1、第一章 波动方程 1方 程的 导出 。定 解条 件1 细 杆 （ 或 弹簧 ） 受 某种 外界 原因 而产 生纵 向振 动 ， 以 u(x,t)表 示静 止时 在 x点 处的 点在 时刻 t离 开原 来位 置的 偏移 ， 假 设振 动过 程发 生的 张力 服从 虎克 定律 ， 试 证明 ),(txu满 足方 程 () = xuExtuxt其 中 为 杆的 密度 ， E为 杨氏 模量 。证 ： 在 杆上 任取 一段 ， 其 中两 端于 静止 时的 坐标 分别 为 x与 +xx。 现 在计 算这 段杆在 时刻 t的 相对 伸长 。在 时刻 t这 段杆 两端 的坐 标分 别为 ： ),();,( t
2、xxuxxtxux +其 相对 伸长 等于 ),(),(),( txxux xtxuxtxxuxxx += + 令 0x， 取极 限得 在点 x的 相对 伸长 为 xu),(t。 由虎 克定 律， 张力 ),(txT等 于),()(),( txuxEtxT=其 中 )(xE是 在点 x的 杨氏 模量 。设 杆的 横截 面面 积为 ),(xS则 作用 在杆 段 ),( xx+两 端的 力分 别为xuxSxE)()( xuxxSxxEt )()();,( + ).,( tx+于 是得 运动 方程 tuxxsx )()( xESutx=),( xxxx ESux |)(|)( +利 用微 分中 值定
3、 理， 消去 x， 再令 0x得tuxsx)()( x=xESu( )若 =)(xs常 量， 则得22)(tux= )( xuxEx即 得所 证。 2 在杆 纵向 振动 时， 假设 (1)端 点固 定， (2)端 点自 由， (3)端 点固 定在 弹性 支承 上 ， 试分 别导 出这 三种 情况 下所 对应 的边 界条 件。解 ： (1)杆 的两 端被 固定 在 lxx=,0两 点则 相应 的边 界条 件为.0),(,0),0( =tlutu(2)若 lx=为 自由 端 ， 则 杆在 lx=的 张力 xuxEtlT =)(),( |lx=等 于零 ， 因 此相 应的 边界 条件 为 xu|lx
4、=0同 理， 若 0=x为 自由 端， 则相 应的 边界 条件 为 xu 00=x(3)若 lx=端 固定 在弹 性支 承上 ， 而 弹性 支承 固定 于某 点 ， 且 该点 离开 原来 位置 的偏 移由 函数 )(tv给 出， 则在 lx=端 支承 的伸 长为 )(),( tvtlu。 由虎 克定 律有xuE )(),( tvtluklx =其 中 k为 支承 的刚 度系 数。 由此 得边 界条 件 )( uxu+ )(tflx=其 中 Ek=特 别地 ，若 支承 固定 于一 定点 上， 则 ,0)(=tv得 边界 条件)( uxu+ 0=lx 。同 理， 若 0=x端 固定 在弹 性支 承
5、上 ，则 得边 界条 件 xuE )(),0(0 tvtukx =即 )( uxu ).(0tfx=3.试 证： 圆锥 形枢 轴的 纵振 动方 程为 2222 )1()1( tuhxxuhxxE = 其 中 h为 圆锥 的高 (如 图 1)证 ：如 图， 不妨 设枢 轴底 面的 半径 为 1， 则 x点 处截 面的 半径 l为 ： hxl=1所 以截 面积2)1()( hxxs =。 利用 第 1题 ，得 )1()1()( 2222 xuhxExtuhxx = 若 ExE=)( 为 常量 ，则 得 2222 )1()1( tuhxxuhxxE = 4.绝 对柔 软逐 条而 均匀 的弦 线有 一
6、端 固定 ，在 它本 身重 力作 用下 ，此 线处 于铅 垂平 衡位 置， 试导 出此 线的 微小 横振 动方 程。 解 ：如 图 2， 设弦 长为 l， 弦的 线密 度为 ， 则 x点 处的 张力 )(xT为)()( xlgxT =且 )(xT的 方 向 总 是 沿 着 弦 在 x点 处 的 切 线 方 向 。 仍 以 ),(txu表 示 弦 上 各 点 在 时 刻 t沿 垂 直于 x轴 方向 的位 移， 取弦 段 ),( xx+则 弦段 两端 张力 在 u轴 方向 的投 影分 别为 )(sin)();(sin)( xxxxlgxxlg + 其 中 )(x表 示 )(xT方 向与 x轴 的夹
