1、高三数学试卷第 1 页 共 13 页南京市 2014 届高三年级第二次模拟考试数 学 2014.03注 意 事 项 ：1本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题）两部分本试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题纸参考公式：柱体的体积公式：VSh，其中 S 为柱体的底面积，h 为柱体的高圆柱的侧面积公式：S 侧 2Rh，其中 R 为圆柱的底面半径，h 为圆柱的高一 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 14 小 题
2、 ， 每 小 题 5 分 ， 计 70 分 . 不 需 写 出 解 答 过 程 ， 请 把 答 案 写 在 答 题 纸 的 指 定位 置 上 ）1函数 f(x)lnx 的定义域为 1 x2已知复数 z12i，z 2 a2i (i 为虚数单位，a R)若 z1z2 为实数，则 a 的值为 3某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了 150 分到 450 分之间的 1000名学生的成绩，并根据这 1000 名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图) ，则成绩在300，350)内的学生人数共有 4盒中有 3 张分别标有 1，2，3 的卡片从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随
3、机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 5已知等差数列a n的公差 d 不为 0，且 a1，a 3，a 7 成等比数列，则 的值为 a1d6执行如图所示的流程图，则输出的 k 的值为 150 200 250 300 350 400 4500.005a0.0010.0040.003O成绩/分频 率组 距(第 3 题图)k 1开始输出 k结束S6S1YNSS(k1) 2 kk 1(第 6 题图)高三数学试卷第 2 页 共 13 页7函数 f(x)Asin(x)( A， 为常数，A0，0，0 )的图象如下图所示，则 f( )的值为 3 8在平面直角坐标系 xOy 中，双曲
4、线 1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线 y24x 的准线相交x2a2 y2b2于 A，B 两点若AOB 的面积为 2，则双曲线的离心率为 9表面积为 12 的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 10已知| | 1，| |2，AOB ， ，则 与 的夹角大小为 OA OB 23 OC 12OA 14OB OA OC 11在平面直角坐标系 xOy 中，过点 P(5，3)作直线 l 与圆 x2y 24 相交于 A，B 两点，若 OAOB，则直线 l 的斜率为 12已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 0x 1 时，f(x)x 2，当 x1 时，f (x1)f(x) f (1)，
5、且 若直线 ykx 与函数 yf(x)的图象恰有 5 个不同的公共点，则实数 k 的值为 13在ABC 中，点 D 在边 BC 上，且 DC2BD，ABADAC3k1，则实数 k 的取值范围为 14设函数 f(x)axsinxcos x若函数 f(x)的图象上存在不同的两点 A，B，使得曲线 yf (x)在点 A，B处的切线互相垂直，则实数 a 的取值范围为 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.1(0，1 24 3300 4 52 64 71 598 9 1060 111 或 122 2 13( ， ) 14 1，1512 723 2 53 73xyO 111262
6、2(第 7 题图)高三数学试卷第 3 页 共 13 页二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15(本小题满分 14 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAB平面 ABCD，PAPB，BPBC， E 为 PC 的中点（1）求证：AP平面 BDE；（2）求证：BE平面 PAC15证：（1）设 ACBDO ，连结 OE因为 ABCD 为矩形，所以 O 是 AC 的中点因为 E 是 PC 中点，所以 OEAP 4 分因为 AP 平面 BDE，OE 平面 BDE， 所以 AP平面 BDE
