高中数学典型例题解析平面解析几何.doc-道客多多

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1、1第七章平面解析几何初步7.1 直线和圆的方程一、知识导学 1两点间的距离公式:不论 A(x1， y1)，B( x2， y2)在坐标平面上什么位置，都有d=|AB|= 212)()(yx，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=| x2 1|或|AB|=| y2- 1|.2定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点 A(x1， y1)，B( 2， y2)，P( ，)之间数量关系的一个公式，其中的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后的值也就随之确定了.若以 A 为起点，B 为终点，P 为分点，则定比分点公式是 12yx.当 P

2、点为 AB的中点时，=1，此时中点坐标公式是 212yx.3直线的倾斜角和斜率的关系（1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.（2）斜率存在的直线，其斜率 k与倾斜角之间的关系是 k=tan.4确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围.名称方程说明适用条件斜截式 bkxyk为直线的斜率b 为直线的纵截距倾斜角为 90的直线不能用此式点斜式 )(00( 0,yx) 为直线上的已知点， k为直线的斜率倾斜角为 90的直线不能用此式两点式 12y= 12x( 1,)，( 2,)是直线上两个已知点与两坐标轴平行的直线不能用此式截距式

3、 ax+ b=1 a为直线的横截距b 为直线的纵截距过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式 0CByABA， C，分别为斜率、横截距和纵截距A、B 不全为零25两条直线的夹角。当两直线的斜率 1k, 2都存在且 1k 2 -1 时，tan=21k，当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的区别.6怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断.（1）斜率存在且不重合的两条直线 l1 1bxky， l2 2bxky，有以下结论： l

4、1 21k= 2，且 1 2 l1 21 2= -1（2）对于直线 l1 0CyBxA， 2 0CyBxA，当 A1， 2，B1， 2都不为零时，有以下结论： l1 2 1= 2 1 l1 2 1 2+ 1 2 = 0 l1与 2相交 21A B l1与 2重合 21A= B= 21C7点到直线的距离公式.（1）已知一点 P（ 0,yx）及一条直线 l： 0yx，则点 P 到直线 l的距离d= 20|BAC；（2）两平行直线 l1: 01yx， l2: 02CByAx之间的距离 d=2|.8确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系（1）圆的

5、标准方程： 22)()(rbyax，其中（ a，b）是圆心坐标， r是圆的半径；（2）圆的一般方程： 0FED（ FED420），圆心坐标为（- D，- E），半径为 r= 42.3二、疑难知识导析 1直线与圆的位置关系的判定方法.（1）方法一直线： 0CByAx；圆： 02FEyDxyx.02FEDyxCBA 消元一元二次方程 acb42 判别式相离相切相交（2）方法二直线: 0CByAx；圆： 2)()(ryx，圆心（ a，b）到直线的距离为d= 2|CBbAa 相交相切相离rd2两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为 O1、O 2，半径分别为 1， r

6、2，|O 1O2|为圆心距，则两圆位置关系如下：|O1O2|r1+ 2 两圆外离；|O1O2|= 1+ 2 两圆外切；| 1- 2|b0)上一点 M 向 x 轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点F1，A、B 分别是椭圆长、短轴的端点，ABOM 奎屯王新敞新疆设 Q 是椭圆上任意一点，当 QF2AB 时，延长 QF2与椭圆交于另一点 P，若F 1PQ 的面积为 20 3，求此时椭圆的方程奎屯王新敞新疆解：本题可用待定系数法求解奎屯王新敞新疆b=c, a= c，可设椭圆方程为 22cyx 奎屯王新敞新疆PQAB,k PQ=- 1bakAB，则 PQ 的方程为 y=

7、(x-c)，代入椭圆方程整理得 5x2-8cx+2c2=0，根据弦长公式，得 cPQ56 ,又点 F1到 PQ 的距离 d= 32c dPQSF1 254 ,由 ,25320c，得故所求椭圆方程为 102yx 奎屯王新敞新疆例 6已知椭圆： 92y，过左焦点 F 作倾斜角为 6的直线交椭圆于 A、B 两点，求弦 AB 的长奎屯王新敞新疆解：a=3,b=1,c=2 ; 则 F（-2 ，0）由题意知： )2(31:xyl与 192yx联立消去 y 得：0524x设 A（ ),1y、B（ ),2yx，则 21,x是上面方程的二实根，由违达定理，321x154152x， 231xM