7、 角又 .sin xutg=于 是得 运动 方程xuxxltux += )(22 xuxlgxx + gx利 用微 分中 值定 理， 消去 x， 再令 0x得)(22 xuxlxgtu = 。5.验 证 2221),( yxttyxu = 在 锥 222 yxt 0中 都满 足波 动方 程222222 yuxutu += 证 ： 函 数 2221),( yxttyxu = 在 锥 222 yxt 0内 对 变 量tyx,有二 阶连 续偏 导数 。且 tyxttu = 23222 )(2252222322222 )(3)( tyxtyxttu += )2()( 2223222 yxtyxt +=
8、 xyxtxu = 23222 )( ) ( )2252222322222 3 xyxtyxtxu +=( )( )22225222 yxtyxt += 同 理 ( )( )2222522222 yxtyxtyu += 所 以 ( )( ) .2 222252222222 tuyxtyxtyuxu =+=+ 即 得所 证。 6.在 单性 杆纵 振动 时 ,若 考虑 摩阻 的影 响 ,并 设摩 阻力 密度 涵数 (即 单位 质量 所受 的摩 阻力 )与 杆件 在该 点的 速度 大小 成正 比 (比 例系 数设 为 b),但 方向 相反 ,试 导出 这时 位移 函数 所满 足的 微分 方程 .解
9、:利 用 第 1题 的 推 导 ,由 题 意 知 此 时 尚 须 考 虑 杆 段 ( )xx+, 上 所 受 的 摩 阻 力 .由 题 设 ,单 位质 量所 受摩 阻力 为 tub,故 ( )xx+, 上 所受 摩阻 力为()() tuxxsxpb 运 动方 程为 : ()() ()()tuxxsxbxuEStuEStuxxsx xx = + 22利 用微 分中 值定 理， 消去 x,再 令 0x得()() ()().22 tuxsxbxuESxtuxsx = 若 =)(xs常 数， 则得 () ()tuxbxuExtux = 22若 () () 则得方程令也是常量是常量 ,., 2 EaEx
10、Ex =.22222 xuatubtu =+2达 朗贝 尔公 式、 波 的传 抪1.证 明方 程( )常数011 22222 htuhxaxuhxx = 的 通解 可以 写成 ( )( )xh atxGatxFu +=其 中 F,G为 任意 的单 变量 可微 函数 ,并 由此 求解 它的 初值 问题 :() ().,:0 xtuxut =解 ：令 ()vuxh=则() () ()+=+= xvuxhxuxhxvuxuxh 2, )()()()()(2222 xvuxhxuxhxuxhxvuxuxhx +=+=又 () 2222 tvtuxh =代 入原 方程 ，得 () ()22222 1 t
11、vxhaxvxh =即 22222 1tvaxv=由 波动 方程 通解 表达 式得 ()( )( )atxGatxFtxv +=,所 以 ( )( )()xh atxGatxFu +=为 原方 程的 通解 。由 初始 条件 得 () ()() )1(1 xGxFxhx +=() () () xaGxaFxhx /1 +=所 以 ()() ( )() )2(10 cdhaxGxF xx += 由 )2(),1( 两 式解 出 ()()() ( )() 22121 cdhaxxhxFxxo += ()()() ( )() 22121 cdhaxxhxGxxo += 所 以 )()()()()(21
12、),( atxatxhatxatxhxhtxu += + +atxatxhxha ()()(21 .)d即 为初 值问 题的 解散 。 问 初始 条件 )(x与 )(x满 足怎 样的 条件 时 ， 齐 次波 动方 程初 值问 题的 解仅 由右 传播 波组 成？ 解 ：波 动方 程的 通解 为 u=F(x-at)+G(x+at)其 中 F， G由 初始 条件 )(x与 )(x决 定。 初值 问题 的解 仅由 右传 播组 成， 必须 且只 须对于 任何 tx,有 G(x+at)常 数 .即 对任 何 x,G(x)C0又 G（ x） = +xx aCdax 0 2)(21)(21 所 以 )(),(
