1、本章主要内容,能够导出并且记住一维波动方程的通解（达朗贝尔公式）； 掌握达朗贝尔公式的应用和物理意义; 掌握行波法解题的要领，并且能够使用行波法求解定解问题；,第七章 行波法,7.1 行波法一维波动方程的达朗贝尔解,考虑如下定解问题（无界弦的自由振动问题）：,一、达朗贝尔公式,一、达朗贝尔公式,7.1 行波法一维波动方程的达朗贝尔解,式,算符分解,坐标变换：,一、达朗贝尔公式,7.1 行波法一维波动方程的达朗贝尔解,一、达朗贝尔公式,7.1 行波法一维波动方程的达朗贝尔解,一、达朗贝尔公式,7.1 行波法一维波动方程的达朗贝尔解,一、达朗贝尔公式,7.1 行波法一维波动方程的达朗贝尔解,一、达
2、朗贝尔公式,达朗贝尔公式 DAlembert,7.1 行波法一维波动方程的达朗贝尔解,一、达朗贝尔公式,7.1 行波法一维波动方程的达朗贝尔解,行波法解题要领,行波法的提法来自于研究行进波。其解题要领为： （1）引入特征变换，把方程化为变量可积的形式，从而得到方程的通解； （2）使用定解条件确定通解中的任意函数（对于常微分方程为常数），从而得到其特解。注意：由于偏微分方程求解较难，大部分偏微分方程的通解均不易获得，使用定解条件确定其任意函数或常数也绝非易事，故行波法也有其较大的局限性。但是对于研究波动问题，行波法自有其独特的优点(实际上我们主要只使用它研究波动问题)。因此行波法是求解数学物理方
3、程的基本的和主要的方法之一。,四、关于达朗贝尔公式的应用,7.1 行波法一维波动方程的达朗贝尔解,四、关于达朗贝尔公式的应用,7.1 行波法一维波动方程的达朗贝尔解,四、关于达朗贝尔公式的应用,7.1 行波法一维波动方程的达朗贝尔解,7.2 行波法强迫振动,强迫振动问题,强迫振动问题,7.2 行波法强迫振动,五、强迫振动问题,7.2 行波法强迫振动,行波法复习小结,1、一维无界弦自由振动的初值问题,2、行波法解波动方程的基本思想与关键步骤：基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确 定特解。关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。,代入初始条件,达朗贝尔公式
4、,3、达朗贝尔解的物理意义,4、行波法的应用,求解一维无界弦的自由振动（齐次）问题；（7.1） 求解一维无界弦的强迫振动（非齐次）问题；（7.2）,基本思想：利用偏微分方程和定解条件的线性叠加性质， 将定解问题分解为自由振动和纯强迫振动两部分。 关键步骤：利用冲量原理法求解纯强迫振动,4、行波法的应用,求解一维无界弦的自由振动（齐次）问题； （7.1） 求解一维无界弦的强迫振动（非齐次）问题；（7.2） 求解半无界弦的自由振动问题,端点的反射：,端点固定,边界条件,达朗贝尔公式是无限长弦的公式。由于自变量限制为x0,当tx/a时，上式后两项无意义，必须将 u(x,t) 延拓到这个范围。,初始条件,定解问题,讨论：,代入初始条件：,延拓方法：首先由泛定方程的通解入手：,代入边界条件：,令,奇延拓,所以做奇延拓：,由边界条件：,达朗贝尔解为：,（1）x at, 即 x - at 0,结果讨论：,（2）x at, 即 x -at 0,4、行波法的应用,求解一维无界弦的自由振动（齐次）问题； 求解一维无界弦的强迫振动（非齐次）问题；（7.2） 求解半无界弦的自由振动问题,端点的反射：,端点自由,边界条件,初始条件,定解问题,在此边界条件下，如何做延拓？,做偶延拓：,达朗贝尔解：,定解问题解：,