8、又因为 A、B、F 都是直线 l上的点，所以|AB|= 2158324)(|312121 x点评：也可利用“焦半径”公式计算奎屯王新敞新疆例 7 （06 年全国理科）设 P 是椭圆 )(2ayx短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求PQ的最大值.解：依题意可设 P（0,1），Q（ x,），则PQ 22)1(yx，又因为 Q 在椭圆上，所以， )1(22yax，PQ 2 )1(2ya 21aya 22)( .因为 |y1， 1，若，则 |1|2a1，当 21ay时，PQ取最大值2a；若 1 a 2，则当 y时，PQ取最大值 2.例 8已知双曲线的中心在原点，过右焦点 F（2

9、，0）作斜率为 53的直线，交双曲线于M、N 两点，且 =4，求双曲线方程奎屯王新敞新疆解：设所求双曲线方程为 )0,(12bayx，由右焦点为（2，0）奎屯王新敞新疆知 C=2，b 2=4-a2则双曲线方程为 422ayx，设直线 MN 的方程为： )2(53xy，代入双曲线方程整理得：(20-8 2)x2+12 2x+5 4-32 2=0 设 M（x 1,y1）,N(x 2,y2),则 22180ax， 242180ax 奎屯王新敞新疆2121453N80382022 aa16解得 12a， 3142b 奎屯王新敞新疆故所求双曲线方程为： 2yx 奎

10、屯王新敞新疆点评：利用待定系数法求曲线方程，运用一元二次方程的根与系数关系将两根之和与积整体代入，体现了数学的整体思想，也简化了计算，要求学生熟练掌握奎屯王新敞新疆四、典型习题导练 1. 设双曲线 )0,(12bayx两焦点为 F1、F 2,点 Q 为双曲线上除顶点外的任一点,过F1作F 1QF2的平分线的垂线,垂足为 P,则点 P 的轨迹是（）A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分C.抛物线的一部分 D.圆的一部分.2已知点(-2，3)与抛物线 y2=2px(p0)的焦点的距离是 5，则 p= .3.平面内有两定点 4)()301),( 22yxBA），在圆（，（

11、和上，求一点 P 使2BPA取得最大值或最小值，并求出最大值和最小值.4.已知椭圆 )0(12bayx的离心率为 2.（1）若圆（x-2） 2+(y-1)2= 30与椭圆相交于 A、B 两点且线段 AB 恰为圆的直径，求椭圆方程；（2）设 L 为过椭圆右焦点 F 的直线，交椭圆于 M、N 两点，且 L 的倾斜角为 600，求 NFM的值.5.已知抛物线方程为 )(12pxy，直线 myxl:过抛物线的焦点 F 且被抛物线截得的弦长为 3，求 p 的值6.线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M（m,0）（m0），端点 A、B 到 x 轴距离之积为 2，以 x轴为对称轴，过 A，O，B 三点

12、作抛物线奎屯王新敞新疆（1）求抛物线方程；（2）若 mtg，求1的取值范围奎屯王新敞新疆7.3 点、直线和圆锥曲线一、知识导学 1 点 M(x0，y 0)与圆锥曲线 C：f(x，y)=0 的位置关系已知 2bax（ab0）的焦点为 F1、F 2, 12byax（a0,b0）的焦点为 F1、F 2， pxy(p0)的焦点为 F，一定点为 P(x0，y 0)，M 点到抛物线的准线的距离为 d，则有：17上述结论可以利用定比分点公式，建立两点间的关系进行证明2直线 lAxB yC=0 与圆锥曲线 Cf(x，y)0 的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离对

