2016届江苏省南通市启东市高三(上)期末数学试卷(解析版).doc-道客多多

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1、第 1 页（共 25 页）2015-2016 学年江苏省南通市启东市高三（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置1设集合 A=x|1x2，B=x|0x4，则 AB=_2某校春季高考对学生填报志愿情况进行调查，采用分层抽样的办法抽取样本，该校共有200 名学生报名参加春季高考，现抽取了一个容量为 50 的样本，已知样本中女生比男生多4 人，则该校参加春季高考的女生共有_名3如果复数 z= （i 为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，那么|z|=_4函数 f（x）=ln（x x2）的单调递减区间为_5如图是一个算法的流程图，则输出的

2、 k 的值是_6若将甲、乙、丙三个球随机放入编号为 1，2 两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则每个盒子中球数不小于其编号的概率是_7设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S36，S 520，则 a6 的最大值为_8若，（0，），cos（）= ，sin （）= ，则 cos（+）的值等于_9设向量 =（sin ，cos ）， =（sin ，cos ）（nN +），则（） =_10已知直线 l：x2y+m=0 上存在点 M 满足与两点 A（2，0），B（2，0）连线的斜率 kMA与 kMB 之积为 1，则实数 m 的取值范围是_第 2 页（共 25 页）11某工广生产

3、一种无盖冰激凌纸筒为圆柱形，现一客户定制该圆柱纸筒，并要求该圆柱纸筒的容积为 27cm3，设该圆柱纸筒的底面半径为 r，则工厂要求制作该圆柱纸筒的材料最省时，r 的值为_cm12已知等比数列a n，首项 a1=2，公比 q=3，a p+ap+1+ak=2178（kp，p，kN +），则p+k=_13设函数 f（x）= ，若函数 y=f（x） 2x+b 有两个零点，则参数 b 的取值范围是_14对任意实数 x1，y ，不等式 p + 恒成立，则实数 p 的最大值为_二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15已知函数 f（

4、x）=2cos 2x+ sin2x（1）求函数 f（x）的最小正周期；（2）在ABC 中，若 C 为锐角，f（A+B ）=0 ，AC=2 ，BC=3，求 AB 的长16如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，D 是边 BC 上异于 C 的一点，AD C 1D（1）求证：AD平面 BCC1B1；（2）如果点 E 是 B1C1 的中点，求证：平面 A1EB平面 ADC117在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： + =1（ab0）的离心率为，且右准线方程为 x=4（1）求椭圆的标准方程；（2）设 P（x 1，y 1），M （x 2，y 2）（y 2y 1）是椭圆 C 上的两个动点，点

5、 M 关于 x 轴的对称点为 N，如果直线 PM，PN 与 x 轴交于（m ，0）和（ n，0），问 mn 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由第 3 页（共 25 页）18如图，某景区有一座高 AD 为 1 千米的山，山顶 A 处可供游客观赏日出坡角ACD=30，在山脚有一条长为 10 千米的小路 BC，且 BC 与 CD 垂直，为方便游客，该景区拟在小路 BC 上找一点 M，建造两条直线型公路 BM 和 MA，其中公路 BM 每千米的造价为 30 万元，公路 MA 每千米的造价为 60 万元（1）设AMC=，求出造价 y 关于的函数关系式；（2）当 BM 长为多少米时，才能

6、使造价 y 最低？19已知 a0，且 a1，函数 f（x）=a x1，g（x）= x2+xlna（1）若 a1，证明函数 h（x）=f（x） g（x）在区间（0，+）上是单调增函数；（2）求函数 h（x）=f（x）g（x）在区间 1，1上的最大值；（3）若函数 F（x）的图象过原点，且 F（x）=g （x），当 ae 时，函数 F（x）过点A（1，m）的切线至少有 2 条，求实数 m 的值20已知等差数列a n的公差为 d，等比数列b n的公比为 q，且数列b n的前 n 项和为Sn（1）若 a1=b1=d=2，S 3a 1006+5b22016，求整数 q 的值；（2）若 Sn+12Sn=

