1、 张量理论讲稿 河南理工大学 肖建华 2008年 3月 1张量理论 在高等数学课程结束后，了解张量理论是学习现代自然科学的必要条件。讲义经由对张 量理论和方法的论述建立现代科学的张量微分工具概念，为学习现代科学技术打好基础。 讲义主要内容是: 任意坐标系, 坐标变换, 几何不变量, 张量定义, 张量运算, 张量 微分, 张量方程, 工程应用.掌握讲义中的这些内容能满足阅读理解当代科技文献的要求。 但如要深入下去，需要更广泛的阅读。 对以应用科学为主的非数学专业本科生，详细讲述数学的张量理论是无必要的。在大多 数国外非数学专业本科生（及研究生）教科书中，一般是以附录形式给出教科书中用到的张 量（
2、一般地说是 2-4 个课时） 。这有点过于简单化。并且，各自采用不同的张量表达方式， 造成一定的混乱。在部分教科书中，将张量等同于矩阵。这种过度简化对阅读理解当代科技 文献是有害的。故本讲义寻求一种折衷方案。 应当指出的是： 在最新的前沿方向科技文献中张量表达方式已经或正在取代传统的微积 分表达方式。故，掌握张量理论是进入科技前沿方向的必要条件。 第一讲: 任意坐标系 两个有序点间的连线构成一个矢量。在直角坐标系中，从原点到任一点的连线构成对这 个点的矢量表达方式。在物理上，矢量对应于力或位移量，是客观量。作为一个客观量，它 是不随观测者的坐标选择而变的。这是爱因斯坦提出的保证物理学基本规律客
3、观性的要求。 出于这一原则性，张量表述成为物理学基本规律客观性的基本表达方式。 图。1 任意矢量的直角坐标表示 张量理论讲稿 河南理工大学 肖建华 2008年 3月 2在直角坐标表示中，矢量 c r 可以表示为： 2 1 ) ( e Y e X c OA c A A r r r r + = = （1） 式中， A X ， A Y 为 A 点的坐标值。 1 e r 为 X 轴的单位坐标对应的矢量， 2 e r 为 Y 轴的单位坐标 对应的矢量。 按照矢量运算的法则，矢量 c r 可以分解成二个矢量 ) (OB a a r r = 和 ) (BA b b r r = 的和，即： b a c r r
4、 r + = （2） 如果用 B X ， B Y 表示 B 点的坐标值，则有： 2 1 e Y e X a B B r r r + = （3） 2 1 ) ( ) ( e Y Y e X X b B A B A r r r + = （4） 将（3）和（4）式代入（2）式就得到： 2 1 2 1 2 1 ) ( ) ( e Y e X c e Y Y e X X e Y e X c b a c A A B A B A B B r r r r r r r r r r r + = + + + = + =（5） 与（1）式相比，可见（2）式的矢量 c r 与（1）式的矢量 c r 是一致性。 取 a
5、r 和 b r 方向为坐标轴方向，可以定义新的坐标 x 和 y。并定义新的坐标 x 和 y对应的 单位坐标矢量 1 g r 和 2 g r 。如图 2 所示。 图。1 给定矢量的任意坐标表示 在新的坐标系下则有： 1 ) ( g a OB a a r r r = = （6） 2 ) ( g b BA b b r r r = = （7） 则给定的矢量 c r 可在新的坐标系下表示为： 张量理论讲稿 河南理工大学 肖建华 2008年 3月 32 1 g b g a c r r r + = （8） 在直角坐标系中，有： 0 1 1 2 1 2 2 1 1 = = = e e e e e e r r
6、r r r r（9） 将（6）和（7）式与（3）和（4）式相比，得到： ) ( 1 2 1 1 e Y e X a g B B r r r + = （10） ) ( ) ( 1 2 1 2 e Y Y e X X b g B A B A r r r + = （11） 并且有： 2 2 2 1 1 11 ) ( ) ( ) ( a Y X g g g B B + = = r r（12） 2 2 2 2 2 22 ) ( ) ( ) ( b Y Y X X g g g B A B A + = = r r（13） 和： b a Y Y Y X X X g g g g g g B A B B A B
