知该对偶问题无可行解 ， 由定理知则原问题无最优解 。 1 2y 2y 2s.t.2.3 对线 性 规划问题min z 4x1 6x2 18x3x1 3x3 3s.t.x2 2x3 5x1, x2
22、, x3 0（ 1） 写出该线性规划问题的对偶问题 ；（ 2） 已知对偶为题的最优解为 （ 2,6） ， 试 用互补松弛定理求其原问题的最优解 。解 ： （ 1） 原 问题的对偶问题为 ：max w 3y1 5y23y1 2y2 18y1, y2 0（ 2） 根据互不松弛定理有(yAc)x 0 则yy1 4s.t. 621(3,5)(2,6) 023(x1, x2, x3)01 0 3有 1 3x2 2x3 5又因为 yb cx 有x 3x 626 (3,5) 18 4 (x , x , x3)1 2即 ： 2x1 3x2 9x3 18 x1 0联立 解 得 x 3 即原问 题 的最优解为 （
23、 0,3,1）x3 1 22.4 对线 性 规划问题max z 2x1 x2 5x3 6x42x1 x3 x4 8s.t.2x1 3x2 x3 2x4 12x1, x2, x3, x4 0（ 1） 写出该线性规划问题的对偶问题 ；（ 2） 已知原问题的最优解为 (0,0,4,4) ， 试用互补松弛定理求对偶问题的最优解 。解 ： （ 1） 原 问题的对偶问题为 ：min z 8y1 12y22y1 2y2 2y1 2y2 6s.t.y1 y2 5y1 0, y2无约束3y 12(2)利用互补松弛定理有 (yAc)x 00 有(2,1,5,6) 0440 2 3 1 22 0 1 1(y1, y
24、2 ) 有 y1 2y2 6 y21 1 2y y 5 即 1y 4所以对偶问题的最优解为 （ 4,1）2.5 用对 偶 单纯形法求解下列线性规划问题 ：（ 1） min z 2x1 4x2 5x3x1 x2 3x3 1s.t.- x1 x2 6x1, x2, x3 0解 ： 利用对偶单纯形 ， 添加松弛变量 x4 , x5 ， 原问题化为规范式1 2 3max z 2x 4x 5xs.t.x1 x2 x5 6x1, x2, x3, x4, x5 0x1 x2 3x3 x4 1则有对偶单纯形表以 x2 为换入量 ， x5 为换出量有x1 x2 x3 x4 x5-2 -4 -5 0 0x4 -1
25、 -1 3 1 0 -1x5 1 -1 0 0 1 -6x1 x2 x3 x4 x5-6 0 -5 0 -4x4 -2 0 3 1 -1 5x2 -1 1 0 0 -1 6由表可知 。 原问题的最优解为 （ 0,6,0）（ 2） max z x1 x2 2x3x1 5x2 3x3 4x1 2x2 3x3 7x , x , x 0 1 2 32x x 6x 10s.t. 1 2 3解 ： 利用对偶单纯形 ， 添加松弛变量 x4 , x5, x6 ， 原问题化为规范式 ：1 2 3max z x x 2xx 0,i 1,2,3,4,5,6x1 2x2 3x3 x6 7 i- 2x x 6x x 1
26、0x1 5x2 3x3 x4 4s.t. 1 2 3 5 ， 则有单纯形表以 x3 为换入量 ， x5 换出得以 x2 为换入量 ， x4 为换出量有x1 x2 x3 x4 x5 x6-1 -1 -2 0 0 0x4 1 -5 3 1 0 0 4x5 -2 -1 -6 0 1 0 -10x6 1 -2 3 0 0 1 7x1 x2 x3 x4 x5 x6-1/3 -2/3 0 0 -1/3 0x4 0 -11/2 0 1 1/2 0 -1x3 1/3 1/6 1 0 -1/6 0 5/3x6 0 -5/2 0 0 1/2 1 2由表知原问题无最优解 。2.6 设有 线 性规划min z 2x1
