1、第八章 压杆的稳定性,2011年2月11日星期五,第八章 压杆的稳定性,8.1 受压杆件的稳定性问题8.2 压杆的稳定性分析、欧拉公式8.3 压杆的临界应力、经验公式,8.1 受压杆件的稳定性问题,实例：有一钢尺，长l300mm,横截面b=20mm, h=0.5mm,弹性模量E=200GPa,=180MPa。,受压力F作用，试确定F的大小。,而实际上仅施加很小的力时钢尺就弯了，不能承载了。如何解释？为何？,根据强度条件,2008南方雪灾导致电塔倒塌,前面各章节讨论了构件的强度和刚度问题。本章讨论受压杆件的稳定性问题。,稳定性问题的例子,平衡形式突然改变,丧失稳定性,失稳,构件的失稳通常突然发生
2、，,所以，其危害很大。,1907年加拿大劳伦斯河上，跨度为548米的魁北克大桥，因压杆失稳，导致整座大桥倒塌。,倒塌前正在进行悬臂法施工架设桥的中跨,1917年重架的魁北克桥增加了“K”型斜撑,The Quebec Bridge over St. Lawrence River, Canada. The maximum span is 548m.,脚手架倒塌,1983年10月4日，高54.2m、长17.25m、总重565.4kN的大型脚手架局部失稳坍塌，5人死亡、7人受伤 。, 横杆之间的距离太大 2.2m规定值1.7m;, 地面未夯实，局部杆受力大；, 与墙体连接点太少；, 安全因数太低：1.
3、11-1.75规定值3.0。,2003年10月17日上午8时10分左右，湖北凌志装饰工程有限公司承建的香港路华氏花园综合楼裙楼外装饰幕墙工程，在拆除脚手架过程中，出现脚手架坍塌(脚手架长约70米，高10米），造成1人死亡，14人受伤，其中2人伤势较重。,塔吊,2011年2月21日凌晨，浙江省上虞市境内的春晖立交桥发生引桥坍塌。,坍塌总长度120米，最高落差7米。事故造成引桥上4辆货车侧翻，3人轻微伤。,平衡的稳定性,稳定平衡,不稳定平衡,随遇平衡,稳定性物体在其原来平衡状态下抵抗干扰的能力,小球平衡的三种状态,载荷小于某一值的状态,载荷大于某一值的状态,载荷更大的状态,微小横向力Q,微小横向力
4、Q,稳定平衡,不稳定平衡,临界状态,临界力,上界,下界,稳定的直线平衡状态,微弯平衡状态,压杆的平衡稳定性,压杆的平衡稳定性,临界压力 Pcr,当 P Pcr时，,压杆的直线平衡状态是稳定的。,当 P Pcr时，,直线平衡状态转变为不稳定的，,受干扰后成为微弯平衡状态。,使直线平衡状态是稳定平衡状态的最大压力， 也是在微弯平衡状态下的最小压力。,当 P Pcr,当 P Pcr,失稳,杆件的这种丧失原有直线平衡状态的现象称为失稳。,临界载荷,从保持杆件直线平衡状态是稳定的“小载荷”过渡到引起杆件失稳的“大载荷”之间，必有一个极限值，载荷一旦超出这一极限，压杆就进入失稳状态，这一极限载荷值就称为临
5、界载荷（或临界压力）。,使直线平衡状态是稳定平衡状态的最大压力， 也是在微弯平衡状态下的最小压力。,早在文艺复兴时期，伟大的艺术家、科学家和工程师达芬奇对压杆做了一些开拓性的研究工作。,数学家欧拉首先导出细长杆屈曲（稳定）载荷公式； 1744年出版的变分法专著中，曾给出细长压杆失稳后弹性曲线的精确描述及压曲载荷的计算公式； 1757年，欧拉(L.Euler)又出版了关于柱的承载能力的论著，纠正了1744年专著中关于矩形截面抗弯刚度计算中的错误。,8.2 压杆的稳定性分析、欧拉公式,1 两端铰支细长杆的临界压力,如图所示细长等直杆,当压杆在压力F作用下处于临界状态时，杆件发生“微弯”变形，x截面
6、处的弯矩,杆内的应力不超过材料的比例极限且在小变形的条件下，压杆的挠曲线的近似微分方程为,由上两式得：,I是杆横截面的最小惯性矩,令,则,即压杆在微弯时的挠度满足上述二阶线性常系数齐次微分方程,其通解,A、B为积分常数， A、B和,都是待定值。,由约束条件,得：,不能取A = 0，,kl是,的整数倍，即,由此得：,即：,只能是,F 取除n = 0以外的最小值为临界压力Fcr。,这就是两端为铰支细长压杆的临界压力的计算公式，由压杆成半个正弦波状得到，也称欧拉公式 。,得到屈曲位移函数,其中A为未定常数。这表明屈曲位移是不确定的量。这与开始推导公式时假设压杆处于任意微弯状态是一致的。,由,欧拉公式