13、于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：设直线 l:Ax+By+C=0,圆锥曲线 C:f(x,y)=0,由 0y)f(x,CBA消去 y(或消去 x)得:ax 2+bx+c=0,=b 2-4ac,（若 a0 时），0 相交 0 相离 = 0 相切注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件二、疑难知识导析 1椭圆的焦半径公式：（左焦半径） 01exar,（右焦半径） 02exar,其中是离心率。焦点在 y 轴上的

14、椭圆的焦半径公式：021eyMF（其中 21,F分别是椭圆的下上焦点）.焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关奎屯王新敞新疆可以记为：左加右减，上减下加.2双曲线的焦半径定义：双曲线上任意一点 M 与双曲线焦点 21,F的连线段，叫做双曲线的焦半径.焦点在 x 轴上的双曲线的焦半径公式：18021exaMF焦点在 y 轴上的双曲线的焦半径公式： 021e（其中 21,F分别是双曲线的下上焦点）3双曲线的焦点弦：定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦。焦点弦公式：当双曲线焦点在 x 轴上时，过左焦点与左支交于两点时： )(221xeaAB；过右焦点与右

15、支交于两点时：。当双曲线焦点在 y 轴上时，过左焦点与左支交于两点时： )(221yea；过右焦点与右支交于两点时： AB。4双曲线的通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦奎屯王新敞新疆 abd2.5直线和抛物线（1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）.联立 pxybk2，得关于 x 的方程 02cbxa当 0a（二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）；当，则若，两个公共点（交点）；，一个公共点（切点）；，无公共点（相离）.（2）相交弦长：弦长公式： 21kad.（3）焦点弦公式：抛物线 )0(2pxy， )(21

16、xpAB.抛物线， .19抛物线 )0(2pyx， )(21ypAB.抛物线， .（4）通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦奎屯王新敞新疆通径： pd2.（5）常用结论：pxyk2)( 022pyk和 04)(222 kxkx21和 421.三、经典例题导讲例 1求过点 ),0(的直线，使它与抛物线 xy2仅有一个交点.错解：设所求的过点 1,的直线为 1k，则它与抛物线的交点为xyk21，消去 y得 .02)(xk整理得 .01)2(2xkx直线与抛物线仅有一个交点， ,解得.1k所求直线为.y正解：当所求直线斜率不存在时，即直线垂直 x轴，因为过点 )1,0(，所

17、以 ,0x即y轴，它正好与抛物线 xy2相切.当所求直线斜率为零时，直线为 y = 1 平行轴，它正好与抛物线 2只有一个交点.一般地，设所求的过点 ),0(的直线为 kx)0(k,则 xyk12，.0)(2k令 ,解得 k = , 所求直线为 .12xy12综上，满足条件的直线为： .,1xyxy例 2已知曲线 C： 20与直线 L： m仅有一个公共点，求 m 的范围.20错解：曲线 C： 20xy可化为 2042y，联立 2042yxm，得：4852mx，由 0,得 5m.错因：方程与原方程并不等价，应加上 ,0y.正解：原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分.（如图），结合图形易求得 m

18、的范围为 525或 .注意：在将方程变形时应时时注意范围的变化，这样才不会出错.例 3已知双曲线 12yx，过 P(1,1)能否作一条直线 L 与双曲线交于 A、B 两点，且P 为 AB 中点.错解：（1）过点 P 且与 x 轴垂直的直线显然不符合要求.（2）设过 P 的直线方程为 )1(xky，代入 12yx并整理得：02)1()(2xkxk 221，又 1 )(2k解之得：k=2，故直线方程为：y=2x-1,即直线是存在的.正解：接以上过程，考虑隐含条件“0” ，当 k=2 时代入方程可知 0，故这样的直线不存在.例 4已知 A、B 是圆 12yx与 x 轴的两个交点，CD 是垂直于 A

