1、1第一章 波动方程 1 方程的导出。定解条件1细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以 u(x,t)表示静止时在 x点处的点在时刻 t离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明 满足方程),( txu( ) = xuExtuxt 其中 为杆的密度， 为杨氏模量。 E证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 与 。现在计算这段杆在时x +x x刻 的相对伸长。在时刻 这段杆两端的坐标分别为：t t ),();,( txxuxxtxux +其相对伸长等于 ),(),(),( txxux xtxuxtxxuxx x += + 令 ，取极限得在点 的相对伸长为 。由虎
2、克定律，张力 等于0x x xu ),( tx ),( txT),()(),( txuxEtxT x=其中 是在点 的杨氏模量。)( xE x设杆的横截面面积为 则作用在杆段 两端的力分别为),( xS ),( xxx +xuxSxE )()( xuxxSxxEtx )()();,( + ).,( txx +于是得运动方程 t tuxxsx )()( xE Sutx =),( xxxx xE Suxx |)(|)( + +利用微分中值定理，消去 ，再令 得x 0xt tuxsx )()( x=xE Su( )若 常量，则得=)( xs =22)( t ux )( xuxEx 即得所证。2在杆纵
3、向振动时，假设 (1)端点固定， (2)端点自由， (3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。 解： (1)杆的两端被固定在 两点则相应的边界条件为lxx = ,0.0),(,0),0( = tlutu(2)若 为自由端，则杆在 的张力 | 等于零，因此相应的边lx= lx= xuxEtlT = )(),(lx=界条件为 | =0xu lx=同理，若 为自由端，则相应的边界条件为 0=x xu 00=x(3)若 端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移lx =由函数 给出，则在 端支承的伸长为 。由虎克定律有)(tv lx= )(),( tv
4、tlu xuE )(),( tvtluklx =其中 为支承的刚度系数。由此得边界条件k 其中)( uxu + )(tflx = Ek=特别地，若支承固定于一定点上，则 得边界条件,0)( =tv 。)( uxu + 0=lx同理，若 端固定在弹性支承上，则得边界条件0=x xuE )(),0(0 tvtukx =即 )( uxu ).(0 tfx =3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为2222 )1()1( t uhxxuhxxE = 其中 为圆锥的高 (如图 1)h证：如图，不妨设枢轴底面的半径为 1，则 x点处截面的半径 为：l hxl =12所以截面积 。利用第 1 题，得2)1()(
5、 hxxs = )1()1()( 2222 xuhxExt uhxx = 若 为常量，则得ExE =)(2222 )1()1( t uhxxuhxxE = 4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。 解：如图 2，设弦长为 ，弦的线密度为 ，则 点处的张力 为l x )( xT)()( xlgxT = 且 的方向总是沿着弦在 点处的切线方向。仍以 表示弦上各点在时刻 沿垂直于)( xT x ),( txu t x轴方向的位移，取弦段 则弦段两端张力在 轴方向的投影分别为),( xxx + u )(sin)();(sin)(
6、xxxxlgxxlg + 其中 表示 方向与 轴的夹角)( x )( xT x又 .sin xut g = 于是得运动方程 xuxxlt ux += )(22 xuxlgxx + gx 利用微分中值定理，消去 ，再令 得x 0x。)(22 xuxlxgt u =5. 验证 在锥 0中都满足波动方程222 1),( yxttyxu = 222 yxt 222222 y ux ut u +=证：函数 在锥 0内对变量 有222 1),( yxttyxu = 222 yxt tyx ,二阶连续偏导数。且 tyxttu = 23222 )( 2252222322222 )(3)( tyxtyxtt u
7、 += )2()( 22223222 yxtyxt += xyxtxu = 23222 )( ( ) ( ) 2252222322222 3 xyxtyxtx u +=( ) ( )22225222 2 yxtyxt += 同理 ( ) ( )2222522222 2 yxtyxty u += 所以 ( ) ( ) .2 22222252222222 t uyxtyxty ux u =+=+ 即得所证。6. 在单性杆纵振动时 ,若考虑摩阻的影响 ,并设摩阻力密度涵数 (即单位质量所受的摩阻力 )与杆件在该点的速度大小成正比 (比例系数设为 b), 但方向相反 ,试导出这时位移函数所满足的微分方
