1、模拟试题一一. 填空题 （将正确答案填在题中横线上。每小题 2 分，共 10 分）1n 阶行列式 D 的值为 c, 若将 D 的所有元素改变符号 , 得到的行列式值为 .2设矩阵 A = 102，矩阵 X 满足 EA = X2 ，则 X = 20133设 n 阶矩阵 A 满足 52 = 0 ，其中 E 为 n 阶单位阵，则 1)(EA = 4设 A，B 均为 3 阶方阵，A 的特征值为 1，2，3，则 = .5当 满足条件 时线性方程组 043214321xx只有零解二、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案, 将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共 20 分) 1 13212332311
2、daaa则=( ). 6d 6d 4d 4d2. 向量组 s,21 的秩为 s 的充要条件是（ ） 。 向量组不含零向量 向量组没有两个向量的对应分量成比例 向量组有一个向量不能由其余向量线性表示 向量组线性无关3. 当 t =（ ）时，向量组 ),45( ,)23( ,)012(3t线性相关。 5 10 15 204已知向量组 1， 2， 3线性无关，则向量组（ ）线性无关。 1+2 2+ 3, 2 1+4 2+ 3, 3 1+6 2 1, 1+ 2, 1+ 2+ 3 1+ 2, 2+ 3, 1+2 2+ 3 1- 2, 2- 3, 3- 15. 已知 63tA, B 为三阶非零矩阵且 AB
3、 = 0, 则( ). 当 t = 4 时, B 的秩必为 1 当 t = 4 时, B 的秩必为 2 当 t 4 时, B 的秩必为 1 当 t 4 时, B 的秩必为 26设非齐次线性方程组 A X = b 中未知量个数为 n ，方程个数为 m ，系数矩阵 A 的秩为 r ，则 r = m 时，方程组 A X = b 有解 r = n 时，方程组 A X = b 有唯一解 m = n 时，方程组 A X = b 有唯一解 r n 时，方程组 A X = b 有无穷多解7 设矩阵 A 和 B 等价，A 有一个 k 阶子式不等于零，则 B 的秩（ ）k. 2二、单项选择题 1 2. 3. 4.
4、 5. 6. 7. 8. 9. 10.三、计算题1 0322 )2()()( 2131 3）（）（）（即设 kakk因 ,线性无关，只有系数全为 0 所以对应的齐次线性方程组有非零解， 由其系数行列式=0 解得 a=-3/2 2 （7 分）因 A 的秩为 3,所以基解系含一个解。 2 X1-（X 2 + X3）=（-4，1，1，1） T 是解且不是零向量，故是基解系。通解为 X 1+c2 X1-（X 2 + X3） 3. （7 分）A=( 4321,)013秩为 2， 1,为一个极大无关组 21423,4. (15 分)解 考察非齐次线性方程组： 4321xx（）即 AX， 其增广矩阵： 01
5、0215815334210)( ababA初 等 行 变 换由此可见，（） 当 a= 1 且 0b时， AR32，方程组 X无解，即 不能由 4321,线性表示； （） 当 a 时， ,4AR方程组 有唯一解 01124321ababxX即 可由 21,线性表示，且表示式唯一，其表示式为 432101abab； (3)当 a=-1 且 b=0 时， ,nAR方程组 AX有无穷多解 212214321 00kkxX即 可由 21,线性表示，且表示式不唯一，全体表示式为：43121kk其中 2,为任意常数。 5.212(2) 101 . 101 ()3(1) A ,3AE二 次 型 矩 阵 为故
6、的 特 征 值 为 4 *11 112 21 2.0X,203EX XEAX 由 （ ） 得 对 应 于 的 线 性 无 关 特 征 向 量 为 单 位 化 得由 （ ） 解 得 对 应 于 的 线 *223 34 34*34 34 11,110()01,20, :,1XXEAX XXX 性 无 关 特 征 向 量 为 单 位 化 得由 解 得 对 应 于 的 线 性 无 关 的 特 征 向 量 为因 已 正 交 ， 故 只 需 单 位 化 得 *1234 2(,) 1QQYfy 令 则 为 正 交 矩 阵正 交 变 换 为 在 次 变 换 下 ， 二 次 型 化 为2 y四证明题 证：123
7、12312322123 212321231(,) ) 0 iiAAkkk设即 （ ） （ ） （ 231 0 kkk ）（ ） （ ） （ ）由于 A 的属于不同特征值的特征向量线性无关，所以 321,线性无关，于是0232121321k其系数行列式为 0)()(112313231 因此，方程组只有零解，即只有 0321k故 ,A线性无关。 ） 模拟试题四一、填空题 （每小题 2 分，共 20 分）1设 f（x）= 4324130xx，则 f（x）的展开式中 4x的系数为 ，2当 满足条件 时线性方程组 123412340xx只有零解3设行列式 D = 32311a= a ，则行列式 D1 =