19、B 的动弦，直线 AC 和DB 相交于点 P，问是否存在两个定点 E、F, 使 | | PE | PF | | 为定值？若存在，求出 E、F 的坐标；若不存在，请说明理由. 解：由已知得 A (1, 0 )、B ( 1, 0 ),设 P ( x, y ), C ( 0,yx) , 则 D ( 0,yx),由 A、C、P 三点共线得 10 由 D、B、P 三点共线得 0xy 得 1202xy 又 02, 20x，代入得 12yx，oyxOACDBP21即点 P 在双曲线 12yx上，故由双曲线定义知，存在两个定点 E ( 2, 0 )、F ( 2, 0 )（即此双曲线的焦点），使 | |

20、PE | PF | | = 2 (即此双曲线的实轴长为定值).例 5已知椭圆的中心在坐标原点 O，焦点在坐标轴上，直线 y=x+1 与该椭圆相交于 P 和Q，且 OPOQ，PQ= 21，求椭圆的方程.解：设所求椭圆的方程为 byax=1. 依题意知，点 P、Q 的坐标满足方程组： 1xyba2将代入，整理得0)1()( 222 bax，设方程的两个根分别为、，则直线 y=x+1 和椭圆的交点为P( 1x, +1)，Q( 2, +1)由题设 OPOQ，OP= ，可得 22121221 )0()()()(xx整理得 056)(42121xx解这个方程组，得 2312x或 21412x根据根与

21、系数的关系，由式得(1) 41)(2ba或 (2) 41)(2ba解方程组(1)、(2)得32或 23故所求椭圆方程为2232yx =1 ，或 23yx =1.例 6（06 年高考湖南）已知椭圆 C1： 342y1，抛物线 C2：)0(2)(pxmy，且 C1、C 2的公共弦 AB 过椭圆 C1的右焦点。（1）当 AB x轴时，求、的值，并判断抛物线 C2的焦点是否在直线 AB 上；（2）若 p 34，且抛物线 C2的焦点在直线 AB 上，求的值及直线 AB 的方程.解：（1）当 AB x轴时，点 A、B 关于 x轴对称，所以 m0，直线 AB 的方程为 x1，从而点 A 的坐标为（

22、1， 23）或（1， 23），因为点 A 在抛物线上，所以 p49， 89.此时，抛物线 C2的焦点坐标为（ 16，0），该焦点不在直线 AB 上.(2)当抛物线 C2的焦点在直线 AB 上时，由（1）知直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 )1(xky.由 342消去 y得 01248)43(22kxk 设 A、B 的坐标分别为（ 1,x）、（ 2,y）.则 1x， 2是方程的两根， 43k.因为 AB 既是过 C1的右焦点的弦，又是 C2的焦点的弦，所以AB（2 x）（2 x）4)(1x，且AB（ 21p）（ 2px） px21 3421x.从而 34x4 )(1所以

23、9621，即 28k96解得 k.因为 C2的焦点 F、（ m,3）在直线 )1(xy上，所以 km31，即 6当 3时直线 AB 的方程为 )1(6xy；23当 36m时直线 AB 的方程为 )1(6xy.四、典型习题导练 1顶点在原点，焦点在 x 轴上的抛物线被直线 l： y=2x+1 截得的弦长为 15，则抛物线方程为 2.直线 m：y=kx+1 和双曲线 x2y 2=1 的左支交于 A、B 两点，直线 l 过点 P（2，0）和线段 AB 的中点，则直线 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围为 3 对称的两点，上存在

24、关于直线已知椭圆 mxylC21492试求 m 的取值范围.4 设过原点的直线 l 与抛物线 y2=4(x1)交于 A、B 两点，且以 AB 为直径的圆恰好过抛物线的焦点 F，（1）求直线 l 的方程；（2）求|AB|的长.5 如图，过抛物线 y2=4x 的顶点 O 作任意两条互相垂直的弦OM、ON，求(1)MN 与 x 轴交点的坐标；(2)求 MN 中点的轨迹方程.9设曲线 C 的方程是 yx 3-x，将 C 沿 x 轴、y 轴正向分别平行移动t,s 单位长度后得曲线 C1.(1)写出曲线 C1的方程；(2)证明曲线 C 与 C1关于点 A( 2,st)对称；(3)如果曲线