27、 x2 x33x1 x2 x3 60x , x , x 0x1 x2 x3 20 1 2 3 1 2x x 2x 10s.t. 3求出最优解 ， 并进行以下分析（ 1） c2 在什么范围内变动而不影响最优解 ？（ 2） b3 从 20 变为 16， 求最优解 ；（ 3） x3 的系数变为 (1,3,1) ,， 其价值系数从 1 变为 -5， 试问最优解是否会发生变化 ？（ 4） 增加约束条件 2x1 x2 x5 31， 最优解有何变化 ？解 ： 引入松弛变量 x4 , x5,x6 ， 将原问题化为规范行 ：1 2 3max z 2x x xx 0,i 1,2.6x1 x2 x3 x6 20 i
28、 1 2x x 2x x 103x1 x2 x3 x4 60s.t. 3 5 ，x1 x2 x3 x4 x5 x6-1/3 0 0 2/3 -3/11 0x2 0 1 0 -2/11 -1/11 0 2/11x3 1/3 0 1 1/33 -5/33 0 54/33x6 0 0 0 -5/11 3/11 1 27/11x1 x2 x3 x4 x5 x6列单纯形表有以 x1为换入变量 ， x5 为换出变量有以 x2 为换入变量 ， x6 为换出变量有所以原问题的最优解为 （ 15,5,0,10,0,0）（ 1） 因为 x2 是基变量 ， 由书中 （ 2.6） 式有 max( 1 ) 1， min
29、( 3 , 1 ) 32 2 22 2 2177 3所以 1c 7 时 ， 最优解不变 ， 即 2 c 4 ， 所以当 4 c2 2时 ， 原问题最优3 3 32 2解不变 。2 -1 -1 0 0 0x4 3 1 1 1 0 0 60x5 1 -1 2 0 1 0 10x6 1 1 -1 0 0 1 20x1 x2 x3 x4 x5 x60 1 -5 0 -2 0x4 0 4 -5 1 -3 0 30x1 1 -1 2 0 1 0 10x6 0 2 -3 0 -1 1 10x1 x2 x3 x4 x5 x60 0 -7/2 0 -3/2 -1/2x4 0 0 1 1 -1 -2 10x1 1
30、 0 1/2 0 1/2 1/2 15x2 0 1 -3/2 0 -1/2 1/2 5（ 2） b B b 00 1/ 20 2 1 1 2 1/ 21/ 20 8 4 21/ 2 1所以 5 2 3b bb 15213 8 1810此时原问题的最优解为 （ 13,3,0,18,0,0）（ 3） 3 c3 cBB p3 1(2,11)00所以原问题的最优解变 。1/ 2 1/ 2 3 2 01/ 2 1/ 2121111 （ 4） 添加松弛变量 x7 ， 在原最终单纯形表中添加一行一列并计算有以 x3 为换入量 ， x7 为换出量有x1 x2 x3 x4 x5 x6 x70 0 -7/2 0
31、-3/2 -1/2x4 0 0 1 1 -1 -2 0 10x1 1 0 1/2 0 1/2 1/2 0 15x2 0 1 -3/2 0 -1/2 1/2 0 5x7 0 0 1 0 9 -3 2 -8x1 x2 x3 x4 x5 x6 x70 0 0 0 63/2 -12 13/2x4 0 0 0 1 -10 1 -2 18x1 1 0 0 0 -4 2 -1 19x2 0 1 0 0 13 -4 3 -7以 x6 为换入量 ， x3 为换出量有得最优解为 （ 41/3,11/3,0,46/3,0,8/3,0） ,最优值为 -71/32.7 某厂 生 产 A1,A2,A3三种产品 ， 需要
32、B1,B2 ,B3 三种设备加工 ， 需要单位各种产品所需要的设备台时 、 设备的现有加工能力及每件产品的预期利润如下表所示（ 1） 求获利最大的产品生产计划 ；（ 2） 每件产品 A3的利润增加到多大时 ， 才值得安排生产 ？ 如果每件产品 A3的利润增 加 到50/6， 求最 优 计划的变化 ；（ 3） 产品 A1 的利润在多大范围变化时原最优计划保持不变 ？（ 4） 如设备 B1的能力 为 10010， 确定保持最优基不变的 的变化范围 ；（ 5） 如有一种新产品 ， 加工一件需要设备 B1,B2 ,B3 的台时各为 1h,4h,3h 预期每件的利润为 8 元 ， 是 否值得安排生产 ？