7、与精确解曲线,精确解曲线,理想受压直杆非理想受压直杆,时，,可看成杆长为2l，其临界压力为,可利用挠曲线相似的特点以两端铰支为基本形式推广而得。,2 其他支座下细长压杆的临界压力,一端固定一端自由压杆,一端固定一端铰支压杆,挠曲线有一拐点C，且拐点在距铰支端约为0.7l处，故有,两端固支压杆,距上、下两端各为 l/4 处各有一个拐点，这两点处的弯矩等于零。,故有,对于不同支座约束情况的细长压杆的临界压力计算公式可统一地写为,表示把压杆折算成两端铰支的长度，称为相当长度。,称为长度系数，它反映了杆端不同支座情况对临界压力的影响。,0.5,0.7,2,1.0,临界压力公式,压杆简图,两端固定,一端
8、固定 一端铰支,一端固定 一端自由,两端铰支,支座情况,有一钢尺，长l300mm,横截面b=10mm, h=1mm, 弹性模量 E =200GPa, =180MPa。,受压力F作用，试确定F的大小。,显然,讨论,约小100倍！杆件先发生失稳现象！,8.3 压杆的临界应力、经验公式,1 临界应力,压杆处于临界状态时，近似认为压杆横截面上的轴向正应力临界压力Fcr 与压杆的横截面面积A之比，该正应力称为临界应力，以 表示。,即,式中，,i为截面的惯性半径，是一个与截面形状和尺寸,有关的几何量。,则,令,则,称为压杆的柔度或长细比 。,为欧拉公式的另一种形式，,2 欧拉公式的适用范围,欧拉公式是根据
9、压杆挠曲线的近似微分方程,导出的。所以，欧拉公式只能在应力不超过材料的比例极限,时才适用，即,或,令,则欧拉公式的适用范围可表示为,满足,的压杆称为大柔度杆。,3 临界应力的经验公式,工程中除细长压杆外，还有很多柔度小于,的压杆，它,们受压时也会发生失稳。,式中，a和b是与材料性质相关的常数。,时，一般采用经验公式,时,其中,若是脆性材料,通常把柔度,的压杆称为小柔度杆，,的压杆称为中柔度杆。,临界应力总图 大柔度压杆，按欧拉公式计算临界应力；中柔度杆，按经验公式计算其临界应力；小柔度压杆，按强度问题计算。,大柔度杆,中柔度杆,小柔度杆,8.4 例题分析,例8.1 试求图示三种不同杆端约束压杆
10、的临界压力。材料为Q235钢，E=200GPa，l=300mm，b=12mm，h=20mm 。,先求横截面的最小惯性半径,解：,（1）一端固定、一端自由的压杆，长度系数,Q235钢，,故,（2）两端铰支的压杆，,Q235钢，,故,长度系数,（3）两端固定的压杆，,属小柔度杆，应按强度问题计算，即,长度系数,例8.2 工字型发动机连杆，尺寸如图，材料为45号优质碳钢，,求连杆的临界压力。,解：,在 xy 平面，即运动平面内，简化如图，,长度系数,在 xz 平面，简化如图，,长度系数,（1）计算连杆的柔度,连杆在xy平面内的柔度,连杆在xz平面内的柔度,故连杆在 xy 平面内容易失稳。,连杆在 x
11、y 平面内容易失稳。,（2）计算连杆材料的,查表得优质碳钢的a = 461MPa,b = 2.58MPa,于是,故,例8.3 图示结构，AB为圆截面杆，直径d = 80mm，BC为正方形截面杆，边长a = 80mm。可各自独立变形，材料均为Q235钢，E = 210GPa。已知l = 2m，若规定工作载荷不得超过临界压力的一半，求该结构所能承受的最大载荷。,（1） AB杆，一端固定、一端铰支，,（2） BC杆，两端铰支，,解：,可见AB杆的柔度大， AB杆的临界压力就是整个结构的临界压力，由欧拉公式计算AB杆的临界压力，有,故AB杆最大工作载荷为,结构的最大工作载荷即, 结论与讨论, 结论与讨
12、论, 稳定设计的重要性, 影响压杆承载能力的因素, 提高压杆承载能力的主要途径, 稳定设计中需要注意的几个重要问题, 要正确应用欧拉公式, 稳定设计的重要性,由于受压杆的失稳而使整个结构发生坍塌，不仅会造成物质上的巨大损失，而且还危及人民的生命安全。在19世纪末，瑞士的一座铁桥，当一辆客车通过时，桥梁桁架中的压杆失稳，致使桥梁发生灾难性坍塌，大约有200人遇难。加拿大和俄国的一些铁路桥梁也曾经由于压杆失稳而造成灾难性事故。,虽然科学家和工程师早就针对这类灾害进行了大量的研究，采取了很多预防措施，但直到现在还不能完全制止这种灾害的发生。, 结论与讨论,1983年10月4日，北京的一幢正在施工的高
