1、2010-2011 第二学期数学建模课程设计2011 年 6 月 27 日7 月 1 日题目 大学生就业问题第 11 组 组员 1 组员 2 组员 3 组员 4姓名 学号 0808060217 0808060218 0808060219 0808060220专业 信计 0802 信计 0802 信计 0802 信计 0802成绩论文摘要本文讨论了在新的形势下大学生的就业问题。20 世纪 90 年代以来，我国出现了一种前所未有的现象，有着“天之骄子”美誉的大学生也开始面临失业问题。大学生就业难问题已受到普遍关注。大学生毕业失业群体正在不断扩大，已成为我国扩大社会就业，构建和谐稳定社会的急需解决的
2、社会问题。本文针对我国现有的国情，综合考虑了高校毕业生的就业率和高校招生规模的扩大之间的关系，建立了定量分析的微分方程模型，随后又建立了了离散正交曲线拟合模型对得出的结果进行了检验，并分析模型得出的结果得合理性。最终得到生源数量与失业率之间的拟合多项式和拟合曲线，并预测出了未来高校招生规模的变化趋势。在找到大学生失业规律以后，本文还具体的对毕业生的性别、出生地对失业的影响做出了定量分析。关键词：大学生就业 微分方程模型 多项式曲线拟合 MATLAB 软件1、问题重述大学生就业问题：如果我们将每年毕业的大学生中既没有找到工作又没有继续深造的情况视为失业，就可以用失业率来反映大学生就业的状况。下面
3、的表中给出了某城市的大学生失业数占城市总失业人数的比率，比率的计算是按照国际劳工组织的定义，对 16 岁以上失业人员进行统计的结果。表 1失业率（%）男性 女性年份出生于城市 出生于农村 出生于城市 出生于农村1989 4.4 6.0 5.7 10.81990 5.1 13.2 4.7 111991 9.7 17.2 8.7 15.81992 10 20 8 171993 12 22 10 191994 11.3 22 11.2 211995 11 22 10.4 191996 11.1 21 10.2 201997 10.7 18 9.9 161998 8.6 14 8.2 131999 6
4、.9 13 6.7 112000 6.7 11 6.3 112001 8.7 16 6.9 132002 11 20 7.0 142003 11.7 24 7.2 182004 10.6 25 6.9 162005 9.4 20 6.3 172006 9.1 19 5.9 152007 7.6 16 5.4 142008 6.3 14.1 4.9 12.62009 6.4 13.3 4.7 12.8请建立相应的模型对大学生就业状况进行分析找出其中的规律并讨论下面两个问题：(1)、就业中是否存在性别歧视；(2)、学生的出生对就业是否有影响。2、模型假设2.1 在本次研究中做出以下假设：(1)、假
5、设毕业生求职时竞争是公平的；(2)、假设考研等继续深造的毕业生属于已就业人群；(3)、假设每个毕业生都有就业或者继续深造的意图(4)、假设就业率和失业率之和为 1；(5)、假设本文搜集的数据全部真实可靠；2.2 在定量分析性别、出生地对失业的影响时还要做以下假设：(1)、假设毕业生就业情况只受性别、出生地等因素的影响；(2)、假设具有上述同等条件的毕业生间就业机会相同(3)、假设附件中的数据信息均合理；3、问题分析3.1 对问题的分析若要分析新失业群体产生的主要原因，并就其重要性给出各种因素的排序，就需要对搜集的数据进行整理，并进行系统的分析，划分为不同的体系和矛盾，然后我们考虑用 Logis
6、tic 模型分析。为了得到新失业群体对高校招生生源的影响和预测未来高校招生规模的变化趋势，我们考虑建立基于微分方程模型和离散正交曲线拟合模型来进行求解，并将结果进行比较。3.2 对大学生失业群体产生的客观原因分析及其重要性排序影响高校毕业生就业的主要因素的选取的基础是因素指标体系。由于影响高校毕业生就业的因素有很多方面，而且有些因素具有多方面表现特征，因此对其进行描述，必须借助因素和因素体系。根据科学性原则和定量与定性相结合的原则，我们将影响高校毕业生就业的因素分为高校扩招造成大学生就业市场供需失衡因素、教育结构与产业结构不协调因素体系以及高校毕业生的自身因素体系。教育结构与产业结构不协调因素
