1、第 9 课时 动态型问题动态型试题比较侧重图形的旋转、平移、对称、翻折，在这里重点考察学生几何图形的认识，对称、全等、相似，是对数学综合能力的考察动态型试题.对学生的思维要求比较高，对题目的理解要清晰，明确变化的量之间的关系，同时还要明确不变的量有那些，抓住关键，理清思路。动态几何型问题体现的数学思想方法是数形结合思想，这里常把函数与方程、函数与不等式联系起来，实际上是一般化与特殊化方法当求变量之间关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；当求特殊位置关系和值时，常建立方程模型求解类型之一 探索性的动态题探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断。探索型问题一般没有明确的结
2、论，没有固定的形式和方法，需要学生自己通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需要的结论或方法或条件，用考察学生的分析问题和解决问题的能力和创新意识。1.（宜昌市）如图，在 RtABC 中，AB=AC，P 是边 AB（含端点）上的动点，过 P 作 BC 的垂线 PR，R 为垂足，PRB 的平分线与 AB相交于点 S，在线段 RS 上存在一点 T，若以线段 PT 为一边作正方形PTEF，其顶点 E、F 恰好分别在边 BC、AC 上.（1）ABC 与SBR 是否相似？说明理由；OACB xy（2）请你探索线段 TS 与 PA 的长度之间的关系；（3）设边 AB=1，当 P 在边 A
3、B（含端点）上运动时，请你探索正方形 PTEF 的面积 y 的最小值和最大值.2（南京市）如图，已知 的半径为 6cm，射线 经过点 ，OAPMO，射线 与 相切于点 两点同时从点 出发，10cmOPPNQB，点 以 5cm/s 的速度沿射线 方向运动，点AM以 4cm/s 的速度沿射线 方向运动设运B动时间为 st（1）求 的长；PQ（2）当 为何值时，直线 与 相切？tABO类型之二 存在性动态题存在性动态题运用几何计算进行探索的综合型问题，要注意相关的条件,可以先假设结论成立，然后通过计算求相应的值，再作存在性的判断. 3.如图，直线 和 x 轴、 y 轴的交点分别为 B、 C，点 A
4、的坐43y标是（-2，0） （1）试说明 ABC 是等腰三角形；（2）动点 M 从 A 出发沿 x 轴向点 B 运动，同时动点 N 从点B 出发沿线段 BC 向点 C 运动，运动的速度均为每秒 1 个单位长度当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动设 M 运动t 秒时， MON 的面积为 S 求 S 与 t 的函数关系式； 设点 M 在线段 OB 上运动时，是否存在 S=4 的情形？若存在，求出对应的 t 值；若不存在请说明理由；在运动过程中，当 MON 为直角三角形时，求 t 的值4(湖州市) 已知：在矩形 中， ， 分别以AOBC43OA所在直线为 轴和 轴，建立如OBA， xy图所示的平
5、面直角坐标系 是边F上的一个动点（不与 重合） ，CBC，过 点的反比例函数 的图象F(0)kyx与 边交于点 AE（1）求证： 与 的面积相等；O BF（2）记 ，求当 为何值时， 有最大值，最大值为多EFCS kS少？（3）请探索：是否存在这样的点 ，使得将 沿 对折后，FCEF点恰好落在 上？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明COB理由5.（白银市）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是矩形，点 B 的坐标为（4，3） 平行于对角线AC 的直线 m 从原点 O 出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，设直线 m 与矩形 OABC 的两边分别交于点M、 N，直
6、线 m 运动的时间为 t（秒） (1) 点 A 的坐标是_，点 C 的坐标是_；(2) 当 t= 秒或 秒时， MN= AC；21(3) 设 OMN 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式；(4) 探求(3)中得到的函数 S 有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由类型之三 开放性动态题开放性问题的条件或结论不给出，即条件开放或结论开放，需要我们充分利用自己的想像，大胆猜测，发现问题的结论，寻找解决问题的方法，正确选择解题思路。解答开放性问题的思维方法及途径是多样的，无常规思维模式。开放性问题的条件、结论和方法不是唯一的，要对问题充分理解，分析条件引出结论，达到完善求解的目的。6