25、C 与 C1 有且仅有一个公共点，证明 s t43且 t0.247.4 轨迹问题一、知识导学 1.方程的曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.2.点与曲线的关系若曲线 C 的方程是 f(x,y)=0，则点 P0(x0,y0)在曲线 C 上 f(x0,y0)=0；点 P0(x0,y0)不在曲线 C 上 f(x0,y0)0 两条曲线的交点若曲线 C1，C

26、2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点 P0(x0,y0)是 C1，C 2的交点 ),(021yxf方程组有 n 个不同的实数解，两条曲线就有 n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.3.圆锥曲线的统一定义平面内的动点 P(x,y)到一个定点 F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l的距离之比是一个常数 e(e0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点 F(c,0)称为焦点，定直线 l 称为准线，正常数 e 称为离心率.当 0e1 时，轨迹为椭圆当 e=1 时，轨迹为抛物线当 e1 时，轨迹为双曲线4.坐标变换（1）坐标变换在解析几何中，把坐标系的变

27、换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴.（2）坐标轴的平移公式设平面内任意一点 M，它在原坐标系 xOy 中的坐标是（x,y)，在新坐标系 x Oy中的坐标是(x,y).设新坐标系的原点 O在原坐标系 xOy 中的坐标是(h,k)，则(1)kyh或 (2) kyhx公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式.二、疑难知识导析 1.在求曲线轨迹方程的过程中,要注意：(1)理解题意,弄清题

28、目中的已知和结论,发现已知和未知的关系,进行知识的重新组合；(2)合理进行数学语言间的转换,数学语言包括文字语言、符号语言和图形语言,通过审题画出必要的图形或示意图,把不宜于直接计算的关系化为能直接进行数学处理的关系式,把不便于进行数学处理的语言化为便于数学处理的语言；(3)注意挖掘题目中的隐含条件；(4)注意反馈和检验.2.求轨迹方程的基本方法有：(1)直接法：若动点满足的几何条件是一些几何量的等量关系,则将这些关系“翻译”成 x,y 的关系式,由此得到轨迹方程.一般步骤是：建立坐标系设点列式代换化简、整理.25(2)定义法：即当动点的轨迹满足的条件符合某种特殊曲线的定义时,则可根据这种曲线

29、的定义建立方程.(3)待定系数法：已知动点的轨迹是某种圆锥曲线,则可先设出含有待定系数的方程,再根据动点满足的条件确定待定系数.(4)相关点法：当动点 P(x,y)随着另一动点 Q(x1,y1)的运动而运动时,而动点 Q 在某已知曲线上,且 Q 点的坐标可用 P 点的坐标来表示,则可代入动点 Q 的方程中,求得动点 P 的轨迹方程.(5)参数法：当动点 P 的坐标 x、 y 之间的直接关系不易建立时,可适当地选取中间变量t,并用 t 表示动点的坐标 x、 y,从而得到动点轨迹的参数方程 ,消去 t,便可得动点 P 的普通方程.另外,还有交轨法、几何法等.3.在求轨迹问题时常用的数学思想是：(1

30、)函数与方程的思想：求平面曲线的轨迹方程,是将几何条件(性质)表示为动点坐标x、 y 的方程及函数关系；(2)数形结合的思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合；(3)等价转化的思想：通过坐标系使“数”与“形”相互结合,在解决问题时又需要相互转化.三、经典例题导讲例 1如图所示，已知 P(4，0)是圆 x2+y2=36 内的一点， A、 B 是圆上两动点，且满足 APB=90，求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程.解：设 AB 的中点为 R，坐标为( x,y)，则在 Rt ABP 中，| AR|=|PR|.又因为 R 是弦 AB 的中点，依垂径定理：在 Rt OAR 中

31、，|AR|2=|AO|2| OR|2=36( x2+y2)又| AR|=|PR|= 4所以有( x4) 2+y2=36( x2+y2),即 x2+y24 x10=0因此点 R 在一个圆上，而当 R 在此圆上运动时， Q 点即在所求的轨迹上运动.设 Q(x,y)， R(x1,y1)，因为 R 是 PQ 的中点，所以 x1= 20,41y,代入方程 x2+y24 x10=0,得)(10=0整理得 x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程. 技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.例 2某检验员通常