7、体系是由于我国高等教育生产规模不断扩大，但不符合教育规律的压缩式追求低成本造成教育资源结构失调，表现在两方面：(1)、学科与专业的结构失衡，即学科结构和专业结构与社会经济结构不相适应。表现为：有些学科和专业人才的过度教育；有些学科和专业人才的教育资源配置不足目前我国高等教育的学科与专业设置基本上由各个学校自主决定，学校出于经济效益和学校发展需要，主要考虑的因素是市场行情，而市场调节的盲目性和滞后性使得不同专业稀缺程度的变化与经济结构转换的需求变化不同步，致使许多热门应用学科类专业低水平重复现象严重，并冲击专业教学的质量，造成这些专业的毕业生结构性过剩。从学科专业设置的历史沿革看，许多高校的学科
8、专业建设更多是以学科自身内在逻辑的发展为依据和基础，而较少参照现实社会经济建设和发展领域的需要。当社会经济结构特别是产业结构的变化迅速，高等教育结构未能迅速地做出相应的调整，其培养的人才则不能满足社会和劳动力市场的需要，因此产生了知识性失业与职位空缺的矛盾。(2)、层次结构失衡，即高等学校的学历学位教育层次比例及构成与经济社会发展 的需求结构不匹配，出现了职业刚性失业和职位空缺并存的现象。在我国目前的高等人才培养中，社会需求存在对学历教育的“符号效应” ，即对能力的需求不如对学历的要求。而从需求看，社会对各级人才的需求结构呈“金字塔型” 。社会不仅需要从事高深学问研究和创造发明的学术性人才，更
9、需要把现有科技转化为现实生产力和产品的大批熟练工人和技术人员。因此，教育供给应该在专科、本科和研究生教育的数量上形成合理的比例。然而，整个教育层次的扩招和缺乏鲜明特色的学科内容，不仅使得这种比例开始失调，而且造成各层次的毕业生不能达到应有的质量要求。同时，替代性增加，引发了就业市场中的“挤占效应” 。 即博士研究生挤占硕士研究生位置，硕士研究生挤占本科生位置，本科生挤占专科生位置，专科生又因为其质量不高、特色不鲜明而找不到位置。4、模型建立4.1 微分方程模型因为高校毕业生的就业率和招生人数都可视为随时间动态变化， 所以我们考虑通过建立微分方程模型去认识和解决有关毕业生就业和计划招生规模的实际
10、问题。为此， 我们做出如下的基本假设：(1)高校毕业生就业人数的变化率与毕业生的综合素质(如品学表现)和社会的需求呈正的线性相关。 (2)部分毕业生的主客观原因(比如，没有顺利完成学业，或者想继续报考研究生，或者就业意识淡薄，就业观念差，对自己估计不足等)影响了自身的就业，因而对毕业生的就业产生了阻滞作用。 (3)高校当年的计划招生人数与毕业生总人数成正比，比例系数为 。其中假c设(2) 借鉴了人口增长阻滞模型中的“阻滞”的思想。我们引入如下符号： ：时刻 高校毕业生的总人数， ；()Ntt ()0Nt：时刻 高校计划招生的总人数， ；MM：时刻 毕业生的就业率(即：就业人数/毕业总人数)，
11、； ()rtt 0()1rt：时刻 社会对于毕业生的需求率(即：需求人数 /毕业生总人数)。 R记 与 分别为时刻 的高校毕业生就业率与高校招生人0()rt0)t0t数。 很明显，对于需求率 而言，我们有：当 时， 毕业生供大于求；()Rt ()1Rt当 时，毕业生供求平衡；当 时，毕业生供不应求。由于社会的()1Rt()1t劳动力需求是与国家的经济运行情况正相关的，故我们这里的需求率 还反()Rt映了社会经济发展的 GDP 速度。 4.2 基本微分方程模型的建立首先，根据模型的假设(1)和(2) ，我们有： （1）()1)drNRtrNt其中的比例系数 ， 与 分别与需求人数，就业人数和未就
12、业人数有关，故分别称为需求因子，就业因子与阻滞因子。在本文中，我们均假设 。0其次，根据模型的假设(3)，将方程(1) 的两边同乘系数 ，我们得到c（2）()(1)drNMRtrMt于是，根据方程(1)，当毕业生的总人数为常数时，我们得到高校毕业生的就业率满足一阶线性微分方程模型： （3）0()()drrRttt最后，又根据方程(2)，当毕业生的就业率为常数时，我们得到高校计划招生的总人数满足一阶线性微分方程模型： 01()()dMRttrt5、模型求解为方便模型(3)和(4)的求解，我们假设在模型(3)和(4)中社会对于毕业生的需求率是常数(此时记为R)。5.1 研究毕业生的失业率模型方程(