7、.（苏州）如图，在等腰梯形 中， ， ，ABCDBC 5AD， 动点 从 点出发沿 以每秒 1 个单位的速度向6AD12BCP终点 运动，动点 从 点出发沿 以每秒 2 个单位的速度向 点QB运动两点同时出发，当 点到达 点时， 点随之停止运动CQ（1）梯形 的面积等于 ABCD；（2）当 时，P 点离开 D 点的时间Q等于 秒；（3）当 三点构成直角三角形时， 点离开 点多少时间？C， ， PD7.（福州）如图，已知 ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点P、 Q 同时从 A、 B 两点出发，分别沿 AB、 BC 匀速运动，其中点 P 运动的速度是 1cm/s，点 Q 运动的速度是 2
8、cm/s，当点 Q 到达点 C 时，P、 Q 两点都停止运动，设运动时间为 t（s） ，解答下列问题：（1）当 t2 时，判断 BPQ 的形状，并说明理由；（2）设 BPQ 的面积为 S（ cm2） ，求 S 与 t 的函数关系式；（3）作 QR/BA 交 AC 于点 R，连结 PR，当 t 为何值时， APRPRQ？8.（苏州）课堂上，老师将图中AOB 绕 O 点逆时针旋转，在旋转中发现图形的形状和大小不变，但位置发生了变化当AOB旋转 90时，得到A 1OB1已知 A（4，2） ，B（3，0） （1）A 1OB1的面积是 ；A 1点的坐标为（ ， ） ；B 1点的坐标为（ ， ） ；（2）
9、课后，小玲和小惠对该问题继续进行探究，将图中AOB 绕AO 的中点 C（2，1）逆时针旋转 90得到AOB，设 OB交 OA 于 D，OA交 x 轴于 E此时 A，O和 B的坐标分别为（1，3） ， （3，-1）和（3，2） ，且 OB经过 B 点在刚才的旋转过程中，小玲和小惠发现旋转中的三角形与AOB 重叠部分的面积不断变小，旋转到 90时重叠部分的面积（即四边形 CEBD 的面积）最小，求四边形 CEBD 的面积（3）在（2）的条件下，AOB 外接圆的半径等于 第 9 课时 动态型问题答案1.【解析】要想证明ABC 与SBR 相似，只要证明其中的两个角相等即可；要想得到 TS=PA，只要证
10、明TPSPFA 即可；对于（3） ，需要建立正方形 PTEF 的面积 y 与 AP 的函数关系式，利用函数的极值来解决.【答案】解：(1) RS 是直角 PRB 的平分线， PRS BRS45.在 ABC 与 SBR 中， C BRS45， B 是公共角， ABC SBR (2)线段 TS 的长度与 PA 相等.四边形 PTEF 是正方形， PF PT， SPT FPA180 TPF90,在 Rt PFA 中， PFA FPA90, PFA TPS，R t PAFRt TSP， PA TS.当点 P 运动到使得 T 与 R 重合时，这时 PFA 与 TSP 都是等腰直角三角形且底边相等，即有
11、PA TS. 由以上可知，线段 ST 的长度与 PA 相等.(3)由题意， RS 是等腰 Rt PRB 的底边 PB 上的高， PS BS, BS PS PA 1, PS .12PA设 PA 的长为 x，易知 AF=PS，则 y PF PA PS ,得 y x ( )222 ,2即 y ，(5 分)514x根据二次函数的性质，当 x 时， y 有15 最小值为 .5如图 2，当点 P 运动使得 T 与 R 重合时，PA TS 为最大.易证等腰 Rt PAF等腰 Rt PSR等腰Rt BSR， PA .13如图 3，当 P 与 A 重合时，得 x0. x 的取值范围是 0 x .13当 x 的值
12、由 0 增大到 时， y 的值由 减小到5145当 x 的值由 增大到 时， y 的值由 增大到 29 ，在点 P 的运动过程中，15294正方形 PTEF 面积 y 的最小值是 ， y 的最大值是 .15142.【解析】本题是双动点问题，解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系，动中取静，静中求动。【答案】解：（1）连接 OQ与 相切于点 ，PNOA，即 OQPN90， ，10628(cm)（2）过点 作 ，垂足为 OCABC点 的运动速度为 5cm/s，点 的运动速度为 4cm/s，运动时间为As，t， 5Pt
13、4Bt， ， 10O8QPABOQ， 90PBA，QOCB四边形 为矩形， QOC的半径为 6，A时，直线 与 相切BQOCAB当 运动到如图 1 所示的位置84Pt由 ，得 解得 6BQ60.5(s)t当 运动到如图 2 所示的位置A48Pt由 ，得 6BQ6解得 3.5(s)t所以，当 为 0.5s 或 3.5s 时直线 与AB相切OA3.【答案】 （1）将 代入 ，得 ， 点 的坐标为0y43x3B；(30)，将 代入 ，得 ， 点 的坐标为 x43yx4yC(04)，在 中， ， ， RtOBC 3OB5又 ， ， ， 是等腰三角形(20)A， 5AA（2） ，故点 同时开始运动，同时