13、 xx应 满足 +)(x =xx Cda0 1)(1 （ 常数 ）或 (x)+)(1xa=03.利 用传 播波 法， 求解 波动 方程 的特 征问 题（ 又称 古尔 沙问 题）=+= ).()(00 22222 xu xu uatuatxatx ( )0()0(=解 ： u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)令 x-at=0得 )(x=F（ 0） +G（ 2x）令 x+at=0得 )(x=F（ 2x） +G(0)所 以 F(x)=)2(x-G(0).G（ x） =)2(x-F(0).且 F（ 0） +G(0)= ).0()0(=所 以 u(x,t)=()2atx+ )2(atx-).0(
14、即 为古 尔沙 问题 的解 。 4 对非 齐次 波动 方程 的初 值问 题 += )()(),(,0 ),0(),(22222 xxtuxut xttxfxuatu 证 明： （ 1） 如 果初 始条 件在 x轴 的区 间 x1,2上 发生 变化 ，那 末对 应的 解在 区间 1x，2x的 影响 区域 以外 不发 生变 化；（ 2） 在 x轴 区间 2,1x上 所给 的初 始条 件唯 一地 确定 区间 21,x的 决定 区域 中解 的数 值。 证 ： （ 1） 非 齐次 方程 初值 问题 的解 为u(x,t)= + atxatxaatxatx 21)()(21 +d)(+t taxtax df
15、a0 )()( .),(21 当 初始 条件 发生 变化 时， 仅仅 引起 以上 表达 式的 前两 项发 生变 化， 即仅 仅影 晌到 相应 齐次 方程 初值 的解 。 当 ),(x)(x在 2,1x上 发生 变化 ， 若 对任 何 t0,有 x+atx2,则 区间 x-at,x+at整 个落 在区 间 2,1x之 外 ， 由 解的 表达 式 知 u(x,t)不 发生 变化 ， 即 对 t0,当 x2+at,也 就是 （ x,t） 落在 区间 21,x的 影响 域 )0(2 + tatxxatxt之 外， 解 u(x,t)不 发生 变化 。 （ 1） 得证 。(2).区 间 21,x的 决定
16、区域 为 atxxatxt + 21,0在 其中 任给 （ x,t） ,则21 xatxatxx += = 0, 0,0, 0, xxxxxxxxxx 所 以 () ( )( )( ()+= atxatx daatxatxtxu 2121,( )( )( ()( )( )( () + 时 ，方 程的 通解 为 xcxcxX sinos)( 21 +=由 0)0(=X得 01=c， 再由 0)(=lX得0cos2 =lc 为 了使 02c， 必须 0cos=l， 于是2212+= lnn )2,10( =n且 相应 地得 到 xlnxXn 212si)( += )2,10( =n将 代 入方 程
17、 (2)， 解得 talnBtalnAtT nnn 212si212cos)( += )2,10( =n于 是 = +0 212sin)212sin212cos(),( n nn xltalBtalnAtxu 再 由始 值得 += +=00 212sin2120 212sinn nnn xlBal xlAxlh 容 易验 证 +xln212si )2,10( =n 构 成区 间 ,0l上 的正 交函 数系 ： =+ nml nxdxlnxlml 当 当20212si212sin0 利 用 +xln212si 正 交性 ，得 xdxlnxlhlAln 212si20 +=lxlnnlxlnxnl
18、lh 022 212si)12(2212cos)12(2 += nnh )1()12(822+= 0=nB所 以 = +=0 22 212sin212cos)12()1(8),( n n xltalnnhtxu 2。 设弹 簧一 端固 定， 一端 在外 力作 用下 作周 期振 动， 此时 定解 问题 归结 为 = = 0)0,()0,( sin),(,0),0( 22222 xtuxu tAtlutu xuatu 求 解此 问题 。解 ：边 值条 件是 非齐 次的 ，首 先将 边值 条件 齐次 化， 取 txlAtxU sin),(= ， 则 ),(txU满足 0),0(=tU， tAtlUs