13、3)有解(即失业率)为： (5)01atccrterr其中 是模型(3) 的不稳定平衡点(失业率 )。我们有以下结论： caRr当 时，这表明：只要影响毕业生失业的因素较大(或者社会对毕业生0cr的需求量较小)，就存在着不稳定的毕业生失业率； 当 时，这表明：只要影响毕业生失2业的因素非常大，就会出现不稳1cr定的低失业率。当 时，这表明：只要不稳定的失业率低于初始的失业率，就有毕业0cr生的失业率超过不稳定的失业率 。cr进一步可知，毕业生的失业率达到0所需要的时间为： (6)01lnctar故当 (供不应求)时，有 ，这表明：需求率越大，达到低失业R0t率的时间越短； 当0时，有 ln ，
14、由此可见，即使阻滞因1ta0Rar子很小，达到低失业率也需要一定的时间。5.2 研究高校的招生规模我们有方程(4)的解(即高校计划招生的总人数)为： (7)0catrMte因此，我们有以下结论： 当 时，有 ，表明：高校招生总人数规模宜降低； cr()1)tt当 时，有 ，表明：高校招生总人数规模宜保持不变； c当 时，有 ，表明：高校招生总人数规模宜扩大。当cr()Mtt时，有 和 ，此时高校招生总人数规模宜扩大。R0c(1总之，高校应当按照毕业生的失业率或者社会对于毕业生的失业率去确定其计划招生的规模。6、模型分析及改进6.1 模型分析如果在模型的假设(3)的基础上，将高校招生人数的相对变
15、化率按照毕业生的失业率去进行调整，即 ，其中的比例系数 为 r的函数，那么dMrt 就有 ，再由(1) 知高校毕业生的失业率满足一阶非线性微分方程模dNrt型： (8)00drarRtt特别地，当取 和 时，只要 ， ，方程(8)0Rt0r0a0R就有惟一稳定的平衡点(失业率) ，且 的充要条件是：001saRr0sr。0aR这表明：在招生规模扩大和需求率较大的条件下，将会得到稳定的失业率。如果进一步将模型的假设（3）改进为高校当年计划招生的人数相对于毕业生人数的变化率，按照其毕业生的就业率去进行调整，则有 ，其中1dMrNt的比例系数 为 的函数，并且还注意到毕业生的人数为 年前(通常取1r
16、 的招生人数，即 ，从而就有高校计划招生的总人数满足一阶4NtMt线性时滞微分方程模型： (9)100drMtt又由 和(1)知，高校毕业生的失业率仍满足模型(8)，只不过dNMtt。对于 和 均为常数的情形。由于微分方程1rr110r0Rt(6-2-9)的特征方程 有无穷多个根，故我们可利用 Taylor展开1e将其改写成近似的二次方程 ，在舍去负根后，得1e 11到正根 ，从而就有： 124(10)11min,1以及方程(9)的特解 ，这表明高校扩大招生人数规模100ttMteMe的实际增长率 应低于相对变化率 。又由于有 1001Raa故如果按照实际的 去扩大招生规模(招生人数为： )将
17、会有利于降 0tMe低模型(8)的稳定失业率。随着我国高等教育质量的不断提高，经济发展新情况的出现和国家就业政策的调整，社会对毕业生的需求将发生较大的波动。如果在模型的假设（3）的基础上，将高校招生人数的相对变化率按照社会对毕业生的需求率去进行调整，那么就有： ，其中的比例系数 为 的函数。再由(1)知高2dMRt 2R校毕业生的就业率满足一阶非线性微分方程模型： (11) 200draRrRtrr特别地，当取 ， 时，只要 , ，方0Rt20RR0a程(11)就有稳定的失业率 ，且出现低失业率 的充要条件是：0srasr需求率 ， 。而当 时，只要 ，就有 ，这表明当0aR0R1sr需求率充