14、停止运动MN，过点 作 轴于 ，NDx则 ，4sin5BOCtA当 时（如图甲） ，02t，M14()25SONDtAA45t当 时（如图乙） ，2OMt14(2)5SNDttAA245t（注：若将 的取值范围分别写为t和 也可以）02t 5 存在 的情形4S当 时， 25t解得 ， （不合题意，舍去） 1t21，故当 时， 秒15t4S1t当 轴时， 为直角三角形MNxON，又 3cos5BtA5MBt， 35t28t当点 分别运动到点 时， 为直角三角形， N， C， ON 5t故 为直角三角形时， 秒或 秒MO 258tt4. 【答案】 （1）证明：设 ， ， 与 的面1()Exy， 2
15、()Fxy， AE FOB积分别为 ， ，S2由题意得 ， 1kyx2， 112S1Sxyk，即 与 的面积相等AOE FB（2）由题意知： 两点坐标分别为 ， ， 3kE， 4kF，11432ECFSkA OOEBFECBSS 矩 形121Ckk 12OEFCECFSkS 43221k当 时， 有最大值16kS3142S最 大 值（3）解：设存在这样的点 ，将 沿 对折后， 点恰好落在FCE FC边上的 点，过点 作 ，垂足为 OBMENOBN由题意得： ，3NA， ，14ECk14FCk，90BBMN又 ，90EFB ， ，NMF14323kk94B， ，解得 22F2291344kk21
16、8k143k存在符合条件的点 ，它的坐标为 2143，5.【解析】该题所蕴涵的知识量较大，并以动态形式，着重考查了四边形、三角形、相似形、平面直角坐标系、二次函数、不等式组等知识点，且解法思路多样化，易于发展学生的各种思维能力。【答案】解：(1)（4，0） ， （0，3） ；(2) 2，6；(3) 当 0t4 时， OM=t由 OMN OAC，得 ，OCNAM ON= ，S= t4328t当 4t8 时，如图， OD=t， AD= t4 方法一：由 DAM AOC，可得 AM= ， BM=6 )4(3t t43由 BMN BAC，可得 BN= =8t， CN=t4 BMS=矩形 OABC 的面
17、积Rt OAM 的面积 Rt MBN 的面积 Rt NCO的面积=12- - （8t） （6- ）-)4(23t1t43)4(2t= 8方法二：易知四边形 ADNC 是平行四边形， CN=AD=t-4， BN=8-t由 BMN BAC，可得 BM= =6 ， AM= ，以下BN43t43)4(3t同方法一(4) 有最大值方法一：当 0t4 时， 抛物线 S= 的开口向上，在对称轴283tt=0 的右边， S 随 t 的增大而增大， 当 t=4 时，S 可取到最大值 =6；24当 4t8 时， 抛物线 S= 的开口向下，它的顶点是t38（4，6） ， S6 综上，当 t=4 时，S 有最大值 6
18、 方法二： S= 230488ttt， ， 当 0t8 时，画出 S 与 t 的函数关系图像，如图所示显然，当 t=4 时，S 有最大值 6 6.【解析】这是一个集几何、代数知识于一体的综合题，既能考查学生的创造性思维品质，又能体现学生的实际水平和应变能力，其解题策略是“动”中求“静” ， “一般”中见“特殊” ，抓住要害，各个击破【答案】解：（1）36；（2） 秒；158（3）当 三点构成直角三角形时，PQC， ，有两种情况：当 时，设 点离开 点 秒，BDx作 于 ， DECPQE， ， P523x15x当 时， 点离开 点 秒B3当 时，设 点离开 点 秒，QCDPDx， 90PEC C
19、D523x51x当 时，点 离开点 秒QPPD2由知，当 三点构成直角三角形时，点 离开点 秒或C， ， PD153秒2517.【解析】解决运动型的问题，关键是将其运用过程在头脑当中预演一遍，找准其运用时各个量的变化规律，再动中取静，得到相关量之间的关系【答案】解：（1） 是等边三角形BPQ当 时 2t2124A，64BPQ又 ，0是等边三角形BP（2）过 作 ，垂足为 QEABE由 ，得 t2sin603tt由 ，得 AP211(6)3322BQSEttt（3） ，R6060CAQCB ，又 ， 是等边三角形2QRt，1cos60BEA，62PBEttQR ，四边形 是平行四边形3PREQt
20、又 ， 9090APRQ， A 6，即 tan60623t解得 5t当 时，APRQ 8.【解析】这是一道坐标几何题，中考中的坐标几何题，融丰富的几何图象于一题，包含的知识点较多；代数变换（包括数式变换、方程变换、不等式变换）与几何推理巧妙融合，交相辉映，数形结合思想和方法得到充分运用.本题（2）中的面积的计算是根据旋转不变性，构造全等三角形，将四边形的面积进行转化，这是一种重要的数学思想方法.【答案】：证明：（1）3 ，1(24)A， 1(03)B，（2）作 于 ， 轴于 ，CGBDCHx的横坐标相等，轴， 四边形 为矩形xG又 ， 矩形 为正方形1CGHCB ， 9090EDHECD在 和 中， 90CHEGD 1CHBGCEBDS正 方 形四 边 形（3） 52