7、 6 分（2）因为平面 PAB平面 ABCD，BC AB ，平面 PAB平面 ABCDAB，所以 BC平面 PAB 8 分因为 AP 平面 PAB，所以 BCPA 因为 PBPA，BCPBB，BC，PB 平面 PBC， 所以 PA平面 PBC 12 分因为 BE 平面 PBC，所以 PABE 因为 BPPC，且 E 为 PC 中点，所以 BEPC 因为 PAPC P，PA，PC 平面 PAC， 所以 BE平面 PAC 14 分16(本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中，角 的顶点是坐标原点，始边为 x 轴的正半轴，终边与单位圆 O 交PB CDEA(第 15 题图)高三数学试卷第
8、 4 页 共 13 页于点 A(x1 ，y 1 )，( ， )将角 终边绕原点按逆时针方向旋转 ，交单位圆于点 B(x2，y 2)4 2 4（1）若 x1 ，求 x2；35（2）过 A，B 作 x 轴的垂线，垂足分别为 C，D，记AOC 及BOD 的面积分别为 S1，S 2，且 S1 S2，求 tan 的值4316解：（1）因为 x1 ，y 10，所以 y1 35 45所以 sin ，cos 2 分45 35所以 x2cos ( )coscos sinsin 6 分4 4 4（2）S 1 sincos sin2 8 分12 14因为 ( ， )，所以 ( ， ) 4 2 4 2 34所以 S2
9、 sin( )cos( ) sin(2 ) cos210 分12 4 4 14 2 14因为 S1 S2，所以 sin2 cos2，即 tan2 12 分43 43 43所以 ，解得 tan2 或 tan 因为 ( ， )，所以 tan214 分2tan1 tan2 43 12 4 217(本小题满分 14 分)如图，经过村庄 A 有两条夹角为 60的公路 AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库 M、N (异于村庄 A)，要求 PMPNMN2(单位：千米)如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远) 解法一：设AMN，在
10、AMN 中， MNsin60 AMsin(120 )因为 MN2，所以 AM sin(120) 2 分433在APM 中， cosAMPcos(60 ) 6 分AP2AM 2MP 22 AMMPcosAMPABD O C xy(第 16 题图)APMNBC(第 17 题图)高三数学试卷第 5 页 共 13 页 sin2(120 )422 sin(120) cos(60) 8 分163 433 sin2(60) sin(60) cos(60)4163 1633 1cos (2120) sin(2120)483 833 sin(2120)cos (2120)83 3 203 sin(2150)，
11、(0 ，120) 12203 163分当且仅当 2150 270，即 60 时，AP 2 取得最大值 12，即 AP 取得最大值 2 3答：设计AMN 为 60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小14分解法二(构造直角三角形)：设PMD，在PMD 中，PM2，PD2sin ，MD2cos 2 分在AMN 中，ANMPMD， ，MNsin60 AMsinAM sin，AD sin2cos，( 时，结论也正确 )6 分433 433 2AP2AD 2PD 2( sin2cos) 2(2sin) 2433 sin2 sincos4cos 24sin 2 8 分163 833 sin24 sin2 co
12、s2163 1 cos22 433 433 83 203 sin(2 )，(0， ) 12 分203 163 6 23当且仅当 2 ，即 时，AP 2 取得最大值 12，即 AP 取得最大值 2 6 2 3 3此时 AMAN 2，PAB30 14 分解法三：设 AMx ，ANy，AMN在AMN 中，因为 MN2，MAN60 ，所以 MN2AM 2AN 22 AMAN cosMAN，即 x2y 22xycos60x 2y 2xy4 2 分因为 ，即 ，MNsin60 ANsin 2sin60 ysin所以 sin y，cos 34 x2 4 y222x x2 (x2 xy)4x 2x y4APM