7、2，试问数列b n中是否存在一点 bk，使得 bk 恰好可以表示为该数列中连续 p（pN，p2）项的和？请说明理由？（3）若 b1=ar，b 2=asa r，b 3=at（其中 tsr ，且（s r）是（tr）的约数），证明数列b n中每一项都是数列a n中的项选修 4-1：几何证明选讲21如图所示，PA，PB 分别切圆 O 于 A，B，过 AB 与 OP 的交点 M 作弦 CD，连结PC，求证：选修 4-2：矩阵与变换第 4 页（共 25 页）22在平面直角坐标系 xOy 中，设点 P（1，1）在矩阵对应的变换下得到点Q（3，7），求 M1选修 4-4：坐标系与参数方程 23在极坐标系

8、中，设直线 l 过点，且直线 l 与曲线C： =asin（a 0）有且只有一个公共点，求实数 a 的值选修 4-5：不等式选讲24求函数的最大值25学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有 2 人，会跳舞的有 5人，现从中选 2 人设为选出的人中即会唱歌又会跳舞的人数，且（1）求文娱队的队员人数；（2）求的分布列，并求其数学期望 E（） 26已知有穷数列a n共有 m 项（m 3，m N*），对于每个 i（i=1，2，3，m ）均有ai1，2，3，且首项 a1 与末项 am 不相等，同时任意相邻两项不相等记符合上述条件的所有数列a n的个数为 f（m）（1）写出

10、容量为 50 的样本，已知样本中女生比男生多4 人，则该校参加春季高考的女生共有 108 名【考点】分层抽样方法【分析】根据样本容量和女生比男生多 4 人，可得样本中女生数，再根据抽取的比例可得总体中的女生人数【解答】解：样本容量为 50，女生比男生多 4 人，样本中女生数为 27 人，又分层抽样的抽取比例为 = ，总体中女生数为 274=108 人故答案为：1083如果复数 z= （i 为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，那么|z|= 【考点】复数求模【分析】利用复数的运算法则及其实部与虚部互为相反数，解得 a，再利用复数模的计算公式即可得出【解答】解：复数 z= = = 的实部与虚部互为相

11、反数， + =0，解得 a=0z= 第 6 页（共 25 页）|z|= = 故答案为： 4函数 f（x）=ln（x x2）的单调递减区间为，1）【考点】复合函数的单调性【分析】令 t=xx20，求得函数的定义域， f（x）=g（t ） =lnt，本题即求函数函数 t 在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质可得结论【解答】解：令 t=xx20，求得 0x1，可得函数的定义域为（ 0，1），f（x）=g（t）=lnt 本题即求函数 t 在定义域内的减区间，函数 t 在定义域内的减区间为，1），故答案为：，1） 5如图是一个算法的流程图，则输出的 k 的值是 4 【考点】程序框图【分析

12、】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，循环可得结论【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：第一次循环，s=5，k=1 ，第二次循环，s=13 ，k=2 ，第三次循环，s=13 ，k=3 ，第四次循环，s=29 ，k=4 ，退出循环，输出 k=4故答案为：4第 7 页（共 25 页）6若将甲、乙、丙三个球随机放入编号为 1，2 两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则每个盒子中球数不小于其编号的概率是【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】将甲、乙、丙三个球随机放入编号为 1，2 两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，先求出基本事件总数，每个盒

13、子中球数不小于其编号的情况是 1 号盒中放 1 个，2 号盒中放 2 个，求出有多少种放法，由此能求出每个盒子中球数不小于其编号的概率【解答】解：将甲、乙、丙三个球随机放入编号为 1，2 两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，基本事件总数 n=23=8，每个盒子中球数不小于其编号的情况是 1 号盒中放 1 个，2 号盒中放 2 个，有 =3 种放法，每个盒子中球数不小于其编号的概率：p= 故答案为： 7设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S36，S 520，则 a6 的最大值为 10 【考点】等差数列的前 n 项和【分析】由等差数列的前 n 项和公式得到，由此能求出 a6 的最大值【解

14、答】解：等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S36，S 520，，，a 6=a1+5d=3（a 1+d）+4（a 1+2d）32+44=10，a 6 的最大值为 10故答案为：108若，（0，），cos（）= ，sin （）= ，则 cos（+）的值等于【考点】两角和与差的正弦函数【分析】根据题意可得 = ， = ，由此求得 + 的值，可得 cos（+）的值【解答】解：，（0，），cos（）= ，sin（）= ，第 8 页（共 25 页） = ， = ， = 或 +=0（舍去） cos（+）= ，故答案为： 9设向量 =（sin ，cos ）， =（sin ，c