7、+ = = = = ) ( ) ( 1 2 2 1 21 12 r r r r（14） 对（1）式的直角坐标表示，有： 2 2 2 ) ( ) ( ) ( A A Y X c c c + = = r r不难验证，对新的坐标系下表示（8） ，有： 22 2 22 11 2 2 ) ( 2 ) ( ) ( g b g b a g a c + + = （15） 对二种表达方式， c r 是不变的。由于 B 点的选择是任意的，故坐标系 ) , ( y x 称为任意系。 在任意系 ) , ( y x 中，记 A点的坐标为 ) ( a x A = ， ) ( b y A = ，则（8）式变成为： 2 1
8、g y g x c A A r r r + = （16） 式（15）成为： 22 2 22 11 2 2 ) ( 2 ) ( ) ( g y g y x g x c A A A A + + = （17） 略去下标 A，对任一矢量 c r ，有： 2 1 2 1 g y g x c e Y e X c r r r r r + = + =（18） 二式在形式上是完全一样的，故任一矢量在任意坐标（ 2 1 , x x ）下的通用表达方式为： 2 2 1 1 g x g x c r r r + = （19） 物理学上，称：任意坐标（ 2 1 , x x ）为逆变坐标，而单位坐标值对应的矢量（ 2 1
9、, g g r r ）就称为 协变基矢。逆变坐标和协变基矢一起定义了一个任意坐标系或称一般坐标系。 显然，取： 1 1 e g r r = ， 2 2 e g r r = （20） 就是直角坐标系。故可用（ Y X , ）表直角坐标系，并简称（ Y X , ）为直角直角坐标系。但对 张量理论讲稿 河南理工大学 肖建华 2008年 3月 4 任意系，则只能称（ 2 1 , x x ）为逆变坐标，只有在给出（ 2 1 , g g r r ）后，才能形成一个坐标系。 在物理学中，坐标系的给出方式为：在逆变坐标（ 2 1 , x x ）及该逆变坐标表示下的协变度规 场 12 22 11 , , g g
10、 g 。 一般地说， 12 22 11 , , g g g 称为协变度规张量的分量。 （简称 ij g 为协变张量） 。 将以上结果推广到 3 维空间（ 3 2 1 , , x x x ） ，则有： i i g x g x g x g x c r r r r r = + + = 3 3 2 2 1 1（21） 此时， ij g 有 9 个分量，由于 ji ij g g = ，故只有 6 个独立分量。称 ij g 为协变对称张量。上式中， 重复指标表求和，这一法则也称为爱因斯坦求和法则。 对三维直角坐标系，有： 1 0 0 0 1 0 0 0 1 33 32 31 23 22 21 13 12
11、11 = = = g g g g g g g g g g g g j i ij r r（22） 或简记为： j i ij j i j i = = = = , 0 , 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1（23） 称 ij ， j i 为克罗内克记号。 对一般的三维非直角坐标系， ij ij g （24） 特别地，取坐标值为三维直角坐标值（ 3 3 2 2 1 1 , , X Z x X Y x X X x = = = ） ，但坐标轴 方向任意，则定义的斜坐标系的度规张量分量为： 1 33 22 11 = = = g g g ) 2 , 1 ( cos 21 12 = = g g ) 3 ,
12、2 ( cos 32 23 = = g g （25） ) 1 , 3 ( cos 13 31 = = g g 式中， 表二轴的夹角。 一般地说，在斜坐标系中， j j i i i i i e L e L e L e L g r r r r r = + + = 3 3 2 2 1 1（26） 故有： k j k i kl l j k i l k l j k i l l j k k i j i ij L L L L e e L L e L e L g g g = = = = = r r r r r r ) ( ) ( （27） 即： 1 ) ( ) ( ) ( 2 3 2 2 2 1 = + +