13、层建筑的高54.2m、长17.25m、总重565.4kN的大型脚手架屈曲坍塌，造成5人死亡，7人受伤 。, 横杆之间的距离 2.2m规定值1.7m;, 地面未夯实，局部杆受力大；, 与墙体连接点太少；, 安全因数太低：1.111.75规定值3.0。, 稳定设计的重要性,“Such failures can be catastrophic and lead to a large loss of life as well as major economic loss”., 稳定设计的重要性, 影响压杆承载能力的因素,影响压杆稳定承载能力的因素不同于影响强度的因素,一般情形下，控制构件强度的因素主要
14、是个别危险截面上的内力、危险面的几何形状和尺寸。,而压杆丧失稳定，由直线平衡构形转变为弯曲平衡构形，这一过程不是某个截面或某几个截面的行为，而是压杆的一种整体行为。,所以，个别截面的削弱对于压杆临界载荷的数值影响不大。,两端铰支的压杆，若在某一截面处开一小孔，对强度和稳定性将会产生什么影响？,影响压杆稳定承载能力的因素不同于影响强度的因素,强度有影响稳定性影响不大, 影响压杆承载能力的因素,对于细长杆，其临界载荷为,所以，影响承载能力的因素较多。临界载荷不仅与材料的弹性模量 E 有关，而且与长细比有关。长细比包含了截面形状、几何尺寸以及约束条件等多种因素。, 影响压杆承载能力的因素,对于中长杆
15、，临界载荷为,因而影响其承载能力的主要是材料常数a和b，以及压杆的长细比，当然还有压杆的横截面积。, 影响压杆承载能力的因素,对于粗短杆,因为不发生屈曲，而只发生屈服或破坏，故有,因而临界载荷主要取决于材料的屈服强度和杆件的横截面积。,首先，只有细长杆才能应用欧拉公式计算其临界载荷。所谓细长杆，不能只看压杆的长度，而要综合考虑长度、约束性质以及截面的惯性矩。也就是要根据长细比和材料的性能判断是不是细长杆。,其次，要正确确定横截面的惯性矩。为此，必须判断屈曲时压杆的横截面将绕哪一根惯性主轴转动。, 要正确应用欧拉公式,I 如何确定 ？,两端球铰约束的压杆，横截面有如下不同形式 ，请分析确定临界应
16、力时，惯性矩I 应该怎样确定？,为了提高压杆承载能力，防止失稳失效，必须综合考虑杆长支承性质截面的合理性材料性能等因素的影响。, 提高压杆承载能力的主要途径,尽量减小压杆长度,对于细长杆，其临界载荷与杆长平方成反比。因此，减小压杆长度，可以显著地提高压杆的承载能力。在某些情况下，通过改变结构或增加支点可以达到减小压杆长度、提高压杆承载能力的目的。,图示的两种桁架，其中的、杆均为压杆，但是左图中、杆的长度大于右图中、杆的长度。所以，左图中桁架的承载能力，要远远高于右图中的桁架。,增强支承的刚性,支承的刚性越大，压杆长度系数值越低，临界载荷也就越大。例如，将两端铰支的细长杆，变成两端固定约束的情形
17、，临界载荷将增加数倍。,合理选择截面形状,当压杆两端在各个方向上都具有相同的约束条件时，压杆将在刚度最小的主轴平面内屈曲。这时尽量使截面在各个方向上的惯性矩都相等，也就是使Iy=Iz。从这一角度考虑，对于一定的横截面积，正方形截面或圆截面比矩形截面好；空心截面比实心截面好。,当压杆端部在不同的方向上具有不同的约束条件时，应采用最大与最小主惯性矩不等的截面（例如矩形截面），并使压杆在惯性矩较小的方向具有较大刚性的约束，尽量使压杆在两个主惯性矩方向的长细比相互接近。,合理选择截面和约束,合理选用材料,在其他条件均相同的情形下，选用弹性模量E 数值大的材料，可以提高大长细比压杆的承载能力。例如钢杆临
18、界载荷大于铜、铸铁或铝制压杆的临界载荷。普通碳素钢、合金钢以及高强度钢的弹性模量数值相差不大。因此，对于细长钢制压杆，若选用高强度钢，对压杆临界载荷的影响甚微，意义不大，反而造成材料的浪费。对于粗短杆或中长杆，其临界载荷与材料的比例极限和屈服强度有关，这时选用高强度钢会使临界载荷有所提高。, 首先，要正确进行受力分析，判断哪些构件受压；对于受压杆，特别是细长压杆，必然存在稳定性问题。, 其次，要根据约束性质，以及截面的几何形状和尺寸，确定压杆的长细比。, 然后，要根据长细比的大小，正确区分三类不同压杆，分别采用相应的公式计算其临界载荷。, 需要特别指出的是：失稳失效与强度和刚度失效有着本质上的差异，前者失效时的载荷远低于后者，而且往往是突发性的，因而常常造成灾难性后果。, 稳定设计中需要注意的几个重要问题,本章结束,