13、NBC第 17 题图D高三数学试卷第 6 页 共 13 页6 分cosAMPcos( 60) cos sin y 8 分12 32 122x y4 32 34 x 2y4在AMP 中， AP2AM 2PM 22 AMPMcosAMP，即 AP2x 2422x x 24x(x2y)42 xy12x 2y4分因为 x2y 2xy4，4xyx 2y 22xy，即 xy4所以 AP212，即 AP2 3当且仅当 xy2 时，AP 取得最大值 2 3答：设计 AMAN2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小 14 分 18 (本小题满分 16 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C 1( a
14、b0)的左、右焦点分别为 F1，F 2，焦距为x2a2 y2b22，一条准线方程为 x2P 为椭圆 C 上一点，直线 PF1 交椭圆 C 于另一点 Q（1）求椭圆 C 的方程；（2）若点 P 的坐标为(0，b)，求过 P，Q，F 2 三点的圆的方程；（3）若 ，且 ，2，求 的最大值F1P QF1 12 OP OQ （1）解：由题意得 解得 c1，a 22，所以 b2a 2c 21 所以椭圆的方程为 y 21 2 分x22（2）因为 P(0，1) ，F 1(1，0)，所以 PF1 的方程为 x y10由 解得 或 所以点 Q 的坐标为( ， ) 4 分 x 0，y 1， ) 43 13因为 k
15、PF kPF 1，所以PQF 2 为直角三角形 6 分 1 2因为 QF2 的中点为( ， )，QF 2 ，16 16所以圆的方程为(x )2(y )2 8 分16 16 2518（3）解法一：设 P(x1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则 (x 11， y1)， (1x 2，y 2)F1P QF1 因为 ，所以 即F1P QF1 x1 1 ( 1 x2)，y1 y2， ) x1 1 x2，y1 y2， )所以 解得 x2 12 分 1 32所以 x 1x2y 1y2x 2(1x 2)y x22(1) x2OP OQ 222高三数学试卷第 7 页 共 13 页 ( )2(1) ( ) 14
16、分21 32 1 32 74 58 1因为 ，2，所以 2 2，当且仅当 ，即 1 时，取等号12 1 1所以 ，即 最大值为 16 分OP OQ 12 OP OQ 1219(本小题满分 16 分)已知函数 f(x) ex，a，b R，且 a0ax bx （1）若 a2，b1，求函数 f(x)的极值；（2）设 g(x)a(x 1)e xf(x) 当 a1 时，对任意 x (0，) ，都有 g(x)1 成立，求 b 的最大值； 设 g(x)为 g(x)的导函数若存在 x1，使 g(x)g(x)0 成立，求 的取值范围ba解：（1）当 a2，b1 时，f (x)(2 )ex，定义域为( ，0) (
17、0，)1x所以 f (x) ex 2(x 1)(2x 1)x2分令 f (x)0，得 x11，x 2 ，列表12x(，1)1 (1，0)(0，)1212( ，12 )f (x) 0 0f (x) 极大值 极小值由表知 f (x)的极大值是 f ( 1)e 1 ，f (x)的极小值是 f ( )4 412 e分（2） 因为 g (x)(ax a)e xf (x)( ax 2a)e x，bx当 a1 时，g (x)(x 2)e xbx因为 g (x)1 在 x（0，）上恒成立，所以 bx 22x 在 x（0，）上恒成立 8 分xex记 h(x)x 22 x （x 0） ，则 h(x) xex (x
18、 1)(2ex 1)ex高三数学试卷第 8 页 共 13 页当 0x1 时，h(x )0，h(x) 在（0，1）上是减函数；当 x1 时，h(x )0，h(x)在（1，）上是增函数所以 h(x)minh(1)1e 1 所以 b 的最大值为1e 1 10 分：因为 g (x)(ax 2a)e x，所以 g (x)( ax a)exbx bx2 bx由 g (x)g (x)0，得(ax 2a)e x( ax a)e x 0，bx bx2 bx整理得 2ax33ax 22bx b 0存在 x1，使 g (x)g (x)0 成立，等价于存在 x1，2ax 33ax 22bxb0 成立 12分因为 a0