18、分大时，可得到稳定的低失业率。如果将模型假设（3） 改进为高校当年计划招生人数相对于毕业生人数的变化率按照社会对毕业生的需求率去进行调整，即有 ，其中比例系3dMRNt数 为 的函数，且注意到毕业生的人数为 年前( )的招生人数，即3R 4，那么可得到高校计划招生的总人数满足一阶线性时滞微分方程NtMt模型： (12)300dMRtt对方程(12)的讨论类似于(9)，结果是：对于 和 为常数的0Rt33R情形，模型方程(12)的特征根满足(13)31min,1这表明扩大招生人数规模的实际增长率 应低于相对变化率 ，而且按照 3实际增长率 去扩大招生规模 (招生人数为： )也必将会有利于降低(1
19、1)的 0tMe稳定失业率。最后，我们研究高校毕业生就业率和招生人数规模数学模型的一般化。如果将模型的假设（3）改进为高校当年计划招生人数相对于毕业生人数 的Mt变化率综合按照当年的就业率 和未来 年(如取 )社会对于毕业生的rt4需求率 去进行调整，即： ，其中比例系数Rt ,dMrtRNt为 和 的函数，且注意到毕业生的人数为 年前的招生人数，即,rr ，那么我们有高校计划招生的总人数满足一阶线性时滞微分方程模NtMt型： (14)00,dMrtRtMtt又由 和(1)知，高校毕业生的就业率满足一阶非线性时滞微分方程模型：dNMtt(15)0 ,drarRtrRtt 6.2 定量分析在上文
20、中已经建立和定性分析了关于高校毕业生就业率的如下微分方程模型（1）0()()drrRttt其中 表示 时刻毕业生的就业率( 即:就业人数/毕业生人数, )；()rt 0(rt表示 时刻社会对于毕业生的需求率(即:需求人数/ 毕业生人数)。()Rtt因为在实际调查中需求率是难以完整统计的,所以我们应根据这种实际情况将模型(1)进行相应修改,不把需求率考虑进去,于是我们有下面的微分方程模型：（2）0()drrut其中比例系数 与 分别与就业人数和未就业人数有关。以下均假设。0在本文中,我们的主要目的是通过调查实际数据计算出参数 、 ，从而给出与（2）相应的微分方程定量模型，并做出定量的分析。参数
21、、 的计算方法如下 :设高校招生人数，毕业生人数与就业率的数据如表 6.2.1 所示。表 6.2.1 历年全国高校招生人数和失业率年份（t） 招生人数/万人(M） 毕业人数/万人(N） 就业率/%(r）2001 268.28 114 0.92002 320.51 145 0.82003 382.17 212.2 0.72004 447.34 254 0.732005 504.46 326 0.7262006 548.58 413 0.722007 567.36 479 0.712008 599 559 0.72009 629 611 0.68（该数据来自中华人民共和国人力资源和社会保障部）将
22、进行差商近似处理，再根据最优平方逼近法我们得到 ()drrut（3）1()iiirrt为确定参数 、 ，不妨设 则方程（ 3）化为：,xy（4）10iiiryt记 ，将数据代入 可得方程11(,)()niiiirsxyxt,0sxy（5）11 11()(0niiiiiii ii rytrx由方程（5）便可解出 ,从而确定出参数 、 ，得到相应的微分方程定xy量模型。我们根据参考文献 13得到参数为： 进而微分方程化为0.25,.1(.3).2017drrt0.25(.3)48dMtr求的解析解为： 0.35()127trte.(.4)0tMt6.3 离散正交曲线拟合模型6.3.1 离散正交多项
23、式定义 1 如果两个多项式 ， 满足()PxQ0()0miiix则称 与 在点集 上是离散正交的。设()PxQ01,x为多项式， 为 次多项式，如果满足01,()n kP（5-15）00()()mjikii jkxA 则称 为点集 上的离散正交多项式系。01(),()nPx 1,m对于给定的节点 ，可以按下列公式构造离散正交多项式系01,mx01(),()nx（5-16）01101 ()(),23,1)kkkPxPx n ）其中（5-17）201120()0,2,1)(,)0,12,)mikikkmkkiixPnPxn这样的 的首项系数为 1 的 次多项式。()Pxk定理 2 由式（5-16）