15、os ）（nN +），则（） = 1 【考点】平面向量数量积的运算【分析】化简 =cos 于是根据诱导公式可得 + = += + = + =0，所以（）= +=cos +cos=1【解答】解： =sin sin +cos cos =cos（）=cos + =cos +cos =0，同理， + =0， +=0， + =0 （）= + =cos +cos=1故答案为110已知直线 l：x2y+m=0 上存在点 M 满足与两点 A（2，0），B（2，0）连线的斜率 kMA与 kMB 之积为 1，则实数 m 的取值范围是 2 ，2 【考点】圆方程的综合应用【分析】设出 M 的坐标，由

16、kMA 与 kMB 之积为 3 得到 M 坐标的方程，和已知直线方程联立，化为关于 x 的一元二次方程后由判别式大于等于 0 求得实数 m 的取值范围【解答】解：设 M（x，y），由 kMAkMB=3，得 =1，即 x2+y2=4第 9 页（共 25 页）联立，得 5y24my+m24=0要使直线 l：x2y+m=0 上存在点 M 满足与两点 A（2，0），B（2，0）连线的斜率 kMA 与kMB 之积为 1，则=（4m） 220（m 24） 0，即 m220解得 m2 ，2 实数 m 的取值范围是：2 ，2 故答案为：2 ，2 11某工广生产一种无盖冰激凌纸筒为圆柱形，现一客户定制该圆

17、柱纸筒，并要求该圆柱纸筒的容积为 27cm3，设该圆柱纸筒的底面半径为 r，则工厂要求制作该圆柱纸筒的材料最省时，r 的值为 3 cm 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】设底面半径为 r，高为 h，则由题意得 S=2rh+r2= ，由此利用导数能求出制作该圆柱纸筒的材料最省时，r 的值【解答】解：设底面半径为 r，高为 h，则由题意得 h= ，S=2rh +r2= ，S= ，当 0r3 时，S 0，当 r3 时，S0，故 r=3 时，取得极小值，也是最小值，制作该圆柱纸筒的材料最省时，r 的值为 3故答案为：312已知等比数列a n，首项 a1=2，公比 q=3，a p+ap+1

18、+ak=2178（kp，p，kN +），则p+k= 10 【考点】数列的求和【分析】通过 an=23n1 可知 ap+ap+1+ak=3p1（3 kp+11），利用 2178=32（3 51）比较即得结论【解答】解：依题意，a n=23n1，第 10 页（共 25 页）则 2178=ap+ap+1+ak=3p1（3 kp+11），又2178=9=3 2（3 51），，即，p+k=10，故答案为：1013设函数 f（x）= ，若函数 y=f（x） 2x+b 有两个零点，则参数 b 的取值范围是（， 2（0，2ln2 1）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】由 y=f（x）2x

19、+b=0 得 f（x）=2xb，作出函数 f（x）和 y=2xb 的图象，利用数形结合进行求解即可【解答】解：作出函数 f（x）的图象如图：，由 y=f（x）2x +b=0 得 f（x）=2xb，当 g（x）=2x b 经过点（0，2）时，满足两个函数有两个交点，此时b=2 ，即 b=2，当 b2，即 b2 时，满足条件，当 g（x）=2x b 与 f（x）=e x1 相切时，由 f（x）=e x=2 得 x=ln2，y=e ln21=21=1，即切点坐标为（ln2，1），此时 2ln2b=1，即 b=2ln21，当直线 g（x）=2x b 经过原点时，b=0，要使两个函数有两个交点，则此时

20、 0b2ln21，综上 0b2ln21 或 b 2，故实数 b 的取值范围是（， 2（0，2ln2 1），第 11 页（共 25 页）故答案为：（， 2（0，2ln2 1）14对任意实数 x1，y ，不等式 p + 恒成立，则实数 p 的最大值为 8 【考点】函数恒成立问题【分析】根据不等式 p + 恒成立，转化为求 + 的最小值即可，利用换元法，结合基本不等式进行求解即可【解答】解：设 a=2y1，b=x 1，x1，y ，a0，b0，且 x=b+1，y= （a+1），则 + = + 2 =2 =2（ + ）2（2 + ）=2（2+2）=8，当且仅当 a=b=1，即 x=2，y=1 时，取

