1、276科教论丛关于常微分方程数学模型的建立分析文 张宏蕃 （黑龙江工程学院）摘要 : 数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。 即通过抽象、 简化、假设、 引进变量等处理过程后， 将实际问题用数学方式表达， 建立起数学模型， 然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。 数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中， 是培养和提高学生应用所学知识分析问题、 解决问题的能力的必备手段之一。 本文通过建立微分方程模型利用常微分方程知识进行定量或定性的分析， 找到规律、 了解事物本质， 看常微分方程在现实中的应用。关键词 : 常微积分 ； 方程 ； 数学模型 ；极值 ； 淋雨量现代信息和技术社会
2、发展的要求 , 数学建模这一学科随之产生， 而常微分方程中作为解决实际问题的重要手段 -数学模型， 越来越受人们的普遍重视。 下面的模型， 在常微分方程高观点剖析下，充分展现现代社会中常微分方程应用。建立数学模型的方法和步骤并没有一定的模式， 但一个理想的模型应能反映系统的全部重要特征 ： 模型的可靠性和模型的使用性。 建模的一般方法 ：机理分析 ： 根据对现实对象特性的认识， 分析其因果关系， 找出反映内部机理的规律， 所建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析方法 ： 将研究对象视为一个“黑箱” 系统， 内部机理无法直接寻求， 通过测量系统的输入输出数据， 并以此为基础运用统计分析方法
3、， 按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型。 测试分析方法也叫做系统辩识。将这两种方法结合起来使用， 即用机理分析方法建立模型的结构， 用系统测试方法来确定模型的参数， 也是常用的建模方法。以淋雨模型为例 ：人们常说， 下雨了， 快跑啊， 这是否就意味着人们淋的雨就少呢？我们通过淋雨量单位立方米建立恒等式。一、 做出假设 ：1 、 人沿直线从一处到另一处， 雨速的大小和方向不变， 设为常数。2 、 把人看成长方体， 表面积分别为前面是 1 ， 侧面是 a ， 顶部是 b ， 人的行走速度为 (v,0,0) （ v0 ） , 行走距离为 L.3 、 单位时间单位面积淋雨量为
4、 E二、 建立模型 ：(1)在欧氏空间建立三维直角坐标系， 对（ 1 ） 进行分解 ：在 x 方向的淋雨量为在 y 方向的淋雨量为在 z 方向的淋雨量为积分有 ：的总的淋雨量为 ：其中三、 分析模型 ：1 即雨打到人的正面定理 1 当 C 时， R(v) 无极值。证明 ： 当 C0所以在 v 时， R(v) 随 v 增大而减小。在 时在 v 时， R(v) 随 v 增大而减小且大于 L在 v 时， R(v) 随 v 增大而减小且大于 L ， 并且在大于 L 区域交于一点， 从而使得 R(v) 无极值如图这表明 R(v) 随 v 增大淋雨量越少2 0 时R(v)= (v+| |+C)=这时随着人
5、的速度 v 增加淋雨量趋于定值。如图这个模型可以说明一个道理， “真理往往掌握在少数人手里”。 不是你跑的越快淋雨越少， 有时可能反而越快淋雨越多。 这与人的体形、 雨速、 行走距离有很大的关系。 胖人比瘦人淋雨多， 高的人比矮的人淋雨多。 通过物理学知识建立的模型， 有利于发挥我们的聪明才智， 对我们身边的事件运用所学知识建立模型。参考文献 ：1 东北师范大学数学系 . 常微分方程 . 高等教育出版社 .1997.2M. 布朗 . 微分方程及其应用 . 人民教育出版社 .1982.3 王树禾 . 微分方程模型与混沌 . 中国科技大学出版社 .1999.4 姜启源 . 数学模型 . 高等教育出版社 .2003.5( 意 )G. 桑森 ,R. 康蒂 . 非线性微分方程 . 科学出版社 .1983.6E. 卡姆克 . 长微分方程手册 . 科学出版社 .1977.本项目来源于 黑龙江工程学院科学研究项目 类别 ： 一般项目 编号 ： B07023