8、程 .解 : 利用第 1题的推导 ,由题意知此时尚须考虑杆段 上所受的摩阻力 .由题设 ,单位质( )xxx +,量所受摩阻力为 ,故 上所受摩阻力为tub ( )xxx +,( ) ( ) tuxxsxpb 运动方程为 : ( ) ( ) ( ) ( ) tuxxsxbxxuE StuE St uxxsx xx = + 223利用微分中值定理，消去 ,再令 得x 0x( ) ( ) ( ) ( ) .22 tuxsxbxuE Sxt uxsx = 若 常数，则得=)( xs ( ) ( ) tuxbxuExt ux = 22若 ( ) ( ) 则得方程令也是常量是常量 ,., 2 EaExE
9、x = .22222 x uatubt u =+2 达朗贝尔公式、 波的传抪1. 证明方程 ( )常数0111 22222 fht uhxaxuhxx = 的通解可以写成 ( ) ( )xh atxGatxFu +=其中 F,G为任意的单变量可微函数 ,并由此求解它的初值问题 :( ) ( ).,:0 xtuxut = 解：令 则( ) vuxh = ( ) ( ) ( ) +=+= xvuxhxuxhxvuxuxh 2, )()()()()( 2222 xvuxhxuxhxuxhxvuxuxhx +=+=又 ( ) 2222 t vt uxh =代入原方程，得 ( ) ( ) 22222 1
10、 t vxhax vxh =即 22222 1 t vax v =由波动方程通解表达式得 ( ) ( ) ( )atxGatxFtxv +=,所以 ( ) ( )( )xh atxGatxFu +=为原方程的通解。由初始条件得 ( ) ( ) ( ) )1(1 xGxFxhx +=( ) ( ) ( ) xaGxaFxhx /1 +=所以 ( ) ( ) ( ) ( ) )2(10 cdhaxGxF xx += 由 两式解出)2(),1( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22121 cdhaxxhxF xxo += ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22121 cdhaxxhxG
11、 xx o += 所以 )()()()()(2 1),( atxatxhatxatxhxhtxu += + + a tx a tx hxha ()()(2 1 .) d即为初值问题的解散。 问初始条件 与 满足怎样的条件时，齐次波动方程初值问题的解仅由右传播波)( x )( x4组成？ 解：波动方程的通解为 u=F(x-at)+G(x+at)其中 F， G由初始条件 与 决定。初值问题的解仅由右传播组成，必须且只须对)( x )( x于任何 有 G(x+at) 常数 .tx, 即对任何 x,G(x) C0又 G（ x） = + xx aCdax 0 2)(21)(21 所以 应满足)(),(
12、xx （常数）+)( x =xx Cda0 1)(1 或 (x)+ =0 )(1 xa 3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题） = =+ = ).( )(00 22222 xu xu x uat ua tx a tx ( )0()0( =解： u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)令 x-at=0 得 =F（ 0） +G（ 2x）)( x令 x+at=0 得 =F（ 2x） +G(0)( x所以 F(x)= -G(0).)2( xG（ x） = -F(0).)2( x且 F（ 0） +G(0)= ).0()0( =所以 u(x,t)= + -( )2 atx+ )2(
13、 atx ).0(即为古尔沙问题的解。 4对非齐次波动方程的初值问题 += )()(),(,0 ),0(),(22222 xxtuxut xttxfx uat u 证明： （ 1） 如果初始条件在 x轴的区间 x ,x 上发生变化，那末对应的解在区间 ，1 2 1x的影响区域以外不发生变化；2x （ 2） 在 x轴区间 上所给的初始条件唯一地确定区间 的决定区2,1 xx 21, xx域中解的数值。 证：（ 1） 非齐次方程初值问题的解为 u(x,t)= + a tx a txaatxatx 21)()(21 + d)(+ + t tax tax ddfa0 )( )( .),(21 当初始条
14、件发生变化时，仅仅引起以上表达式的前两项发生变化，即仅仅影晌到相应齐次方程初值的解。 当 在 上发生变化，若对任何 t0,有 x+atx ,则区间 x-at,x+at整个),( x )( x 2,1 xx 1 2落在区间 之外，由解的表达式知 u(x,t)不发生变化，即对 t0,当 xx +at,也就是2,1 xx 1 2（ x,t）落在区间 的影响域21, xx )0(2 + tatxxatx t之外，解 u(x,t)不发生变化。 （ 1）得证。(2). 区间 的决定区域为21, xx atxxatxt + 21,0在其中任给（ x,t） ,则21 xatxatxx += = 0, 0,0,