24、 ， （5-17）构造的多项式系 为点集01(),()nPxx上的离散正交多项式系。01,mx6.3.2 用离散正交多项式作曲线拟合设 为给定数据 为点集 上的离(,)0,1)iy 01(),()nPxxix散正交系， 为由其所有线性组合生成的多项式集合，。用正交多项式进行最小二乘曲线拟合，亦即求01(),()nSpanPxx使其满足 利0()k2200()()minmmni ikQPxyaxiy用多项式系 的离散正交性易知，此时法方程组为：1(),()nPx2 20 0021 1102200()()()()m mi ii imi ii inmmni nii iPxyaxPxPxy 其解显然为
25、（5-21）002()()0,1)mmkikii iiixyxya nP所以，容易得到拟合多项式 0()()nkxax且其偏差平方和 222000()mmniki iQPxya最后可得所求的拟合多项式 01()()()()nyxaxPx同样我们利用表 6.2.1 的数据，采用上述原理和算法进行拟合，得到拟合多项式的系数如下：表 6.3.2 离散正交曲线拟合系数系数 0123求得结果 67109500 -5.9E+07 17186619 -1667018并且得到离散正交拟合曲线图 6.3.2 如下：0.25 0.26 0.27 0.28 0.29 0.3 0.31 0.32-3000-2500-
26、2000-1500-1000-500050010001500失 业 率生源离 散 正 交 拟 合 曲 线图 6.3.2 离散正交拟合曲线 由上图可知，预测到下一年的失业率，即可以根据拟合多项式计算出合理生源数量，进而对高校招生进行指导。7、模型的评价7.1 模型的优点：(1)、Logistic 模型能够很好的确定自身因素对于失业的影响，并能够确定自身因素中的主要因素。(2)、微分方程仿真模型可以很好的定性分析失业对于大学招生生源的影响，并能预测大学招生生源的变化趋势。7.2 模型的缺点：(1)、在建模的过程中没有考虑经济、政治等因素对就业率的影响，因此模型在一定程度上具有一定的局限性；(2)、
27、微分方程模型只能对问题进行定性而非定量的分析。8、定量分析性别、出生地对失业率的影响8.1 最小二乘拟合最 小 二 乘 拟 合 是 一 种 数 学 上 的 近 似 和 优 化 ， 利 用 已 知 的 数 据 得 出 一 条 直 线或 者 曲 线 ， 使 之 在 坐 标 系 上 与 已 知 数 据 之 间 的 距 离 的 平 方 和 最 小 。8.2 根 据 表 1 做 非 线 性 最 小 二 乘 拟 合拟 合 结 果 为 ：8.3 根 据 拟 合 图 形 具 体 分 析(1)、 根 据 第 一 个 图 可 知 ： 同 为 男 性 时 农 村 的 学 生 失 业 率 高 于 城 市 的 。(2)
28、、 根 据 第 二 个 图 可 知 ： 同 为 女 性 时 农 村 的 学 生 失 业 率 高 于 城 市 的 。(3)、 根 据 第 三 个 图 可 知 ： 同 为 城 市 的 学 生 时 男 生 的 失 业 率 高 于 女 生 。(4)、 根 据 第 四 个 图 可 知 ： 同 为 农 村 的 学 生 时 男 生 的 失 业 率 高 于 女 生 。8.4 分 析 结 果(1)、 就业中存在性别歧视。(2)、学生的出生对就业有影响。9、参考文献1 姜启源. 数学模型( 第四版). 高等教育出版社 165-1682 刘卫国. MATLAB 程序设计与应用(第二版). 高等教育出版社. 83-943 蒋世民. 我国高校毕业生就业问题的研究.清华大学教育研究. 57-614 曲娜.化存才.高校毕业生就业率的一个微分方程定量模型. 云南大学学报(自然科学版). 24-26附件 1：离散正交多项式拟合程序：结果：0.25 0.26 0.27 0.28 0.29 0.3 0.31 0.32-3000-2500-2000-1500-1000-500050010001500失 业 率生源离 散 正 交 拟 合 曲 线附件 2：非线性最小二乘拟合程序：结果：