21、等号p8，即 p 的最大值为 8，故答案为：8第 12 页（共 25 页）二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15已知函数 f（x）=2cos 2x+ sin2x（1）求函数 f（x）的最小正周期；（2）在ABC 中，若 C 为锐角，f（A+B ）=0 ，AC=2 ，BC=3，求 AB 的长【考点】余弦定理；三角函数的周期性及其求法【分析】（1）由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 f（x）=2sin（2x+ ）+1，利用周期公式可求 f（x）的最小正周期 T（2）由已知可得 sin（2A+2B+ ）= ，由

22、A，B 是ABC 的内角，解得：A+B= 或A+B= ，结合 A+B+C=，C 为锐角，可得 C= ，由余弦定理即可求得 AB 的值【解答】解：（1）f（x） =2cos2x+ sin2x=cos2x+1+ sin2x=2sin（2x+ ）+1，4 分函数 f（x）的最小正周期 T= 7 分（2）f（A+B）=0，sin（2A+2B + ）= ，A，B 是ABC 的内角，2A+2B+ = ，或 2A+2B+ = ，解得：A+B= 或 A+B= ，A+B+C= ，C= ，或 C= ，C 为锐角，可得 C= ，AC=2 ，BC=3，由余弦定理可得：AB 2=AC2+BC22ACBCcosC=12+

23、92 ，即 AB= 14 分16如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，D 是边 BC 上异于 C 的一点，AD C 1D（1）求证：AD平面 BCC1B1；（2）如果点 E 是 B1C1 的中点，求证：平面 A1EB平面 ADC1第 13 页（共 25 页）【考点】直线与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定【分析】（1）由于正三棱柱中，CC 1平面 ABC，得到 ADCC 1 又已知 ADC 1D，利用线面垂直的判断定理得到结论（2）连结 A1C，交 AC1 于 O，连结 OD，推导出 ODA 1B，由点 E 是 B1C1 的中点，可得BD EC1，即 BEDC 1，由 BEA1B=B，

24、DC 1OD=D，即可证明平面 A1EB平面ADC1【解答】（满分为 14 分）解：（1）在正三棱柱中，CC 1平面 ABC，AD平面 ABC，ADCC 1 又 ADC 1D，CC 1 交 C1D 于 C1，且 CC1 和 C1D 都在面 BCC1B1 内，AD平面 BCC1B1 （2）连结 A1C，交 AC1 于 O，连结 OD，正三棱柱 ABCA1B1C1 中，点 D 在棱 BC 上，ADC 1D平面 C1AD平面 B1BCC1，D 是 BC 中点，O 是 A1C 中点，ODA 1B，点 E 是 B1C1 的中点，D 是 BC 中点，BD EC1，四边形 BDEC1 为平行四边形， BE

25、DC 1，BEA 1B=B，DC 1OD=D，且 A1B，BE 平面 A1EB，DC 1，OD 平面 ADC1，平面 A1EB平面 ADC1第 14 页（共 25 页）17在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： + =1（ab0）的离心率为，且右准线方程为 x=4（1）求椭圆的标准方程；（2）设 P（x 1，y 1），M （x 2，y 2）（y 2y 1）是椭圆 C 上的两个动点，点 M 关于 x 轴的对称点为 N，如果直线 PM，PN 与 x 轴交于（m ，0）和（ n，0），问 mn 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准

26、方程【分析】（1）由椭圆的离心率为，且右准线方程为 x=4，列方程组解得 a=2，c=1，由此能求出椭圆的标准方程（2）由 P（x 1，y 1），M （x 2，y 2），得 N（x 2， y2），求出直线 PM 的方程和直线 PN 的方程，分别令 y=0，得 m 和 n，由此能推导出 mn 为定值【解答】解：（1）由题意，得，且，解得 a=2，c=1， = ，椭圆的标准方程为（2）由 P（x 1，y 1），M （x 2，y 2），得 N（x 2， y2）， + =1，，直线 PM 的方程为 yy1= ，直线 PN 的方程为 yy1= （xx 1），分别令 y=0，得