13、i i i L L L 张量理论讲稿 河南理工大学 肖建华 2008年 3月 5 k j k i L L j i = ) , ( cos ， j i 显然， ) , , ( 3 2 1 i i i L L L 是 i轴在直角系中的方位矢量。 对任一矢量 c r 有： j j j j i i i i e X e L x g x g x g x g x c r r r r r r r = = = + + = 3 3 2 2 1 1（28） 故有： j i i j L x X = （29） 取 j i l 满足方程： j i k i j k L l = （30） 则有： k k i i j i k
14、j i j i i k j j k j x x L l x L x l X l = = = = （31） 即： j k k j l X x = （32） 由于坐标基矢变换 j i L 是 i e r 到 i g r 的变换（一般地把它看成正变换） ，而矢量 c v 的坐标分量由 i X 到 i x 的变换是 j k l （一般地把它看成逆变换） ，而这二个变换分别是正变换和逆变换，故：称 j j i i e X g x c r r r = = 形式为协变基下的逆变坐标表示。也称为逆变矢量分量表示。 上面的表达方式也称为长度表达方式。 注: 对任一个直角坐标系基矢 i e r ，可以定义它对应的
15、单位面元法向为 i e r ，特别地，把任一矢 量 c r 的方向看成是面积的法向，其大小为面积，则有： i i i i g x e X c r r r = = （33） 则这种表达方式下， i X （和 i x ）为面积含义，这种表达方式也就称为面积坐标表达方式。 在张量理论中，称（ 3 2 1 , , X X X ） （和 3 2 1 , , x x x ）为协变坐标，而称 i e r （和 i g r ）为逆变基矢。相 应的， j i ij g g g r r = 为逆变度规张量（面积度规张量） 。 特别的，对直角坐标系，因取 i i e e r r = ，故 i i X X = 。无需
16、区别逆变和协变，但对任意系， 这是必须区分的。也正是因为在直角坐标系下无需区别逆变和协变，故许多书中把张量等同 于矩阵。 一般地， ij g 称为二阶协变张量， i x 为一阶逆变张量（普通矢量） ，常数为 0 阶张量。 而 j i g 为混合二阶张量。 张量理论讲稿 河南理工大学 肖建华 2008年 3月 6 第二讲: 坐标变换 如果空间中的每一点都有一个矢量 u r ，而且它随点坐标 ) , , ( Z Y X 的不同而可能不同，则 矢量 u r 为空间位置的函数，记为： ) , , ( Z Y X u u r r = （34） 它就形成一个物理上的矢量场，如：电场，磁场，引力场，惯性力场
17、，等等。 物理上，称直角坐标系 ) , , ( Z Y X 为测量系。如果在测量系中， 3 3 2 2 1 1 ) , , ( ) , , ( ) , , ( e Z Y X u e Z Y X u e Z Y X u u r r r r + + = （35） 则，对每一点 ) , , ( Z Y X ，都可选择一个适当的坐标 ) , , ( 3 2 1 x x x 和单位坐标的基矢 i g r 来形成一个 任意坐标系。此时，坐标和基矢都是空间点位置的函数，即： ) , , ( Z Y X x x i i = （36） ) , , ( Z Y X g g i i r r = （37） 如果它们
18、关于 ) , , ( Z Y X 是连续可微的，并且有唯一解 ) , , ( 3 2 1 1 x x x X X = ， ) , , ( 3 2 1 2 x x x X Y = ， ) , , ( 3 2 1 3 x x x X Z = ，而且该解关于 ) , , ( 3 2 1 x x x 是连续可微的，就称坐标 ) , , ( 3 2 1 x x x 和基矢 i g r 来形成 的坐标系为曲线坐标系。 常用的曲线坐标系有：平面极坐标系，柱坐标系和球坐标系。 1 平面极坐标系 令： 2 2 1 ) ( ) ( Y X r x + = = ， X Y x arctan 2 = = （38） 则
19、有： cos 1 = = r X X ， sin 2 = = r X Y （39） 则任一空间点 R r 为： g g r R e Y e X R r r r r r r r + = + = 2 1（40） 显然，有： r R g r = r r ， = R g r r（41） 利用复合函数微分法有： 2 1 e r Y e r X r Y Y R r X X R r R g r r r r r r r + = + = =（42） 2 1 e Y e X Y Y R X X R R g r r r r r r + = + = = （43） 将（39）式代入，就有： 张量理论讲稿 河南理工大学
