1、考试试题纸卷课程名称 数理方法 专业班级 2017 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分题分 20 15 15 15 20 15 100备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题 )一、 填空题（按顺序将正确答案填写到答题本上。本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20分）1 每一个物理过程都处在特定的条件之下，常常使用一个偏微分方程和相应的初始条件和边界条件对物理过程中的某个状态的变化过程进行描述，形成一个（A）问题。偏微分方程只给定初始条件时称为（B）问题。解的（C ）称为问题的适定性。2 二阶线性偏微分方程 属于（D ）型方程。 225650uxutxt3
2、以下说法：（1）第一类 n 阶 Bessel 函数 与第二类 Bessel 函数 是线性无关的；()nJ()nYx（2）半奇数阶的第一类 Bessel 函数都是初等函数；（3）任意两个第一类 Bessel 函数 都是线性相关的；()nnxJ、（4）对任何正数 n, ；lim()0nxJ（5）n 为整数时， ，n 不为整数时， 。(0)nJ其中正确的有（E） 。4 由波动方程 确定的解 依赖过 的两条直线在22230uuttx(,)uxt(,)xt轴所截得的区间 （F ） 上的初始条件 ，这两条直线与x 00|,|tt轴围成的三角形区域称为由依赖区间所确定的 （G ） .5 边值问题 的固有值为
3、 （H） ,固有函数为 （I） .0|,|xxLX二、 （15 分）用达朗贝尔公式求解半无界区域上弦振动定解问题： 22000=,xttuxttux，三、 （15 分） 用分离变量法求解定解问题： 22010=4,|sin,xxttutt四（15 分）求解定解问题： 201010,txxtuextt， ，五、 （20 分） I 求证 的 Fourier 逆变换为 ；2(),0Fe241()xfxeII 用积分变换法求解下列定解问题： 2(,),)(,0)txuafyxt六、 （15 分）I 求证二阶线性微分方程 都可在适当变量22()0ypxqry()q替换下化为 Bessel 方程。II 求
4、解 的通解。2234(6)0xyx参考解答：一、 填空题1. A 定解 B 初值（或 Cauchy 问题） C 存在性、唯一性和稳定性2. D 双曲3. E (1)(2)(4)4. F x-3t,x+t ,G 决定区域5. H I 2(1)(,)4nL (21)cos(,2)nxXL二、解：无界区域上波动方程 的达朗贝尔公式为：200,|()|()tttuaxt22()()1(,) xatxatxtut d对于本题所给半无界区域上的自由端点定解问题，只需对初始条件作偶延拓，即令：即可， ,代入达朗贝尔公式得2(),()|xx2222)1|4,5()xtttu dxxtt二、 解：设 ，则 ，,
5、()uxXT()4()xtXxTt分离变量成为 ，则 ，4()t 0,()10()()Xtt解前一方程，得固有值 和固有函数 ，2(0,1n cosxn代入方程 中可得 ， ()()Ttt)cos2iTtAntBt1,23)（由叠加原理，原方程有解 。1,(i)cosnnuxtttnx考虑所给初值条件，有： ，01sicos2nnAxB则 ， ， 102sinAxd10 20sinco4(1)n nAxd 为 奇 数为 偶 数 0nB故，原问题的定解为 。214(,)cos()nuxt ntx四、解：首先，作变换 ，将边界齐次化，只需令 原定解问题就可化,tvtwxt(,)(1)wtx为函数
6、的定解问题： ，特别地，当 时泛定方程可进一步化(,)vxt2010()|,|,| ttxxtxev 2为更简单的形式 。ttxve然后，对上述方程求由齐次泛定方程导出的方程 在边界 时的固有值()()0Xx()10X和固有函数 ， 利用常数变易法构造满足原泛定方21()(,)n 1()cos2n,2程的解 代入得： 。11,cos(2nvxtTtx1()()cos)2tnnTtTtxe 由于 ，可令14()s()2nn 124()()0tnnettT解得 ，21()13()4ntntneTt 故原方程的解为： 21()1213() 1(,) cos()4ntntneuxt x 五、解：I 2
7、22 4()41()()2 xxjjxjx efFedededII 对所给初值问题关于变量 作 Fourier 变换，记 ，(,)(,)(,)ixUyFutt并设 的 Fourier 变换为 ， 的 Fourier 变换为 ，得： ，(,)fxt(,)Ft(x()20,|tdUaFt对其求解可得 .2222 4()4()0 0(,)(,()(,)xx atatt tatat eeUteedFd 进行 Fourier 逆变换，并利用卷积性质，有： 22 222 2() 4()40 440(,) (,)11() (,)2 2,x atattt aatteeuxtdfxddxftattedfxted 六、I 证：令取 ， ，/xtq()()/)(/)(yxPtqttY则 1 12()(),21)(ytYtYtq 代入方程 中，变形为 22)0xpyxry()(1)0tptxrpYt若令 ，方程成为：1,222 )(04xxqrY这是一个 阶 Bessel 方程 n(4(1)/nprII 解：对所给方程，取 得 3,6q 21,(1)/52pnrp知所给方程化成的 Bessel 方程是 5 阶的，有通解 ，2()()YtcJtYt因此，原方程的通解为 。125()()yxcJx