19、，所以 ba 2x3 3x22x 1设 u(x) （x 1） ，则 u(x) 2x3 3x22x 1因为 x1，u(x )0 恒成立，所以 u(x)在（1，）是增函数，所以 u(x)u(1)1，所以 1，即 的取值范围为（1，） 16ba ba分20(本小题满分 16 分)已知数列a n的各项都为正数，且对任意 nN*，a 2n1 ，a 2n，a 2n1 成等差数列，a2n，a 2n1 ，a 2n2 成等比数列（1）若 a21，a 53，求 a1 的值；（2）设 a1a 2，求证：对任意 nN *，且 n2，都有 an 1an a2a1解：（1）因为 a3，a 4，a 5 成等差数列，设公差为
20、 d，则 a332d，a 43d因为 a2，a 3，a 4 成等比数列，所以 a2 3 分(3 2d)23 d因为 a21，所以 1，解得 d2，或 d 因为 an0，所以 d (3 2d)23 d 34 34因为 a1，a 2，a 3 成等差数列，所以 a12a 2a 32(32d) 5 分12（2）证法一：因为 a2n1 ，a 2n，a 2n1 成等差数列，a 2n，a 2n1 ，a 2n2 成等比数列，所以 2a2na 2n1 a 2n1 ， a a 2na2n2 ；所以 a a 2n2 a2n，n22 2n 1 2 2n 1所以 2a 2na2n 2a2n a2na2n 2因为 an0
21、，所以 2 7 分a2n 2 a2n 2 a2n即数列 是等差数列a2n所以 (n1)( )a2n a2 a4 a2由 a1，a 2 及 a2n1 ，a 2n，a 2n1 是等差数列，a 2n，a 2n1 ，a 2n2 是等比数列，可得 a4 8 分(2a2 a1)2a2高三数学试卷第 9 页 共 13 页所以 (n1)( ) a2n a2 a4 a2所以 a2n 10 分(a2 a1)n a12a2所以 a2n2 (a2 a1)(n 1) a12a2从而 a2n1 a2na2n 2(a2 a1)n a1(a2 a1)(n 1) a1a2所以 a2n1 12 分(a2 a1)(n 1) a1(
22、a2 a1)n a1a2当 n2m，m N*时， an 1an a2a1 a2a1 (a2 a1)(m 1) a1(a2 a1)m a1 a2a1 0 14 分m(a1 a2)2a1(a2 a1)m a1当 n2m1，m N*，m2 时， an 1an a2a1 a2a1 (a2 a1)m a1(a2 a1)(m 1) a1 a2a1 0(m 1)(a1 a2)2a1(a2 a1)(m 1) a1综上，对一切 nN*， n2，有 16 分an 1an a2a1证法二：若 n 为奇数且 n3 时，则 an，a n1 ，a n2 成等差数列因为 0，an 2an 1 an 1an an 2an a
23、2n 1an 1an (2an 1 an)an a2n 1an 1an (an 1 an)2an 1an所以 9 分an 2an 1 an 1an若 n 为偶数且 n2 时，则 an，a n1 ，a n2 成等比数列，所以 11 分an 2an 1 an 1an由可知，对任意 n2，nN *， 13 分an 2an 1 an 1an a3a2又因为 ，a3a2 a2a1 2a2 a1a2 a2a1 2a2a1 a12 a22a2a1 (a1 a2)2a2a1因为 a1a 2，所以 0，即 15 分(a1 a2)2a2a1 a3a2 a2a1综上， 16 分an 1an a2a1高三数学试卷第
24、10 页 共 13 页南京市 2014 届高三年级第二次模拟考试数学附加题 2014.03注 意 事 项 ：1附加题供选修物理的考生使用2本试卷共 40 分，考试时间 30 分钟3答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题纸21 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 41：几何证明选讲如图，ABC 为圆的内接三角形，ABAC ，BD 为圆的弦，且 BDAC过点 A 作圆的切线与DB 的延长线
25、交于点 E，AD 与 BC 交于点 F（1）求证：四边形 ACBE 为平行四边形；（2）若 AE6，BD 5，求线段 CF 的长.A选修 41：几何证明选讲解：（1）因为 AE 与圆相切于点 A，所以BAEACB因为 ABAC，所以 ABC ACB所以ABCBAE所以 AEBC因为 BDAC，所以四边形 ACBE 为平行四边形4 分（2）因为 AE 与圆相切于点 A，所以 AE2EB (EBBD )，即 62EB (EB5)，解得 BE4根据（1）有 ACBE4，BCAE6设 CFx，由 BDAC，得 ，即 ，解得 x ，即 CF 10 分ACBD CFBF 45 x6 x 83 83B选修