27、m= ，n= ，第 15 页（共 25 页）mn= = = =4为定值，mn 为定值 418如图，某景区有一座高 AD 为 1 千米的山，山顶 A 处可供游客观赏日出坡角ACD=30，在山脚有一条长为 10 千米的小路 BC，且 BC 与 CD 垂直，为方便游客，该景区拟在小路 BC 上找一点 M，建造两条直线型公路 BM 和 MA，其中公路 BM 每千米的造价为 30 万元，公路 MA 每千米的造价为 60 万元（1）设AMC=，求出造价 y 关于的函数关系式；（2）当 BM 长为多少米时，才能使造价 y 最低？【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法；在实际问

28、题中建立三角函数模型【分析】（1）容易求得 MA=2，可说明AMC 为 Rt，从而可以得出，这样根据题意即可求出，；（2）可求导数得到，可以判断导数符号，从而可以得出时y 取到最小值，可求出此时 BM 的长度【解答】解：（1）在 RtACD 中，ACD=30，AD=1；AC=2；BCCD ，BCAD；BC平面 ACD，AC平面 ACD；BCAC ；，； = ，（）；（2） = ；第 16 页（共 25 页）令 y=0 得，cos= ；；；时，，12cos0，y 0，时，y 0；时，y 有最小值，此时；当 BM 长为米时，才能使造价 y 最低19已知 a0，且 a

29、1，函数 f（x）=a x1，g（x）= x2+xlna（1）若 a1，证明函数 h（x）=f（x） g（x）在区间（0，+）上是单调增函数；（2）求函数 h（x）=f（x）g（x）在区间 1，1上的最大值；（3）若函数 F（x）的图象过原点，且 F（x）=g （x），当 ae 时，函数 F（x）过点A（1，m）的切线至少有 2 条，求实数 m 的值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）求函数的导数，根据函数单调性和导数的关系进行证明（2）求函数的解析式，根据函数单调性和最值如导数的关系进行求解（3）求出函数 F（x）的解析式，结合导数的几何意义进行求解【解答】解：（1）h（x

30、）=f（x）g（x）=a x1+x2xlna，则 h（x）= （a x1）lna+2x，a1，当 x0 时，a x10，lna0，h（x）0，即此时函数 h（x）在区间（0，+）上是单调增函数（2）由（1）知，当 a1 时，函数 h（x）在区间（0，+）上是单调增函数，则在区间（，0）上是单调减函数，同理当 0a1 时，h（x）在区间（0，+）上是单调增函数，则在区间（，0）上是单调减函数，即当 a0，且 a1 时，h（x）在区间 1，0）上是减函数，在区间（0，1）上是增函数，当1 x 1 时， h（x）的最大值为 h（ 1）和 h（1）中的最大值，第 17 页（共 25 页）h（1）h

31、（ 1）=（a lna）（ +lna）=a 2lna，令 G（a）=a 2lna，a0，则 G（a）=1 + =（1 ） 20，G（a）=a 2lna，在 a0 上为增函数，G（1）=1 12ln1=0，a1 时，G（a）0，即 h（1）h（1），最大值为 h（1）=alna，当 0a1 时，G （a）0，即 h（1）h（1），最大值为 h（1）= +lna（3）F（x）的图象过原点，且 F（x）=g （x）= x2+xlna，设 F（x）= x3+ x2lna+c，F（x）的图象过原点，F（0）=0 ，即 c=0，则 F（x）= x3+ x2lna设切点为 B（x 0， x03+ x02

32、lna），则 B 处的切线方程为：y（ x03+ x02lna）= （x 02+x0lna）（xx 0），将 A 的坐标代入得 m（ x03+ x02lna）=（x 02+x0lna）（1 x0），即 m= x03（1+ lna）x 02+x0lna （），则原命题等价为关于 x0 的方程（）至少有 2 个不同的解，设（x）= x3（1+ lna）x 2+xlna，则（ x）=2x 02（2+lna）x+lna=（x1）（2xlna ），ae ， 1，当 x（，1）和（，+）时，（x）0，此时函数（x）为增函数，当 x（1，）时，（x）0，此时函数（x）为减函数，（