8、 323123114aa= 4.设矩阵 tA6023，当 t = 时，R(A)=2。5设 3 阶方阵 A 、B 满足 BA2 = E ，其中 E 为 3 阶单位阵，若 A = 102，则 = 6设 16354D, A2j (j = 1, 2, 3)为元素 a2j 的代数余子式,则 3A21 + 6A22 + A23 = .7设 3 阶方阵 A 的特征值为 1，-1，2，则 B=A3-5A2 的特征值为 8. n 阶方阵 A 满足 12 ,3AOE则 9. 矩阵 321a的行向量组线性 .10. A 是三阶非零矩阵,A *是其伴随阵,A 的所有二阶子式都等于零,则 r(A*) = .二、单项选择
9、题 (每小题 2 分，共 10 分) 1已知向量组 134， ， ， 线性无关，则向量组（ ）线性无关。1234112341A（ ） ， ， ，（ B） ， ， ，（ C） ， ， ，（ D） ， ， ，2. 下列结论正确的是( ).（A） X1, X2 是方程组( AE)X=O 的一个基础解系 , 则 k1X1+k2X2 是 A 的属于 的全部特征向量,其中 k1, k2 是全不为零的常数（B）若 A 与 B 相似，则 A, B 有相同的特征向量 （C） 若 同是方阵 A 与 B 的特征值, 则 也是 A+B 的特征值（D）如果 =0, 则 A 至少有一个特征值为零3. 设 A 是 st 阶
10、矩阵, B 是 mn 阶矩阵, 如果 ACB 有意义, 则 C 应是( )阶矩阵。（A） sn （B） sm （C ） tm （D） mt 2 114.,(). () ( C(D, ()kkAAkkA 设 为 阶 矩 阵 运 算 正 确 若 可 逆 为 非 零 常 数 则5n 元线性方程组 AX=B 有唯一解的充分必要条件是（ ）（A） 导出组 AX=0 仅有零解 （B） A 为方阵，且A0 （C） R(A)=n（D） 系数矩阵 A 的列向量组线性无关，且常数项向量 B 可由 A 的列向量组线性表示。三、计算题 ( 17 题每小题 8 分，第 8 题 10 分，共 66 分)1已知 . , ,
11、)21(,) nTA求2求 k 的值，使下列实二次型为正定二次型： 243132123214321),( xxkxkxxf 3设 X1, X2, X3 是线性方程组 AX = B 的三个解 , 其中 A 是 34 矩阵,A 的秩为 2, X1 = ( -1,2,1,1 )T , X2 = ( 2,3,1,1 )T , X3 = ( 2,1,1,3 )T求 AX = B 的通解。4.已知 A 为 3 阶方阵，且 |2|3|0EAE，求 *|5|A5. 设.586 ,14 ,5 ,123求此向量组的秩和一个极大无关组, 并将其余向量用该极大无关组线性表示. 212323(,)(,)(,)(4,),
12、 .ttt6.已 知若 可 由 线 性 表 示 且 表 示 法 不 惟 一 求 及 的 表 达 式51.1 ,.(2)aAb7.已 知 有 特 征 值 和求问 能 否 对 角 化 ? 221313256.(1) ;2 ;fxcxxcf8.已 知 三 元 实 二 次 型 的 秩 为求 参 数将 化 为 标 准 形 ， 并 求 出 所 用 的 正 交 变 换四、证明题（4 分）设 A 是 nn 矩阵，且存在一个 nn 非零矩阵 B 使 AB = O，证明： 0A模拟试题四参考答案一、填空题 1 -6 2且-3 324a 4. -4 5 1/2 60 7 -4，-6，-12 8. A3E 9. 相关
13、 10. 0 二、单项选择题 1 B 2. D 3. C 4. D 5 D 三、计算题1 11()22nTnnA（ ）2 123100012kAPkk由解 得3因 A 的秩为 2，故基解系含有 2 个解。 基解系为 X1-X2，X 1-X3 通解为 X1+c1（X 1-X2）+c 2（X 1-X3 ） 4. A 的三个特征值分别为 23,， | A | = 1 2 3 = 6， *|5|E的特征值为 |5：2，1，7， 故 ()4 5. A=( 4321,)013秩为 2， 1,为一个极大无关组 214213, 6. 1 (1)4()4 03 (tttBc -增 广 阵 B08-2于 是 234) c703 aAEb.-解 得 =,1+(-)2(-)+1=-2.可 对 角 化84(3)0 2(9)0,49 1,2,(1,)23103 TTAccEXQY特 征 根 为特 征 向 量 分 别 为 -6单 位 化 后 构 成 正 交 阵 得 Q=23 49fy四、证明题证：因为 A 是 nn 矩阵，且存在一个 nn 非零矩阵 B 使 AB = O，所以R（A）+R（B） n 因 B 是非零矩阵，所以 R（B）0，于是 R（A）n, 所以 0