32、用一个直径为 2 cm 和一个直径为 1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为 3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？解：设直径为 3,2,1 的三圆圆心分别为 O、 A、 B，问题转化为求两等圆 P、 Q,使它们与 O 相内切，与 A、 B 相外切.建立如图所示的坐标系，并设 P 的半径为 r,则|PA|+|PO|=1+r+1.5 r=2.5点 P 在以 A、 O 为焦点，长轴长 2.5 的椭圆上，其方程为325)41(6yx=1 26同理 P 也在以 O、 B 为焦点，长轴长为 2 的椭圆上，其方程为(x 21)2+ 34y2=1 由

33、、可解得 )14,9(),1(Q， r= 73)142(923故所求圆柱的直径为 76 cm.例 3 直线 L： )5(xky与圆 O： 62yx相交于 A、B 两点，当 k 变动时，弦 AB的中点 M 的轨迹方程.错解：易知直线恒过定点 P（5,0），再由 PM，得：222O 5)(yxy，整理得：4252x分析：求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性。本题中注意到点 M 应在圆内，故易求得轨迹为圆内的部分，此时 5160x.例 4 已知 A、 B 为两定点，动点 M 到 A 与到 B 的距离比为常数 ,求点 M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线.解：建立坐标系如图所示，设| AB|=2a,

34、则 A( a,0）, B(a,0).设 M(x,y）是轨迹上任意一点.则由题设，得 |= ,坐标代入，得 2)(yax= ,化简得(1 2)x2+(1 2)y2+2a(1+ 2)x+(1 2)a2=0(1)当 =1 时，即| MA|=|MB|时，点 M 的轨迹方程是 x=0，点 M 的轨迹是直线( y 轴).(2)当 1 时，点 M 的轨迹方程是 x2+y2+ 21(x+a2=0.点 M 的轨迹是以( 21)a，0)为圆心， |1|2a为半径的圆.例 5若抛物线 y=ax2-1 上，总存在不同的两点 A、B 关于直线 y+x=0 对称，求实数 a 的取值范围.分析：若存在 A、B 关于直线 y

35、+x=0 对称，A、B 必在与直线 y+x=0 垂直的直线系中某一条与抛物线 y=ax2-1 相交的直线上，并且 A、B 的中点 M 恒在直线 y+x=0 上.解：如图所示，设与直线 y+x=0 垂直的直线系方程为27y=x+b由 12axyb 得ax2-x-(b+1)=0 令 0 即 (-1) -4a-(b+1)0 整理得 4ab+4a+10 在的条件下，由可以得到直线 y=x+b、抛物线 y=ax2-1 的交点 A、B 的中点 M 的坐标为（ a21, +b）,要使 A、B 关于直线 y+x=0 对称，则中点 M 应该在直线 y+x=0 上，所以有+（ +b）=0 即 b=- 代入解不等式

36、得 a 43因此，当 a 43时，抛物线 y=ax2-1 上总存在不同的两点 A、B 关于直线 y+x=0 对称.四、典型习题导练 1.已知椭圆的焦点是 F1、 F2， P 是椭圆上的一个动点，如果延长 F1P 到 Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点 Q 的轨迹是( )A.圆 B.椭圆C.双曲线的一支 D.抛物线2.高为 5 m 和 3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距 10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为 A(5，0)、 B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_.3设直线 2x-y- =0 与 y 轴的交点为 P，点 P 把圆(x+1) 2+y2 25 的直