20、肖建华 2008年 3月 72 1 sin cos e e g r r r r + = （44） 2 1 cos sin e r e r g r r r + = （45） 为保证唯一性，要求 2 , 0 。如图。3 所示。 图。3 平面极坐标系 在平面极坐标系中，有： 2 1 2 1 2 1 2 1 ) , ( ) , ( ) cos sin ( ) sin cos ( cos sin ) , ( sin cos ) , ( ) , ( ) , ( e Y X u e Y X u e r u u e r u u e e r r u e e r u g r u g r u u y x r r r
21、 r r r r r r r r r r r r r + = + + = + + + = + = （46） 或写成矩阵形式： 2 1 cos sin sin cos e e r r g g r r r r r = （47） 和： u u r r u u r y x = cos sin sin cos（48） y x r u u r r u u = cos sin sin cos（49） 按上一讲的标记法，有： cos sin sin cos = r r L i j（50） 张量理论讲稿 河南理工大学 肖建华 2008年 3月 8r r l i j cos sin sin cos = （51）
22、显然，它们满足方程（30） 。 原则上，在逆变坐标下，基矢是协变的。故用逆变分量上标表示在协变基矢下的普通矢 量场。 如果定义： g g r r g g r r r r r r = cos sin sin cos（52） 则有： g r u g r u g r u r u g u u g r g r u g r g r u g r u g r u u r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r + = + + + = + + = + = ) , ( ) , ( ) cos sin ( ) sin cos ( cos sin ) , ( sin cos )
23、 , ( ) , ( ) , (（53） 即： u u r r u u r r = cos sin sin cos（54） 在逆变坐标下，对比（52）式，在逆变基矢下，矢量场的分量变换系数与基矢变换相同；而 在协变基矢下，矢量场的分量变换系数与基矢变换反逆。故称 g r u g r u u r r r r r + = ) , ( ) , ( 为矢 量场的逆变基矢下的协变坐标表示，并将其分量写成下标。 应当指出的是：在现代几何场论中，是以协变基矢来表示逆变矢量，而以逆变基矢来表 示协变矢量。这是因为：协变基矢给出协变度规张量，而逆变基矢给出逆变度规张量。 但在很多的教科书中，把 r r l i
24、j cos sin sin cos = 看成是坐标正变换系数，则 r r L i j cos sin sin cos = 为坐标逆变换系数。在这一理解下，把 ) , ( u u r 看成是逆变矢量，而把 ) , ( u u r 看成是协变矢 量。这一说法导致对张量理解的本质错位。因而，许多书中，避免使用曲线坐标系下的张量 或错误的使用曲线坐标系下的张量。 另外，写成矩阵形式时，容易出现转置矩阵和原矩阵的混乱，故一般地说，不拟用矩 阵代替张量，而是应使用上下标的形式。在很多的教科书及学术期刊中这一问题普遍存在。 上述问题导致对应用张量表达方式的不同理解或错误理解。 这是阻碍应用张量表达方式 的重
25、要因素。 2柱坐标系 令： 张量理论讲稿 河南理工大学 肖建华 2008年 3月 9 2 2 1 ) ( ) ( Y X r x + = = ， X Y x arctan 2 = = ， Z x = 3（55） 则有： 2 1 1 sin cos e e g r r r + = 2 1 2 cos sin e r e r g r r r + = （56） 3 3 e g r r = 它的协变度规张量为： 1 11 = g ， 2 22 ) (r g = ， 1 33 = g ，其它分量=0 （57） 3球坐标系 令： 2 2 2 1 Z Y X r x + + = = ， X Y x arct