33、x）的极大值为（1） = 1 lna+lna= lna ，第 18 页（共 25 页）（x）的极大值为（ lna）= ln3a ln2a（1+ lna）+ ln2a= ln3a+ ln2a，设 t=lna，则 t ，则原命题等价为对 t 恒成立，由 m t 得 m ，s（t）= t3+ t2 的最大值为 s（4）= ，由 m t3+ t2，得 m ，即 m= ，综上所述当 ae 时，函数 F（x）过点 A（1，m）的切线至少有 2 条，此时实数 m 的值为 20已知等差数列a n的公差为 d，等比数列b n的公比为 q，且数列b n的前 n 项和为Sn（1）若 a1=b1=d=2，S 3

34、a 1006+5b22016，求整数 q 的值；（2）若 Sn+12Sn=2，试问数列b n中是否存在一点 bk，使得 bk 恰好可以表示为该数列中连续 p（pN，p2）项的和？请说明理由？（3）若 b1=ar，b 2=asa r，b 3=at（其中 tsr ，且（s r）是（tr）的约数），证明数列b n中每一项都是数列a n中的项【考点】等比数列的性质；等比数列的前 n 项和【分析】（1）若数列b n的前 n 项和为 Sn，且 a1=b1=d=2，S 35b 2+a88180，借助于通项公式得到 q 的值（2）在（1）的条件下，假设数列b n中存在一项 bk，使得 b，k 恰好可以表示

35、为该数列中连续 P（PN，P 2）项和，然后推理证明（3）若 b1=ar，b 2=asa r，b 3=at（其中 tsr ，且（s r）是（tr）的约数），要证明数列bn中每一项都是数列a n中的项，只要分析通项公式的特点可以得到【解答】解：（1）由题意知 an=2+（n1）2=2n，，S 3a 1006+5b22016，b 1+b2+b3a 1006+5b22016，b 14b2+b32012 2016，第 19 页（共 25 页）q 24q+30，解得 1q3，又 q 为整数，q=2（2）由 Sn+12Sn=2，得 Sn2Sn1=2，n2，两式相减得 bn+12bn=0，n2 ，等比数

36、列b n的公比为 q，q=2，又 n=1 时，S 22S1=2，b 1+b22b1=2，解得 b1=2，数列b n中存在一点 bk，使得 bk 恰好可以表示为该数列中连续 p（pN，p2）项的和，即 bk=bn+bn+1+bn+2+bn+p1，，b kb n+p1，2 k2 n+p1，kn+p1， kn+p，（*）又 = =2n+p2n2 n+p，kn+p，这与（*）式矛盾，假设不成立，故数列b n中不存在一点 bk，使得 bk 恰好可以表示为该数列中连续p（pN，p2）项的和，证明：（3）b 1=ar，b 2=as ar，b 3=at（其中 tsr ，且（sr）是（tr）的约数），b

37、 2=b1q=arq=as=ar+（sr）d，d= ，，a sa r，b 1b 2，q1，又 ar0 ，q= ，tsr，且（s r）是（t r）的约数，q 是正整数，且 q2，对于b n中的任一项 bi（这里只讨论 i3 的情形），有 = =第 20 页（共 25 页）= ）= ，由于（sr）（1q+q i1）+1 为正整数，b i 一定是数列a n中的项选修 4-1：几何证明选讲21如图所示，PA，PB 分别切圆 O 于 A，B，过 AB 与 OP 的交点 M 作弦 CD，连结PC，求证：【考点】与圆有关的比例线段【分析】由相交弦定理知 DMCM=AMMB=AM2直角三角形 AMO直角

38、三角形PMA，所以 = ，进一步证明CMPOMD，即可证明结论【解答】证明：因为 PA、PB 分别切圆 O 于点 A、B，OP 与 AB 交于 M所以 OP 垂直平分 AB又圆 O 中 AB，CD 交于 M，由相交弦定理知 DMCM=AMMB=AM2连接 OA，因为 AP 为圆 O 切线，所以 OAP=90又AMP=90，所以OAM+MAP= MAP+APM=90所以OAM= APM所以直角三角形 AMO直角三角形 PMA所以 =所以 PMOM=AM2，又 DMCM=AMMB=AM2，所以 PMOM=DMCM，所以，又CMP= ODM所以CMPOMD所以第 21 页（共 25 页）选修 4