26、42：矩阵与变换已知矩阵 A 的一个特征值为 2，其对应的一个特征向量为 1a 1b 21（1）求矩阵 A；（2）若 A ，求 x，y 的值 xy ab解：（1）由题意，得 2 ，即 1 a 1b 21 21 2 a 4， 2 b 2， )解得 a2，b4所以 A 5 分 1 2 14（2）解法一：A ，即 ， xy ab 1 2 14 xy 24所以 8 分 x 2y 2， x 4y 4， )解得 10 分 x 0，y 1 )解法二：因为 A ，所以 A1 7 分 1 2 14 因为 A ，所以 A 1 xy ab xy ab 24 01AEB CFD第 21 题 A图高三数学试卷第 11
27、页 共 13 页所以 10 x 0，y 1 )分C选修 44：坐标系与参数方程在极坐标系中，求曲线 2cos 关于直线 ( R)对称的曲线的极坐标方程4 解法一：以极点为坐标原点，极轴为 x 轴建立直角坐标系，则曲线 2cos 的直角坐标方程为 (x1) 2y 21，且圆心 C 为(1，0)4 分直线 的直角坐标方程为 yx，4因为圆心 C(1，0)关于 yx 的对称点为(0，1) ，所以圆心 C 关于 yx 的对称曲线为 x2(y1) 21 8 分所以曲线 2cos 关于直线 (R)对称的曲线的极坐标方程为 2sin 10 分4解法二：设曲线 2cos 上任意一点为( ， )，其关于直线 对
28、称点为( ，)，4则 6 分 将( ，)代入 2cos ，得 2cos( )，即 2sin 2所以曲线 2cos 关于直线 ( R)对称的曲线的极坐标方程为 2sin 10 分4D选修 45：不等式选讲已知 x，y R，且|x y| ，|x y| ，求证：| x5y|1 16 14证： 因为 |x5y |3(xy )2(xy)| 5分由绝对值不等式性质，得|x 5y| |3(x y)2( xy) |3 (xy )|2( xy)|3| xy| 2|x y|3 2 116 14即|x 5y| 1 10分【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解答
29、应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 （本小题满分 10 分）高三数学试卷第 12 页 共 13 页某中学有 4 位学生申请 A，B，C 三所大学的自主招生若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的（1）求恰有 2 人申请 A 大学的概率；（2）求被申请大学的个数 X 的概率分布列与数学期望 E(X)22 （本小题满分 10 分）解（1）记“恰有 2 人申请 A 大学”为事件 A， P(A) C422234 2481 827答：恰有 2 人申请 A 大学的概率为 4 分827（2）X 的所有可能值为 1，2，3P(X1) ，334 127P(X2) ，C43A32 3A
30、3234 4281 1427P(X3) C42A3334 3681 49X 的概率分布列为：X 1 2 3P 127 1427 49所以 X 的数学期望 E(X)1 2 3 10127 1427 49 6527分23 （本小题满分 10 分）设 f(n)是定义在 N*上的增函数，f (4)5，且满足：任意 nN*，f(n) Z； 任意 m，nN*，有 f(m)f(n)f(mn)f(m n1) （1）求 f(1)，f(2) ，f(3) 的值；（2）求 f(n)的表达式23解：（1）因为 f(1)f(4)f (4)f(4)，所以 5 f(1)10 ，则 f(1)21分因为 f(n)是单调增函数，所
31、以 2f(1)f(2) f(3) f(4)5因为 f(n) Z，所以 f(2) 3，f(3)4 3 分（2）解：由（1）可猜想 f (n)n+1高三数学试卷第 13 页 共 13 页证明：因为 f (n)单调递增，所以 f (n+1)f (n)，又 f(n)Z，所以 f (n+1)f (n)+1首先证明：f (n)n+1因为 f (1)2，所以 n1 时，命题成立假设 n=k(k1)时命题成立，即 f(k)k+1则 f(k+1) f (k)+1k+2 ，即 nk+1 时，命题也成立综上，f (n)n+1 5 分由已知可得 f (2)f (n)f (2n)f (n+1)，而 f(2)3，f (2n)2n1，所以 3 f (n)f ( n+1)2n1，即 f(n+1)3 f (n)2n1下面证明：f (n)n+1因为 f (1)2，所以 n1 时，命题成立假设 n=k(k1)时命题成立，即 f(k)k+1，则 f(k+1)3f ( k)2k 13(k+1)2k 1k2，又 f(k+1)k2，所以 f(k+1)k2即 nk+1 时，命题也成立所以 f (n)n+1 10 分