33、台 /h A1 A2 A3 设备能力B1 1 1 1 100B2 10 4 5 600B3 2 2 6 300单位产品利润 10 6 4x3 0 0 1 0 9 -3 2 -8x1 x2 x3 x4 x5 x6 x70 0 -4 0 -9/2 0 -13/2x4 0 0 1/3 1 -7 0 1/3 46/3x1 1 0 -2/3 0 2 0 1/3 41/3x2 0 1 -4/3 0 1 0 1/3 11/3x6 0 0 -1/3 0 -3 1 -2/3 8/3a) 如合同规定该厂至少生产 10 件 产 品 A3， 试确定最优计划的变化 。解 ： 设计划生产产品 A1,A2 ,A3各 x1,
34、 x2 , x3 件 ， 则有max z 10x1 6x2 4x3x1 x2 x3 1002x1 2x2 6x3 300x , x , x 0 1 2 3（ 1） 构造单纯形表如下 ：10x 4x 5x 600s.t 1 2 3以 x1为换入量 ， x5为换出量有以 x2 为换入量 ， x4 为换出量有x1 x2 x3 x4 x5 x610 6 4 0 0 0x4 1 1 1 1 0 0 100x5 10 4 5 0 1 0 600x6 2 2 6 0 0 1 300x1 x2 x3 x4 x5 x60 2 -1 0 -1 0 -600x4 0 3/5 1/2 1 -1/10 0 40x1 1
35、 2/5 1/2 0 1/10 0 60x6 0 6/5 5 0 -1/5 1 180x1 x2 x3 x4 x5 x6得最优生产计划 ， 即 x* (100 / 3,200 / 3,0,0,0,100) 为最优解 ， 获利 2200/3 元（ 2） 由 于 x3 为 非 基 变 量 ， 则 只 有 0 才 值 得 生 产 ， 即c ,即 c 8/3,即 c 20/3 时 A 才值得生产 。 而当 c 50 / 6 20 / 3， 此 时最优3 3 3 3解发生变化 ， 根据计算 ， 当 c 50 / 6时 ， 5/ 3 0时 ， 此 时 将 x 作为换入变量 ， x 作3 3 6为换出变量
36、， 得此时生产最优计划为 （ 175/6,275/6,25,0,0,0）(3） 由于 x1的生产量为基变量 ， 则有 max 4 ， min 1/ 6 1/ 6 8/ 3 2 / 3, 5， 即 2 / 3 10 / 3c1 4,5时 ， 原最优生产计划保持不变 。 得 c1 6,15（ 4） 若矩阵Bp1,p2,p342 1 2110 0， 其逆矩阵 B 2 / 32 1 0 5/ 311/ 61/ 6 0， 为使最优基不发生0 10改变 ， 根 据 （ 2.7） 有 ， b 40,50， 2 / 3 2 max200 / 3b min100 / 3 , 100 5/ 3 1 1即 4,5时
37、 ， 最优基不发生改变 。0 0 -8/3 -10/3 -2/3 0 -2200/3x2 0 1 5/6 5/3 -1/6 0 200/3x1 1 0 1/6 -2/3 1/6 0 100/3x6 0 0 4 -2 0 1 100x1 x2 x3 x4 x5 x60 0 0 -5/2 -2/3 -5/12 -2325/3x2 0 1 0 25/12 -1/6 -5/24 275/6x1 1 0 0 -7/12 1/6 -1/24 175/6x3 0 0 1 -1/2 0 1/4 25（ 5） 经 计 算 0 1 1 1B1p7 ， c B1p (6,10,0)0 6 ，1 B 7 知 c c
38、B1P 86 2 0 ,则此时最优解发生变化 ， 且该产品值得生产 。7 7 B 7（ 6） 原最优解不满足新的约束条件 ， x3 10 ， 即 x3 10， 引入松弛变量 x7 ， 在原最终单纯形表中增加一行或一列有 ：将 x7 做为换出变量 ， x3 作为换入变量 ， 利用对偶单纯形有得到此时最优生产计划 x* (95/ 3,175/ 3,10,0,0,60)2.8 对 所 有 t 值 ， 讨论 以 下参数线性规划问题最优解的变化范围 ；x1 x2 x3 x4 x5 x6 x70 0 -8/3 -10/3 -2/3 0 0 -2200/3x2 0 1 5/6 5/3 -1/6 0 0 20