15、 0, xx xxxxx xxx 所以 ( ) ( ) ( )( ) ( )+= a tx a tx daatxatxtxu 2121,6。( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) + xcxcxX sincos)( 21 +=由 得 ，再由 得0)0( =X 01 =c 0)( = lX 0cos2 =lc 为了使 ，必须 ，于是02 c 0cos =l22 12 += lnn )2,1,0( L=n且相应地得到 xlnxX n 2 12sin)( += )2,1,0( L=n将 代入方程 (2)，解得 talnBtalnAtT nnn 2 12sin2 12cos)( +=
16、 )2,1,0( L=n于是 = += 0 2 12sin)2 12sin2 12cos(),( n nn xlntalnBtalnAtxu 再由始值得 += += =0 0 2 12sin2 120 2 12sinn nn n xlnBaln xlnAxlh 容易验证 构成区间 上的正交函数系： + xln 2 12sin )2,1,0( L=n ,0 l =+ nml nmx dxlnxlml 当当202 12sin2 12sin0 利用 正交性，得 + xln 2 12sin x dxlnxlhlA ln 2 12sin2 0 += lxlnn lxlnxn ll h 022 2 12s
17、in)12( 22 12cos)12( 22 + += nn h )1()12( 8 22 += 0=nB9所以 = += 0 22 2 12sin2 12cos)12( )1(8),( n n xlntalnnhtxu 2。设弹簧一端固定，一端在外力作用下作周期振动，此时定解问题归结为 求解此问题。 = = = 0)0,()0,( sin),(,0),0( 22222 xtuxu tAtlutu x uat u 解：边值条件是非齐次的，首先将边值条件齐次化，取 ，则 满足txlAtxU sin),( = ),( txU，0),0( =tU tAtlU sin),( =令 代入原定解问题，则
18、满足),(),(),( txvtxUtxu += ),( txv )1()0,(0)0,( 0),(,0),0( sin222222 = = += xlAxtvxv tlvtv txlAx vat v 满足第一类齐次边界条件，其相应固有函数为 ，),( txv xlnxXn sin)( = )2,1,0( L=n故设 )2(sin)(),( 1= n n xlntTtxv 将方程中非齐次项 及初始条件中 按 展成级数，得txlA sin2 xlA xln sin= 12 sin)(sin n n xlntftxlA 其中 = ln x dxlntxlAltf 0 2 sinsin2)( lxl
19、nn lxlnxn ltlA02222 2 sincossin2 += xlAtnA n = + sin)1(2 12 xlnn n sin1=其中 nln nAx dxlnxlAl )1(2sin2 0 2 = 将 (2)代入问题 (1)，得 满足)(tTn = =+ +nnn nnn nATT tnAtTlantT )1(2)0(,0)0( sin)1(2)()( 122 解方程，得通解 2212 )( sin)1(2sincos)( += + lan tnAtlanBtlanAtT nnnn由始值，得 0=nA 222222 231 )( 2)1()( 2)1(2)1(1 lan alA
20、lann lAnAanB nnnn = +所以 = = 1 22 sin)()( 2)1(),( n n tlanlan alAtxv xlntnlan lAn sinsin1)()( 2)1( 22 221 + + xlntn ltlanalanlA n sinsinsin)()( )1(2 1 22 2= =因此所求解为 = += 1 22 2 )()( )1(2sin),( n lanlAtxlAtxu xlntntltlana sinsinsin 3用分离变量法求下面问题的解10 = = += = = 0| 0| 0 00 22222 lxx tt uu tuu bs hxx uat
21、u解：边界条件是齐次的，相应的固有函数为 ),2,1(sin)( L= nxlnxX n 设 = 1 sin)(),( n n xlntTtxu 将非次项 按 展开级数，得bs hx sin xln = 1 sin)(n n xlntfbs hx 其中 s hlbnlnx dxlns hxl btf nln 2)1(sin2)( 222 10 += +将 代入原定解问题，得 满足= 1 sin)(),( n n xlntTtxu )(tT n = +=+ +0)0(,0)0( 2)1()()()( 22212nn nnn TT s hlln bntTlantT 方程的通解为 s hlln bn
