1、 2016 年 02 月 14 日数学建模协会寒假作业答案【作业一】某市有甲、乙、丙、丁四个居民区，自来水由 A、 B、C 三个水库供应。四个区每天必须得到保证的基本生活用水分别为 30，70，10，10 千吨，但由于水源紧张，三个水库每天最多只能分别供应 50，60，50 千吨自来水。由于地理位置的差别，自来水公司从各水库向各区送水所需付出的引水管理费不同(见表 1-1，其中 C 水库与丁区之间没有输水管道)，其他管理费用都是 450 元千吨。根据公司规定，各区用户按照统一标准 900 元千吨收费。此外，四个区都向公司申请了额外用水量，分别为每天 50，70，20，40 千吨。问题一： 该公
2、司应如何分配供水量，才能获利最多?表 1-1 引水费用表引水管理费(元千吨) -1 甲 乙 丙 丁A 160 130 220 170B 140 130 190 150C 190 200 230 /问题二： 为了增加供水量，自来水公司正在考虑进行水库改造，使三个水库每天的最大供水量都提高一倍，问那时供水方案应如何改变?公司利润可增加到多少?（灵敏度分析）【答案】分配供水量就是安排从三个水库向四个区送水的方案，目标是获利最多。而从题目给出的数据看，A、B、C 三个水库的供水量 160 千吨，不超过四个区的基本生活用水量与额外用水量之和 300 千吨，因而总能全部卖出并获利，于是自来水公司每天的总收
3、人是 900(50+603-50)=144000 元，与送水方案无关。同样，公司每天的其他管理费用为 450(50+60+50)=72000 元，也与送水方案无关。所以，要使利润最大，只需使引水管理费最小即可。另外，送水方案自然要受三个水库的供应量和四个区的需求量的限制。很明显，决策变量为 A、B、C 三个水库( )分别向甲、乙、丙、丁1,23i四个区( )的供水量。设水库 i 向 j 区的日供水量为 。由于 C 水库与1,234j ijx丁区之间没有输水管道，即 ，因此只有 11 个决策变量。由以上分析，问340x题的目标可以从获利最多转化为引水费用最少，于是有： 1121314212343
4、3min6070959xxx约束条件有两类：一类是水库的供应量限制，另一类是各区的需求量限制。2016 年 02 月 14 日1213423506xx1231314280745xLINGO 线性规划源程序如下所示：Model：min=160*x11+130*x12+220*x13+170*x14+140*x21+130*x22+190*x23+150*x24+190*x31+200*x32+230*x33；x11+x12+x13+x14=50;x21+x22+x23+x24=60;x31+x32+x33=50x11+x2l+x31=30；x12+x22+x32=70；x13+x14+x24=1
5、0；x14+x24=10;x11+x21+x3l=b(j) ；End与以前的 LINDO、LINGO 语法不同，程序首先定义了集合，以 sets 开始，定义了三种属性的集合：n 为 13 的向量，b 和 d 为 l4 的向量，c 和 z 为34 的矩阵，以 end-sets 结束。然后对定义的集合进行数据初始化，以 data 开始：分别对 a，b，c ，d 进行初使化。其中由于自来水厂 C 不能给用户丁供水，因此可以定义一个非常大的数，代表非常大的代价，以 enddata 结束。接下去的就是目标函数和约束条件，在目标函数中使用了sum 求和函数，在约束中使用了for 循环函数。可见，如果决策变
6、量或者约束很多，也可以不用一条一条输入了，只需要一条循环便可以解决。得到结果。由结果显示：通过 8 次迭代可以得到全局最优值 24400。z 就是所需的决策变量矩阵，工厂 A 向乙地区供应 50 千吨自来水；工厂 B 向乙提供 50 千吨自来水，向丁提供 10 千吨自来水；工厂 C 向甲地区提供 40 千吨自来水，向丙地区提供 10 千吨自来水。结构后一部分为自来水供应的影子价格分析，与以前得到的结果相同。问题二是关于灵敏度分析，具体可参见优化问题课件，在此就不再赘述。摘自邬学军，周凯，宋军全编著,数学建模竞赛辅导教程,浙江大学出版社,2009。08,第 84 页2016 年 02 月 14
7、日【作业二】某公司出口换汇成本分析 对经营同一类产品出口业务的公司进行抽样调查, 被调查的 13 家公司,其出口换汇成本与商品流转费用率资料如下表。设出口换汇成本为 , 商品流转费Y用率为 。x公司 出口换汇成本 人民币/美元商品流转费用率（% ）公司 出口换汇成本 人民币/美元商品流转费用率（% ）1 1.40 4.20 8 1.60 5.502 1.20 5.30 9 2.00 4.103 1.00 7.10 10 1.00 5.004 1.90 3.70 11 1.60 4.005 1.30 6.20 12 1.80 3.406 2.40 3.50 13 1.40 6.907 1.40