26、an 2 = = ， 2 2 2 3 arcsin Z Y X Z x + + = = （58） 则有： 3 2 1 1 sin cos sin cos cos e e e g r r r r + + = 2 1 2 cos cos cos sin e r e r g r r r + = （59） 3 2 1 3 cos sin sin sin cos e r e r e r g r r r r + = 它的协变度规张量为： 1 11 = g ， 2 22 ) cos ( = r g ， 2 33 r g = ，其它分量=0 （60） 上述的三种常用曲线系为正交系。它们的基矢是空变的，各点都不
27、同；协变度规张量也 是空变的，因而也称为非均匀尺规空间坐标系。 第三讲: 几何不变量 上述坐标变换来表达的张量还是不适用于大多数物理规律的表达，它们有共同的原点。 由于原点的选择是人为的，因而任一点均可看成是原点。这样就把空间分解成无数的原点。 在每一个点上都可以建立该点邻近的曲线系。这样一种推广就建立了局部微分坐标系的概 念。相比之下，前面的坐标系就可被称为全局坐标系。 对全局坐标系中的任一矢量： 3 3 2 2 1 1 g c g c g c c r r r r + + = （61） 它的客观性表现为：无论度规基矢如何选择，它的大小不变，即： j i ij c c g c c c = =
28、r r 2 ) ( （62） 特别的，当它是位置矢量时，它表示的是该点到原点的距离 S平方，而其分量就是坐标值， 故可将它写成： j i ij x x g s = 2（63） 对局部微分坐标系，因为被讨论点就是巨部的圆点，故对局部坐标系中的任一微元长度 矢量： i i dx g s d = r r（64） 张量理论讲稿 河南理工大学 肖建华 2008年 3月 10 它的客观性表现为：无论坐标及度规基矢如何选择，它的大小不变，即： j i ij dx dx g ds = 2 ) ( （65） 为不变量。也就是说，只要它为不变量，则各种不同的坐标及基矢的选择都是可以的。这样， 2 ) (ds 就是
29、一个与观测者爱好的坐标及基矢选择无关的量，称为“二次不变量” 。也称为几何 不变量。 对于协变基矢变换（等价于相同坐标下的不同的基矢选择） ： j j i i g A G r r = （66） 有： kl l j k i l k l j k i l l j k k i j i ij g A A g g A A g A g A G G G = = = = r r r r r r ) ( ) ( （67） 表示，对同一坐标选择，应用基矢变换系数就将原协变张量的分量变换成对应的新的协变张 量的分量。二者一致，故称协变。几何学派采用这一定义。如陈几何场力学学派。 显然不变性要求有： j i ij j
30、i ij x d x d G dx dx g ds ) ( 2 = = （68） i x d 表示，在协变度规变换后，因尺度改变，对应的坐标增量也相应改变才能保证客观性。 但，另一方面，仅考察（65）式，引入坐标变换： j i j j j i i x d C x d x x dx = = （69） 则有： j i ij j i l j k i kl l k j l i k ij l j l k i k ij j i ij x d x d G x d x d C C g x d x d C C g x d C x d C g dx dx g ds ) )( ( ) ( 2 = = = = = （
31、70） 按这一说法，应用坐标逆变换系数就将原协变张量的分量变换成对应的新的协变张量的分 量。二者一致，故称协变。代数学派采用这一定义。如辛几何力学学派。 显然不变性要求有： j i ij j i ij x d x d G dx dx g ds ) ( 2 = = （71） 它表示，在坐标变换后，对应的度规张量也相应改变才能保证客观性。 显而易见，有： i j i j C A = ，故数学上是等价的。因而很多人误认为物理上也是等价的。 但物理上是不等价的。 显然，用几何不变量引出张量是最为合理的方式。基矢变换观点强调坐标不变，称为 物质坐标系 （物理学家偏好） ； 而坐标变换观点强调数学上的运算
