1、1.7 赫姆霍兹定理,1、标量场,标量场由其梯度(矢量)场和边界唯一确定。,则：,2、矢量场的类型,无旋场、无散场、调和场和一般矢量场,实际工程中，如何唯一确定一个场？,1.7 赫姆霍兹定理,（1）无旋场,旋度恒为零，但散度并不为零的矢量场。无旋场仅由通量源产生的，静电场是其一例。,由斯托克斯定理有,即在定义域内无旋场沿任意闭合路径l的环量恒为零，可见无旋场就是守恒场。,即,由图中P、Q两点间的两条路径PnQ和PmQ，构成回路PnQmP，其上F(r)的环量可以写成,无旋场的线积分与积分路径无关，仅与线积分起点和终点的位置有关。,1.7 赫姆霍兹定理,由 可以定义一个标量场,这种形式的二阶偏微分
2、方程称为泊松方程。,得 的微分方程,令,负号意指某点 的方向为该处 取得最大减小率的方向。,1.7 赫姆霍兹定理,在一定附加条件下（边界条件），由上式可求得(r)的解，再按(1.7.1)式解得F(r)，这是求解无旋场的基本方法。,(1.7.1),（2）无散场,1.7 赫姆霍兹定理,散度恒为零，而旋度并不为零的矢量场。无散场是仅由旋涡源产生的，恒定磁场即是一例。,由高斯散度定理，有,即无散场在任意闭面S上的净通量恒等于零。,可得无散场的二阶偏微分方程,称为矢量场的旋度旋度方程。求解此类场的基本方法是：先解这个旋度旋度方程可得A(r)的通解，在一定附加条件下可得到特解，再按(1.7.3) 式求出无
3、散场F(r).,由 可定义一个矢量位函数 A(r),（3）调和场,2 = 0,调和场的二阶偏微分方程称为拉普拉斯方程。,（4）一般矢量场的旋度和散度均不为零。它由旋涡源和通量源共同产生。通常时变电磁场都是一般矢量场，而无旋场、无散场以及调和场都是它的特例。,1.7 赫姆霍兹定理,在定义域内矢量场的旋度与散度均为零。显然，调和场的场源是在定义域之外。恒定电场即是一例。,3、赫姆霍兹定理,在闭面S 所包围的有限区域(单连域或多连域)V 内 ，若给定了矢量场的旋度和散度，同时还给定了该矢量场在边界 S 上的法向分量 Fn 或切向分量 Ft ，则 V 内是唯一确定的。,(1)唯一性定理：,用反证法证明
4、，假定满足给定条件的矢量场有两个 和 ，然后再论证这两个矢量场是相同的，即 。令,1.7 赫姆霍兹定理,赫姆霍兹定理包括矢量场的唯一性定理和矢量场的分解定理。,在边界S上，则有,或,由 可引入标量函数 (r),且有 2 = 0 (在V 内）,或,1.7 赫姆霍兹定理,S为的等值面,在V 内，有,根据条件 ，可得,对矢量函数 应用格林第一公式，并考虑到在V 内有 2 = 0，,1.7 赫姆霍兹定理,对于条件 ，因,故同样得到,由于 的非负性， 意味着 = 0， 即,S面上相等,（2） 分解定理：任意一个满足唯一性定理的一般矢量F(r) ，可以分解为无旋的Fi(r) 和无散或管形的 Fs(r) 两个部分，即,F(r) = Fi(r) + Fs(r),设矢量场F(r)的旋度和散度分别为,可得,1.7 赫姆霍兹定理,和,因此，一般矢量场可用 和 表示为,已知,1.7 赫姆霍兹定理,