8、4.80(1)求变量 Y 关于 x 的线性回归方程。(2)求 的无偏估计。2(3) 并估计某家公司商品流转费用率是 6.5%的出口换汇成本。【答案】令商品流转费用率为试验指标(因变量)y，令出口换汇成本为影响因变量的因素即自变量 x，然后用回归拟合建立起二者之间的关系，且令 ，用yabx回归模型解该方程的具体程序如下： x=1.40,1.20,1.00,1.90,1.30,2.40,1.40,1.60,2.00,1.00,1.60,1.80,1.40; y=4.20,5.30,7.10,3.70,6.20,3.50,4.80,5.50,4.10,5.00,4.00,3.40,6.90; X=o
9、nes(size(x),x; %执行回归命令 b,bint,r,rint,stats=regress(y,X,0.05) rcoplot(r,rint) %画出残差及它们的置信区间的图形问题一参数估计： 8.23,.167ab变量 y 关于 x 的线性回归方程： 8.23.167yx问题二的无偏估计体现的是回归方程的优化程度，因此：2检验： , 和 F 都相对较小，说明回归直线对样本数据=0.49581.6RF， 2R2016 年 02 月 14 日点的拟合程度低；问题三预测：利用回归线性方程可解得商品流转费用率为 6.5%是对应的出口换汇成本的近似值，具体程序如下：y0=6.5; x0=(8
10、.2333-y0)/2.1667;运行程序结果可得：（人民币/美元）0.8y【作业三】1、根据经验，当一种新商品投入市场后，随着人们对它的拥有量的增加，其销售量 下降的速度与 成正比。广告宣传可给销量添加一个增长速度，)(ts)(ts它与广告费 成正比，但广告只能影响这种商品在市场上尚未饱和的部分a（设饱和量为 ） 。建立一个销售 的模型。若广告宣传只进行有限时间 ，Mt 且广告费为常数 ，问 如何变化？)(ts【答案】根据经验，当一种新商品投入市场后，随着人们对它的拥有量的增加，其销售量 下降的速度与 成正比。广告宣传可给销量添加一个增长速度，)(ts)(ts它与广告费 成正比，但广告只能影
11、响这种商品在市场上尚未饱和的部分a（设饱和量为 ） 。建立一个销售 的模型。若广告宣传只进行有限时间 ，M)(t 且广告费为常数 ，问 如何变化？)(ts解：假设在没有广告宣传的情况下，销售量 的模型为：()st1()dstk在加入广告宣传后，销售量 随时间变化的情况如下：120()()()tsttatMsxdd其中 为 时间内的总销售量。0()tsx:如果广告宣传只进行有限的时间 ，则上述模型变为12 00()()() ,tkstatsxdtttd 2、在鱼塘投放尾鱼苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的质量将增加。设尾数的( 相对 )减少率为常数，由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与鱼的表面
12、积成正比，由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量成正比。分别建立尾数和每尾鱼重的微分方程，并求解。 【答案】在鱼塘投放尾鱼苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的质量将增加。2016 年 02 月 14 日设尾数的(相对) 减少率为常数，由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与鱼的表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量成正比。分别建立尾数和每尾鱼重的微分方程，并求解。 解：尾数的(相对)减少率为常数，可得以下微分方程： ()()dntkt由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与鱼的表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量本身成正比。可得以下微分方程： 12()()mtksttd【作
13、业四】假设岛上不断有大陆来的移民。再假设 r 时刻大陆上有 S 种人，岛上有种人。移居到岛上并在那边开拓殖民地的新人种的增加速度与大陆上尚未Nt移居到岛上的人种数 成比例，比例常数为 I。此外，人种的灭绝速度与SNt岛上的人种数成比例，比例常数为 E。证明岛上的人种数将达到一个平衡值，它近似为 。请近似画出其与 t 的函数曲线。IE【答案】由题中条件知岛上人种数 ，应满足以下微分方程Nt()dISEtISENtt其通解为 (1)(1)ttIteC由于 (1)(1)limliEtEttISISN因此得到题中结论。函数曲线为：【软件题】利用 Matlab 解决以下问题。2016 年 02 月 14