39、0/3x1 1 0 1/6 -2/3 1/6 0 0 100/3x6 0 0 4 -2 0 1 0 100x7 0 0 -1 0 0 0 1 -10x1 x2 x3 x4 x5 x6 x70 0 0 -10/3 -2/3 0 -8/3 -22120/ 3x2 0 1 0 5/3 -1/6 0 5/6 175/3x1 1 0 0 -2/3 1/6 0 1/6 95/3x6 0 0 0 -2 0 1 4 60x7 0 0 0 1 0 0 -1 10max z (72t)x1 (12t)x2 (10t)x3x1 x2 x3 20s.t.2x1 2x2 x3 30x1, x2, x3 0, t 0解
40、： 将上述问题转化为标准型有max z (72t)x 1 (12 t)x2 (10t)x3x1 x2 x3 x4 20s.t.2x1 2x2 x3 x5 30x1, x2, x3,x4, x5 0, t 0令 t=0， 用 单 纯法求解如下 ：将 t 的变化 直 接反应到最终的单纯形表中cj 7 12 10 0 0 CB XB b x1 x2 x3 x4 x50 x4 20 1 1 1 1 0 200 x5 30 2 2 1 0 1 15-z 0 7 12 10 0 00 x4 5 0 0 1/2 1 -1/2 1012 x2 15 1 1 1/2 0 1/2 30-z -180 -5 0 4
41、 0 -610 x3 10 0 0 1 2 -112 x2 10 1 1 0 -1 1-z -220 -5 0 0 -8 -2cj 7+2t 12+t 10-t 0 0 CB XB b x1 x2 x3 x4 x510-t x3 10 0 0 1 2 -1 512+t x2 10 1 1 0 -1 1T 开始增大 ， 当 t8/3 时 ， 首先出现 4 0， 故当 0 t 8 时 ， 得最优 解 （ 0， 10,， 10， 0）3目标函数的最优值为 max z 220(0 t 8) 。 t 8 为第一临界点3 3 0， x4 作为换 入 变量 ， 由 规则确 定 x3 为换出变量 ， 用单纯形
42、 法 进 行当 8 t 5时 ,3迭代 ：4由表可知 ， t 继续增大 ， 当 t5 时首 先 出现 1 0 ， 故当 t 5时 ， 得最优解 （ 0,15,0,5）38目标函数的最优值为 180+15t， t=5 为 第二临界点 。当 t5 时 ， 1 0 ， x1作为换入变量 ， 由 规则确定 x2 为换出变量 ， 用单纯形法进行迭代 ：由表知 当 t 继续增大时 ， 所有检验数都非正 ， 所以当 t5 时 ， 得最优解 （ 15， 0， 0， 5）目标函数的最优值为 105+30t2.9 考虑 下 列问题 ：max z 3x1 x2x1 x2 4s.t.2x1 x2 4x1, x2 0-
43、z -220 T-5 0 0 3t-8 -2-2tcj 7+2t 12+t 10-t 0 0 CB XB b x1 x2 x3 x4 x50 x4 5 0 0 1/2 1 -1/212+t x2 15 1 1 1/2 0 1/2 15-z -180-15t T-5 0 4-3t/2 0 -6-t/2cj 7+2t 12+t 10-t 0 0 CB XB b x1 x2 x3 x4 x50 x4 5 0 0 1/2 1 -1/27+2t x1 15 1 1 1/2 0 1/2-z -105-30t 0 5-t 13/2-2t 0 -7/2-t（ 1） 用单纯形方法求出最优解 ；（ 2） 将约束右端 b 改变为 t (t 0) ， 对 t 的所有值求出问题的最优解 。 4 4414 2 解 ： （ 1） 引 入松弛变量 x3, x4 ， 把原问题化为标准形max z 3x1 x2x1 x2 x3 4s.t.2x1 x2 x4 4， 建立初始单纯形表x1, x2, x3, x4 0以 x1为换入变量 ， x4 为换出变量 ， 有以 x2 为换入变量 ， x3 为换出变量有所以