32、特点， 称为空间坐标系 （数 学家偏好） 。 在高级论文及专著中，一般会明确指出定义方式。但在很多教科书中只使用一种，而否 定另一种，或混用。这造成很多错位。 对直角坐标系， 2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( ) ( dZ dY dX ds + + = （72） 对柱坐标系： 2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( dZ d r dr ds + + = （73） 张量理论讲稿 河南理工大学 肖建华 2008年 3月 11对球坐标系： 2 2 2 2 2 ) ( ) cos ( ) ( ) ( d r d r dr ds + + = （74） 对一个矢量， 3 3 2 2 1 1 g U
33、g U g U U r r r r + + = ，它的客观不变性是： j i ij U U g U = 2 ) ( （75） 为不变量。故对协变基矢变换（66） ，有： j i ij j l j i k i kl j i kl l j k i j i ij U U g U A U A g U U g A A U U G U = = = = ) )( ( ) ( 2（76） 故有： j i j i U A U = （77） 则， j i j i U A U = ， i j k j i k A A = （78） 故有： 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 G U G U G U g U
34、 g U g U U r r r r r r r + + = + + = （79） 因 i j A 为协变基矢变换 i j A 的逆变换，故：称 i U 和 i U 分别为在 ij g 和 ij G 度规下的逆变矢量分 量（或一阶逆变张量） 。距离矢量，运动速度矢量和加速度矢量都是一阶逆变张量。 对于引力势 ，有： i i j j i i j x C x x x x = = （80-1） 因 i j C 为坐标变换的逆变换， 故： 称 i i x f = 和 i i x f = 分别为在原坐标系 i x 下和新坐标系 i x 下 的协变矢量分量（或一阶协变张量） 。 而对速度，有： t x C
35、 t x x x t x j i j j j i i = = ， i j k j i k C C = （80-2） 而速度用的是坐标变换的正变换，故为逆变矢量（或一阶逆变张量） 。 如果无视这种差别，就不可能正确的使用任意系，方程也不具有普遍性。而且，出现错 误是必然的。部分书中及论文中，用错误的理解导出的结果还被认为是“创新”这是很可悲 的。 如果将基矢变换看成是坐标系变换，则因 i j i j C A = ，而 i j A 为正变换，则上句话要换成： 因 i j A 为正坐标变换，故：称 i i x f = 和 i i x f = 分别为在原坐标系 i x 下和新坐标系 i x 下的协 变
36、矢量分量（或一阶协变张量） 。 这种表述在很多教科书中都有。事实上用（80）式来定义协变矢量是代数观点的，已经 是经典著作中的常见内容。但很多书中的表述混乱，给读者代来理解上的不必要的困难。但 也不可否认， (80)式的确有助于说明有二类不同的物理矢量。 故，正确的理解是关键所在。 张量理论讲稿 河南理工大学 肖建华 2008年 3月 12 第四讲: 张量定义 一个物理量，如有了指定的量度当位以后，可以用数量完全表征，则称为纯量。如除了 大小外还要表出其方向性，则称为矢量。联系二个矢量的量构成一群量，张量分析的重要任 务就是寻找这一群量的整体本质特性，舍去由于坐标轴选择任意性所带入的非本质表现
37、。 按爱因斯坦的思想，一个物理方程，如果确实反映客观物质的运动规律，应该不随主观 参考系的选取不同而改变其本质表现，所以，正确的普遍性方程应该是张量方程。 反过来说，如果一个物理方程不是张量方程，则其普遍正确性就不可能了。只能作为 特例。这就是当代科学采用张量表达方式的根本目的。 凡是一个几何量或物理量， 不随参考系选择不同而变的， 就称为对坐标系变换的不变量。 例如，惯性力矢量为： 3 3 2 2 1 1 g f g f g f f r r r r + + = （81） 它表示按立方单元的平行线法则分解（按边长线分解） 。故也称为线力分解。这是惯性力的 逆变表达方式。 对保守力，由于它由梯度