14、 日1、 对于 ,如果 , ，求解 X。AXB4986357302B代码A=4 9 8;4 6 4;3 5 7B=37;50;28X=AB结果2、 解方程组 。 （应用 x=ab)29013346x代码a=2 9 0;3 4 11;2 2 6b=13;6;6x=ab结果2016 年 02 月 14 日3、绘制曲线 ，x 的取值范围为-9,5 。( 应用 plot)31y代码x=-9:0.1:5;y=x.3+x+1;plot(x,y);结果【作业五】在一项调查降价折扣券对顾客的消费行为影响的研究中，商家对 1000 个顾客发2016 年 02 月 14 日放了商品折扣券和宣传资料。折扣券的折扣比
15、例分别为5%，10%，15%，20%， 30%.每种比例的折扣券均发放了 200 人，现在记录他们一个月内的使用折扣券购物的人数和比例数据如下表：折扣比例/% 持折扣券人数 使用折扣券人数 使用折扣券人数比例5 200 32 0.16010 200 51 0.25515 200 70 0.35020 200 103 0.51530 200 148 0.740（1） 对使用折扣券人数比例和折扣比例建立普通的一元线性回归模型。（2） 与（1）相比如想要使用折扣券人数比例为 25%，则折扣券的折扣比例应该为多大。【答案】（1）记 x 为折扣比例， 为使用折扣券人数比例，做 logit 变换x,普通的
16、一元线性回归模型为 ,这里没有给出*lni *01i ix误差项的形成，利用 MATLAB 统计工具箱中的命令 regress，可算出，通过检验，高度显著。*=2.1860.x（2）利用 glmfit 命令可以得到 , logln2.1850.71xitx x拟合程度也非常好。 （1）中模型表面上看起来很好，其实在做估计和检验时，需要对误差项作较强的限制，而 logit 回归克服了这一缺陷。 又由 ,0.5ln2.850.7x解得 ，故想要使用折扣券人数比例为 25%，则折扣券的折扣比例应该为1x10%。【软件题】在同一坐标系中画出 的图形。 （要求线型和颜色都不233,yxyx相同,且给出图
17、例）代码x=0:0.001:1.5;y1=sqrt(x);y2=x.2;y3=x.(1/3);y4=x.3;plot(x,y1,x,y2,x,y3,x,y4)legend(y=x1/2,y=x2,y=x1/3,y=x3);结果2016 年 02 月 14 日【作业六】面试时间最优化问题有四名同学到一家公司参加三个阶段的面试，公司要求每个同学都必须首先找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不容许插队（即：在任何一个阶段 4 名同学的顺序是一样的） ，由于 4 名同学的专业背景不同，所以没人再三个阶段的面试时间也不同，如下表所示： 这四名同学约定他们全部面试完成以后一起离
18、开公司，假定现在时间是早晨 8：00，问他们最早何时能离开公司？ （单位：分钟） 【答案】首先我们对给出的面试时间表格进行分析，用计算机编程算出任意两个求职者按照不同的顺序参加面试时，求职者等求职者的时间和考官等求职者的时间之和，然后用图论法建模，将算出的时间表达有向赋权图的权值，问题转化成求有向赋权图（图 1）中连接四个顶点的路径最短问题。我们利用 MATLAB秘书面试 主管复试 经理面试甲 13 15 20乙 10 20 18丙 20 16 10丁 8 10 152016 年 02 月 14 日编程，按从小到大的顺序依次找出 n-1（n 表示参加面试的人数）条权值最小边，然后用人工参与的方
19、式，将找出的 n-1 条边排出最优顺序。最后，得出丁、甲、乙、丙的顺序为最优方案，共用 84 分钟。即：三人可在 9：24 一起离开公司。以上为图论方法，还可以利用 0-1 规划。记 为第 i 名同学参加第 j 阶段面ijt试需要的时间 。 表示第 i 名同学参加第 j 阶段面试的时1,234;,ijijx间（可以记早上 8:00 面试开始 0 时刻） 。T 表示完成全部1,234;,j面试所花费的时间。目标函数为： 3minaxiiTt约束条件：（1）时间先后次序约束（每人只有参加完前一个阶段的面试后才能进入下一个阶段）：，,1ijijxt,234;1,j（2）每个阶段 j 同一时间只能面试
20、 1 名同学： 用 0 1变量 表示第 k 名同学是否排在第 i 名同学前面（1 表示“是”，iy0 表示“否”），则 ,2,34,2,3ijkjixtTykj，(1)kiki，利用 Lingo 同样可以解出结果。【软件题】设 ，试在 上求出该函数的极大、极小值。2sin2cosinxxfee-5,【答案】极小值x,y=fminbnd(exp(2*sin(x)*cos(x)-exp(2*cos(x)*sin(x),-5,5)x =2.1999y =-3.2140极大值x,y=fminbnd(-exp(2*sin(x)*cos(x)+exp(2*cos(x)*sin(x),-5,5)x =-0.6292y =3.2140