19、in),(=令 ),(),(),( txvtxUtxu += 代 入原 定解 问题 ，则 ),(txv满 足)1()0,(0)0,( 0),(,0),0( sin222222 = =+= xlAxtvxv tltv txlAxvatv ),(txv满 足第 一类 齐次 边界 条件 ，其 相应 固有 函数 为 xlnxXn si)(=， )2,10( =n故 设 )2(sin)(),( 1=nn xltTtxv 将 方程 中非 齐次 项 txlAsin2 及 初始 条件 中 xlA按 xlnsi 展 成级 数， 得=12 sin)(sinnn xltftxlA 其 中 =ln xdxlntxlA
20、ltf 02 sisin2)( lxlnnlxlnxnltlA022222 sicossin += xlAtnAn = +sin)1(2 12 xlnnn si1=其 中 nln nAxdxlnxlAl )1(2si202 = 将 (2)代 入问 题 (1)， 得 )(tTn满 足 = =+ +nnn nnn nATT tnAtTlantT )1(2)0(,0)0( sin)1(2)()( 122 解 方程 ，得 通解2212 )(sin)1(2sincos)( += +lantnAtlanBtlanAtT nnnn由 始值 ，得 0=nA2222 231 )()1()()1(2)1(1 la
21、nalAlann lAnAanB nnnn = +所 以 = 1 22 sin)()()1(),( n n tlanlanalAtxv xlntnlanlAn sisin1)()( 2)1( 22 21 + xlntnltlanalanlAn sisinsin)()( )1(21 222= =因 此所 求解 为 = += 1 222)()( )1(2sin),( n lanlAtxlAtxu xlntntltlana sisinsin 3 用分 离变 量法 求下 面问 题的 解 =+= 0| 0|0 00 22222 lxx tt uutuu bshxxuatu解 ：边 界条 件是 齐次 的，
22、 相应 的固 有函 数为 ),2,1(sin)( = nxlxXn 设 =1 sin)(),( nn xltTtxu 将 非次 项 bshx按 sinxl展 开级 数， 得=1 sin)(nn xltfbshx其 中 shlbnlnxdxlnshxlbtf nln 2)1(si2)( 2210 += +将 =1 sin)(),( nn xltTtxu 代 入原 定解 问题 ，得 )(tTn满 足 = +=+ +0)0(,0)0( 2)1()()()( 22212nn nnn TT shllbntTlantT 方 程的 通解 为 shllnbnanltlanBtlanAtT nnnn 12222
23、 )1()(sicos)( += 由 0)0(=nT， 得： shllnbnanlA nn 12222 )1()( += 由 0)0(=nT， 得 0=nB所 以 )cos1()1(2)1()(12222 tlanshllnbnantT nn += +所 求解 为 = + += 1 222122 sin)cos1()()1(),( n n xltlanlnshlabltxu 4 用分 离变 量法 求下 面问 题的 解： = =+ 0|,| 0| )0(2 000 22222 tt lxx tuxlhuuu bxuatubtu解 ：方 程和 边界 条件 都是 齐次 的。 令 )()(),( tT
24、xXtxu=代 入方 程及 边界 条件 ，得=+XTabTT “2“ 0)()0( =lXX由 此得 边值 问题 =+ 0)()0( 0“ lXX因 此得 固有 值 2=lnn ， 相应 的固 有函 数为 ,2,1,sin)( = nxlxXn 又 )(tT满 足方 程 022“ =+ TabTT 将 n=代 入， 相应 的 )(tT记 作 )(tTn， 得 )(tTn满 足02 2“ =+ TlanbTTnn 一 般言 之， b很 小， 即阻 尼很 小， 故通 常有 ,2,1,22 =c因 此， 随着 t的 增加 ， )(tE是 减少 的。.2证 明混 合问 题解 的唯 一性混 合问 题 : =+= )(|),(| 0|,0| 0002 xuxu uu fcuuau ttt lxx txt 设 21,u是 以上 问题 的解 。令 ,21uuu=则 u满 足 = 0|,0| 0|,0|0002ttt lxx txt uuuu cuuau能 量 dxuautE xlt )()( 202+=当 ,0=t 利 用初 始条 件有 ,0|0=ttu 由 ,0|0=tu得0|0=txu所 以 0)0(=E