39、-2：矩阵与变换22在平面直角坐标系 xOy 中，设点 P（1，1）在矩阵对应的变换下得到点Q（3，7），求 M1【考点】几种特殊的矩阵变换【分析】由矩阵的变换求得 a 和 b 的值，求得丨 M 丨及 M*，即可求得 M1【解答】解：由 = ，，解得：，M= ，丨 M 丨=1423= 2M1= = ，M1= 选修 4-4：坐标系与参数方程 23在极坐标系中，设直线 l 过点，且直线 l 与曲线C： =asin（a 0）有且只有一个公共点，求实数 a 的值【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】求出点 A，B 的直角坐标，利用点斜式方程得出直线 l 的直角坐标方程，再求出曲线 C 的普通方

40、程，求出圆心和半径，利用 d=r 构建出 a 的方程，解出 a 的值【解答】解：由直线 l 过点，可得 A，B 的直角坐标为 A（，），B （0，3），第 22 页（共 25 页）直线 AB 的斜率 k= = ，即有直线 l 的方程为：y3= x，即 y= x+3，由曲线 C： =asin（a 0），可得曲线 C 的普通方程为 x2+y2ay=0，即有圆心 C（0，），r= = ，直线 l 与曲线 C：=asin（a0）有且只有一个公共点即直线和圆相切，可得，解得 a=2 或 6，由 a0，可得 a=2选修 4-5：不等式选讲24求函数的最大值【考点】函数的最值及其几何意义

41、【分析】函数的最值转化为基本不等式 =1，从而解得【解答】解： =1，（当且仅当 x5=7x，即 x=6 时，等号成立）， 2，故函数的最大值为 225学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有 2 人，会跳舞的有 5人，现从中选 2 人设为选出的人中即会唱歌又会跳舞的人数，且（1）求文娱队的队员人数；（2）求的分布列，并求其数学期望 E（）【考点】离散型随机变量的期望与方差第 23 页（共 25 页）【分析】（）设既会唱歌又会跳舞的有 x 人，则该演出队的总人数为（7x）人，那么只会一项的人数是（72x）人，由已知得 P（=0）=1P（0）=1 = ，由此能求出该

42、演出队的总人数（）由已知得的可能取值为 0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和E【解答】解：（）设既会唱歌又会跳舞的有 x 人，则文娱队的总人数为（7x）人，那么只会一项的人数是（72x）人，为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且 P（0）= ，P（=0）=1P （ 0）=1 = ，P（=0）= = ，解得 x=2，该文娱队的总人数为 5 人（）由已知得的可能取值为 0，1，2，P（=0）= ，P（=1）= = ，P（=2）= = ，的分布列为： 0 1 2PE= = 26已知有穷数列a n共有 m 项（m 3，m N*），对于每个 i（i=1，2，3，m ）均有ai

43、1，2，3，且首项 a1 与末项 am 不相等，同时任意相邻两项不相等记符合上述条件的所有数列a n的个数为 f（m）（1）写出 f（3），f（4）的值；（2）写出 f（m）的表达式，并说明理由【考点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合【分析】（1）由题意可知：（1）f（3）=3 21=6，f（4）=322+3311=18 种，（2）猜想 f（m）=2 m+2（1） m，（*），利用数学归纳法即可证明第 24 页（共 25 页）【解答】解：（1）f（3）=321=6，f（4）=322+3311=18 种，（2）f（m）=2 m+2（1） m，（*）理由如下：当 m=3 时，f（

44、3）=6，符合（*）式，假设当 m=k 时，（*）成立，即 f（k）=2 k+2（ 1） k，那么 m=k+1 时，因为 a1 有 3 种取法，a 2 有 2 种取法，a k 有 2 种取法， ak+1 若仅与 ak 不同，则有 2 种取法，一种与 a1 数不同，符合要求，有 f（k+1）个，一种与 a1 数相同，不符合要求，当相当与 k 项有穷数列的个数，有 f（k）个，则有32k=f（k+1）+f（k），a k+1=ak+32k=2k2（1） k+32k=2k+1+2（ 1） k+1，即 n=k+1 时，（*）也成立，由可知，（*）成立第 25 页（共 25 页）2016 年 9 月 16 日

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