37、径分为两段，则其长度之比是 4.已知 A、 B、 C 是直线 l上的三点，且| AB|=|BC|=6， O切直线 l于点 A，又过 B、 C 作 O异于 l的两切线，设这两切线交于点 P，求点 P 的轨迹方程.5.双曲线 2byax=1 的实轴为 A1A2，点 P 是双曲线上的一个动点，引A1Q A1P， A2Q A2P， A1Q 与 A2Q 的交点为 Q，求 Q 点的轨迹方程.6.已知椭圆 byax=1(a b0),点 P 为其上一点， F1、 F2为椭圆的焦点， F1PF2的外角平分线为 l，点 F2关于 l的对称点为 Q， F2Q 交 l于点 R.28(1)当 P 点在椭圆上运动时，求

38、R 形成的轨迹方程；(2)设点 R 形成的曲线为 C，直线 l： y=k(x+ 2a)与曲线 C 相交于 A、 B 两点，当AOB 的面积取得最大值时，求 k 的值.75 综合问题选讲一、知识导学 (一)直线和圆的方程1理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程. 2掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系.3了解二元一次不等式表示平面区域. 4了解线性规划的意义，并会简单的应用.5了解解析几何的基本思想，了解坐标法.6掌握圆的标准方程和一般方程，了解

39、参数方程的概念，理解圆的参数方程.(二)圆锥曲线方程1 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质.2 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.3 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.4了解圆锥曲线的初步应用.（三）目标1.能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了.2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目

40、标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.3.理解“曲线的方程” 、 “方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法.4掌握圆的标准方程： 22)()(rbyax（r0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程： FEyDx，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程 cos

41、inxry（为参数），明确各字母的意义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法.5正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握 a、b、 c、 p、 e之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、29双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并

42、掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法.二、疑难知识导析 1 直线的斜率是一个非常重要的概念，斜率 k反映了直线相对于 x轴的倾斜程度.当斜率 k存在时，直线方程通常用点斜式或斜截式表示，当斜率不存在时，直线方程为x=a（ R）.因此，利用直线的点斜式或斜截式方程解题时，斜率 k存在与否，要分别考虑. 直线的截距式是两点式的特例， a、b 分别是直线在 x轴、 y轴上的截距，因为0，b0，所以当直线平行于 x轴、平行于 y轴或直线经过原点，不能用截距式求出它的方程，而应选择其它形式求解.求解直线方程的最后结果，如无特别强调，都应写成一般式.当直线 1l或 2的斜率不存在

43、时，可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直在处理有关圆的问题，除了合理选择圆的方程，还要注意圆的对称性等几何性质的运用，这样可以简化计算.2. 用待定系数法求椭圆的标准方程时，要分清焦点在 x轴上还是 y轴上，还是两种都存在.注意椭圆定义、性质的运用，熟练地进行 a、b、 c、 e间的互求，并能根据所给的方程画出椭圆.求双曲线的标准方程应注意两个问题：正确判断焦点的位置；设出标准方程后，运用待定系数法求解.双曲线 12byax的渐近线方程为 xay或表示为 02by.若已知双曲线的渐近线方程是 xnm，即 0n，那么双曲线的方程具有以下形式：kynxm22，其中是一个不为零的常数.

44、双曲线的标准方程有两个 12bya和 12bxa（ a0，b0）.这里22acb，其中| 1F2|=2c.要注意这里的、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再由条件确定参数 p的值.同时，应明确抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个，就可以求出其他两个.三、经典例题导讲例 1已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点，AB=2、OT= t(0 1)，以 AB 为直腰作直角梯形 BA，使

45、垂直且等于 AT，使 B垂直且等于 BT， BA交半圆于 P、Q 两点，建立如图所示的直角坐标系.(1)写出直线的方程；（2）计算出点 P、Q 的坐标；（3）证明：由点 P 发出的光线，经 AB 反射后，反射光线通过点 Q. 解: (1 ) 显然 tA1, ，tB1 于是直线 B的方程为 xy；（2）由方程组 ,2tx解出 30),(10P、 ),(221ttQ；（3） tkPT0, ttttkQT 11202)(.由直线 PT 的斜率和直线 QT 的斜率互为相反数知，由点 P 发出的光线经点 T 反射，反射光线通过点 Q.例 2设 P 是圆 M：( x-5)2+( y-5)2=1 上

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