22、anltlanBtlanAtT nnnn 12222 )1(2)(sincos)( += 由 ，得：0)0( =nT s hlln bnanlA nn 12222 )1(2)( += 由 ，得0)0( =nT 0=nB所以 )cos1()1(2)1()( 12222 tlans hlln bnantT nn += +所求解为= + += 1 222 12 2 sin)cos1()( )1(2),( n n xlntlanlnns hla bltxu 4用分离变量法求下面问题的解： = = =+= = 0|,| 0| )0(2 000 22222 tt lxx tuxlhu uu bx uatu
23、bt u解：方程和边界条件都是齐次的。令 )()(),( tTxXtxu =代入方程及边界条件，得 =+ XXTa bTT “2 “ 2 0)()0( = lXX由此得边值问题 = =+ 0)()0( 0“ lXX XX 因此得固有值 ，相应的固有函数为2= lnn L,2,1,sin)( = nxlnxX n 又 满足方程)(tT 02 2“ =+ TabTT 将 代入，相应的 记作 ，得 满足n = )(tT )(tT n )(tT n02 2“ =+ TlanbTT nn 一般言之， 很小，即阻尼很小，故通常有b11L,2,1,22 =cQ因此，随着 的增加， 是减少的。t )(tE证明
24、混合问题解的唯一性.2混合问题 : = = += = = )(|),(| 0|,0| 000 2 xuxu uu fc uuau ttt lxx tx xt t 设 是以上问题的解。令 则 满足21, uu ,21 uuu = u = = = = = 0|,0| 0|,0| 000 2 ttt lxx tx xt t uu uu c uuau能量 dxuautE xl t )()( 220 2 +=当 利用初始条件有 由 得,0=t ,0|0=ttu ,0| 0=tu180| 0=txu所以 0)0( =E又 是减少的，故当 又由 的表达式知)(tE ,0)0()(,0 = EtEt )(tE
25、 ,0)( tE所以 0)( tE由此得 及 于是得到,0tu ,0xu 常量u再由初始条件 得 因此 即混合问题解的唯一的。,0| 0=tu ,0u ,21 uu 3 证明解关于初始条件的稳定性，即对任何 可以找到 只要初始条件之差. ,0. ,0满足2121 , = aeetEu ttL即 xk 0q ).( txf在 G内的改变也是很微小的。20证：只须证明，当 很小时，则问题 的解 也很小（按绝对值）。f = = += = = 0|,0| 0|,0| )( 000 ttt lxx xxt t uu uu fquuxku u考虑能量 += l xt dxquuxkutE 0 222 )(
26、)( += l tx txt tt dxquuuuxkuudt tdE 0 )2)(22()( + += ltl l xxtltxt tt dxquudxuxkuuuxkdxuu 00 00 )(2|)(22由边界条件 ， ，故 ， 。0| 0=xu 0| =lxtu 0| 0=xtu 0| =lxlu所以 +=+= l l lttl xxt tt dxfdxudxtxfudxquuxkuudt tdE 0 0 0 220 ),(2)(2)(又由于 ， ，故 ，即0)( xk 0q l t tEdxu0 2 )(+ l dxftEdt tdE 0 2)()(或 lt dxfeetEdtd 0
27、21)(记 = l dxftF0 2)(得 + l tt dFeeEtE 0 )()0()( 由初始条件 ， ，0| 0=tu 0| 0=ttu又因 ，得 ，故 ，即0| 0=tu 0| 0=txu 0)0( =E l t dFetE 0 )()( 若 很小，即 ，则 ，故f xk即 Ktutxu ),0(),(又由边界条件 ，得0).0( =tu Ktxu ),(即当 ， ，有 很小，得证。lx ( ) Mf KL , 0当 有Nn ， )(0 x 时)( Nn Nn即当 时)( Nn dxxxdxxdxx X nX Xn )()()()(亦即 收敛于 。( )X n dxx ( )X dxx对于 ， ，由达朗贝尔公式得，( ) 2cxn ( ) 1cxn ( ) ( ) ( )( ) ( )+= atx atx nnnn daatxatxtxu 2121,令 ， 由于 ，则 是收敛的， 记n ( ) ( ) ( ) + += atx atx atx atxnX nn ddd , ( )txun ,其极限函数为 ，得广义解：( )txu ,( ) ( ) ( )( ) ( )+= atx atx daatxatxtxu 2121,又 连续。 可积，则 也连续，故 为连续函数。即得所证。( )x ( )x ( )+ atx atx d ( )txu ,
