1、函数的最值与导数一、选择题1函数 yf(x)在区间 a，b 上的最大值是 M，最小值是 m，若 Mm，则 f(x)( )A等于 0 B大于 0C小于 0 D以上都有可能答案 A解析 M m，y f(x)是常数函数f(x) 0，故应选 A.2函数 f(x)2x 36x 218x 7( )A在 x1 处取得极大值 17，在 x3 处取得极小值47B在 x1 处取得极小值 17，在 x3 处取得极大值47C在 x1 处取得极小值17，在 x3 处取得极大值 47D以上都不对解析 f(x) 6x 212x 18，令 f(x) 0，解得 x11，x 23.当 x 变化时，f ( x)，f(x)的变化情况
2、如下表：x (， 1) 1 ( 1,3) 3 (3，)f(x) 0 0 f(x)极大值极小值当 x1 时，f( x)取得极大值，f (1)17；当 x3 时，f(x) 取得极小值，f (3)47.答案 A3设函数 f(x) xex，则( )A x1 为 f(x)的极大值点 B x1 为 f(x)的极小值点 C x1 为 f(x)的极大值点 D x1 为 f(x)的极小值点解析：选 D 求导得 f( x)e x xexe x(x1)，令 f( x)e x(x1)0，解得x1，易知 x1 是函数 f(x)的极小值点4函数 yx 3x 2x1 在区间2,1 上的最小值为( )A. B22227C1
3、D4答案 C解析 y3x 22x1(3x1)(x1)令 y0 解得 x 或 x 113当 x2 时，y 1；当 x 1 时，y2；当 x 时，y ；当 x1 时， y2.13 2227所以函数的最小值为1，故应选 C.5函数 y 在(0,1)上的最大值为( )x 1 xA. B12C0 D不存在答案 A解析 y 12x 121 x 12 1 x xx 1 x由 y0 得 x ，在 上 y0，在 上12 (0，12) (12，1)y0)在1 ，)上的最大值为 ，则 a 的值为_xx2 a 33答案 13解析 f(x) 令 f(x)0，解得 x 或 x (舍去)x2 a 2x2(x2 a)2 a
4、x2(x2 a)2 a a当 x 时，f(x)0；a a当 x 时，f(x) ， 0 得 x2 或 xln21 且 x0 时，e xx22ax1.分析 本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力解题思路是：(1)利用导数的符号判定函数的单调性，进而求出函数的极值 (2)将不等式转化构造函数，再利用函数的单调性证明解析 (1)解：由 f(x)e x2x2a，xR 知 f(x)e x 2，xR .令 f(x )0，得 xln2.于是当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x (，ln2) ln2 (ln2，)f(
5、x) 0 f(x)单调递减2(1ln2a) 单调递增 故 f(x)的单调递减区间是(，ln2)，单调递增区间是(ln2，)，f(x)在 xln2 处取得极小值，极小值为 f(ln2)e ln22ln2 2a2(1 ln2 a) (2)证明：设 g(x)e xx 22ax1，xR ，于是 g(x) ex2x2a，x R.由(1)知当 aln21 时，g(x)最小值为 g(ln2)2(1 ln2a)0.于是对任意 xR ，都有 g( x)0，所以 g(x)在 R 内单调递增于是当 aln2 1 时，对任意 x(0 ，)，都有 g(x)g(0)而 g(0)0，从而对任意 x(0，) ，g(x)0.即
6、 exx 22ax10，故 exx22ax1.15已知函数 f(x) ，x0,14x2 72 x(1)求 f(x)的单调区间和值域；(2)设 a1，函数 g(x)x 33a 2x2a，x0,1若对于任意 x10,1，总存在x00,1，使得 g(x0)f(x 1)成立，求 a 的取值范围解析 (1)对函数 f(x)求导，得f(x) 4x2 16x 7(2 x)2 (2x 1)(2x 7)(2 x)2令 f(x )0 解得 x 或 x .12 72当 x 变化时，f( x)，f( x)的变化情况如下表：x 0 (0， )12 12( ，1)121f(x) 0 f(x) 72 4 3所以，当 x(0
7、， )时，f(x)是减函数；12当 x 时，f(x )是增函数(12，1)当 x0,1时，f(x )的值域为4，3 (2)g(x) 3( x2a 2)因为 a1，当 x(0,1)时，g(x)0.因此当 x(0,1)时，g(x)为减函数，从而当 x0,1 时有 g(x) g(1)，g(0)又 g(1)12a3a 2，g(0) 2a，即 x0,1 时有 g(x)12a3a 2，2a 任给 x10,1，f(x 1)4， 3，存在 x00,1使得 g(x0)f(x 1)成立，则12a3a 2，2a 4，3 即Error!解式得 a1 或 a ；解式得 a .53 32又 a1，故 a 的取值范围为 1a .32