38、给出，而梯度方向是垂直于等值面的，故按等值面分解。如果 按面元分解，则保守力可写为： 3 3 2 2 1 1 g f g f g f f r r r r + + = （82） 它表示按有向面元（即法向面元）分解。故也称为面积坐标分解。这是保守力的协变表达方 式。 如果它们大小相等方向相等，则必定有： j i j i j i j i j j i i f f g f f g g g f g f f = = = ) ( ) ( ) ( ) ( 2 r r r r（83） 为对坐标系变换的不变量。 特别的，如取直角坐标系，则有： 3 3 2 2 1 1 2 ) ( f f f f f f f f f
39、j i j i + + = = （84） 故，对任何坐标系，有： j i j i j i g g g = = r r( 85 ) 显然的，其解为： 3 2 1 1 g g g g r r r = ， 1 3 2 1 g g g g r r r = ， 1 3 3 1 g g g g r r r = （86） 式中， ij g g g g g g g g g g g det ) ( ) ( ) ( 2 1 3 1 3 2 3 2 1 = = = = r r r r r r r r r（87） 它是以三个协变基矢为棱边构成的平行六面体的体积。 将以上结果推广到 j i ij ij g g f f
40、r r = ) ( ，表示以 j i g g r r （张量基）为广义的二阶协变基矢， 则称 ij f 为二阶逆变张量。推广到 j i ij ij g g f f r r = ) ( ，就表以 j i g g r r （张量基）为广义的二阶 逆变基矢，则称 ij f 为二阶协变张量。 张量理论讲稿 河南理工大学 肖建华 2008年 3月 13物理及工程上常用到的张量为： （1）矢量： i i g r r = ， 如速度： i i e dt dx V r r = （88-1） （2）协（变）矢量： i i g r r = ，如梯度： i i e x U gradU r = （88-2） （3）逆
41、变基上的协变二阶张量，如： j i ij ij e e g g r r = ) ( （88-3） （4）协变基上的逆变二阶张量，如： j i ij ij e e g g r r = ) ( （88-4） （5）混合张量（线性算子） ，如： j i i j e e a A r r = （88-5） （6）一般张量： M N N M j j j i i i i i i j j j e e e e e e T T r L r r r L r r = 2 1 2 1 2 1 2 1 . .（88-6） 它是 N阶逆变 M 阶协变的混合张量。 一般地说，基是不必完全写出的，只是指出基矢的定义及空间的维数
42、即可。张量形式 的这种形式不变性使的很容易将低维空间的物理工程结果推广到高维空间。故成为当代科 学的必备工具。 Ricci-Eddington广义量纲原理 如所熟知，任何一个正确的物理或工程方程，其中各项的物理量纲必须是齐次的。这是 物理量纲原理。 Ricci-Eddington 广义量纲原理：在一个物理方程中，各项的上标逆变阶数和下标协变阶 数应该分别在等号的两侧相等。 例如： j i i j B A C = （89-1） 对坐标变换， j i j j j i i x d C x d x x dx = = ，有： l k l j i k l l j k i k j i i j B A C C
43、 B C A C B A C ) )( ( = = = （89-2） 特别的，有： k k l k l k l k l i i k i i i i B A B A B A C C B A C C C C C = = = = = + + = 3 3 2 2 1 1（89-3） C C C = = 是一个纯量（标量） 。它表示，重复指标对消求和得到零阶张量，它是一个不变 量。上式等价于矩阵中的主值和不变性。也可看成是矢量点积的定义。 对牛顿定理有： i i f dt x d m = 2 2（90-1） 如果惯性力是由引力（保守力） gradU 产生，则：正确的写法是： j ij j ij i f g x U g dt x d m = = 2 2（90-2） 错误的写法是： j j i f x U dt x d m = = 2 2（90-3）
