1、模糊数学基本原理及应用张 志 政东南大学计算机科学与工程系seu_,1 序言 介绍本课程是什么、有何用途、如何学习 1.1 对数学的初步认识： 1.2 集合和逻辑在数学中的作用和地位 1.3 现代数学的分类方法 1.4 模糊数学是什么？ 1.5 本门课程的内容 1.6 如何学习本门课程,1.1 对数学的初步认识(1),请同学们先回答数学是什么？说说自己所学过的数学（从小学开始）,算术、几何、代数、解析几何、数学分析、高等代数、数理统计与概率论均为数学，他们的关系如何？他们又有怎样的共同性质？（先请大家回答）,A b B A b c B,1.1 对数学的初步认识(2),我认同的别人的观点：1 要
2、坚信数学是从实际应用而来，并且是能够到实际应用中而去的。再复杂的数学都来自于直观的实际问题：比如古代的土地丈量所 以数学的发展首先是从几何的大发展。有人认为是用来描述现实世界的语言 2 数学本身也是可能出错的（悖论），正是这些错误和矛盾及不能够解释的现象推动数学的发展。例如：阿基里斯和乌龟：,A c d B A d e B,3 我们曾经学过的数学都是经典的，在一定认识范围内适用的，有没有适用于整个世界的公理和定理？大家正在探索。比如非欧几何的许多例子：三角形内角和等于180度；等等都是有它本身适用范围的，而不是全宇宙都适用的。4 数学家也一直在寻找数学可靠的立足点：描述对象的表示、思维方法，是
3、现代数学的立足点：集合论、数理逻辑不过注意：这个基础不是稳固的也是有悖论的，这是数学基础理论的研究课题,1.1 对数学的初步认识(3),1.2 集合和数理逻辑在数学中的作用和地位,集合论是现代数学的基础和立足点， 不同时期数学家赋予数学的基础是不同的， 随着认识范围扩大和新矛盾、悖论的发现旧的基础被动摇，就有新的基础出现。现在从集合论能够 推出几乎所有的数学定理。数理逻辑为我们都认可提供 的描述思维方法的形式体系。,1.3 现代数学 参考现代数学P.罗曼,把集合当作最基本的结构，给集合及其元素上添加不同的关系及运算就构造出了一个新的结构：代数结构、拓扑结构、测度空间和泛函空间等等例如：离散数学
4、中，从集合，在它的元素上添加关系，形成群，再添加新的运算就产生出不同的各种群等等！,集合,代数,拓扑,1.4 模糊数学是什么?,大于四的数 x| x 4, x是实数 A 大约为四的数 A,个头超过180cm的人 p|p(age)180cm,p是人,age是实数=B,大高个子 B,问：3属于A? 3属于A？190cm属于B? 190cm属于B?,传统的集合，某元素是否属于该集合是确定的：或是或否？ 现在的问题是：有些集合，某元素是否属于它是不确定的，模模糊糊的，以这种集合为基础，讨论模糊数学。,1.5 本门课基本内容,1 序言：介绍本课程是什么、如何学习,2 F集合：属于F数学的基本理论,3 F
5、模式识别：模糊数学的一种重要应用,4 F关系与聚类分析：模糊数学的一种重要应用,5 F逻辑：属于F数学的基本理论,1.6 如何学习本门课程,1 以离散数学为先行课！ 2 必须了解各章节在整个课程中的地位和作用！ 3 防止眼高手低，一定要自己在不看书的情况下能够做出 例题（包括：定理和性质的证明。） ！ 4 认真完成作业！,2 模糊集(Fuzzy Set) p2-p32,2.1 基本概念 2.2 F集的运算 2.3 F集运算的其他定义 2.4 F集的截集 2.5 分解定理 2.6 模糊集的模糊度,2.1 模糊集概念 (1)定义,经典集合,模糊集合,定义：设在论域U上给定一个映射CA : U0,1
6、 则：集合CA =u| CA(u)=1,uU,集合A的特征函数为：,定义：设在论域U上给定一个映射A: U0,1 u|A(u) 则: A称作论域U上的模糊集，A(u)称为A的隶属函数。,隶属函数为0或1的特例,2.1 模糊集概念 (2)举例,经典集合,模糊集合,(1) U为离散的,(1) U为离散的,CA长度大于4cm的线段 则： CA =8,7,6,5 即：,A长线段 则： A=?根据线段越短属于长线段的隶属度递减可以设：,2.1 模糊集概念 (3)举例,经典集合,模糊集合,(2) U为连续的,(2) U为连续的,CA年龄大于50岁的人,A老年人,2.1 模糊集概念 (4)空集与满集,空集：
7、A(u)0 满集：A(u)1,2.1 模糊集概念 (5)模糊幂集 p6,一个论域U上可以定义多个F集，U上所有F集的全体记为： F(U)称作模糊幂集并且有：P(U)F(U),作业1： 1 幂集本身是不是集合？如果是，它是模糊集还是普通集？为什么？ 请给出一个论域有多个模糊集的例子，并在一个坐标系内画出它们的特征函数曲线！ 举例说明模糊集合的各种表示方法！,2.2 模糊集的运算讲述集合之间的运算,两个集合之间的运算是两个集合的隶属函数之间的运算,当隶属函数的值域为0,1，则变成普通集合的运算,当隶属函数的值域为0,1，则变成普通集合的运算,包含、相等、交、并、补、差,包含、相等、交、并、补、差,
8、CA CB u CB (u) CB(u) CA CB CA CB & CB CA ( CA CB )(u) = CA(u)CB(u)= min(CA(u), CB(u) (CA CB)(u) = CA(u)CB(u)=max(CA(u) CB(u) (CA) c (u) =1- CA(u),A B u A(u) B(u) A B A B & B A ( A B )(u) = A(u) ? B(u)=?(A(u),B(u) (A B)(u) = A(u) ? B(u)=?(A(u),B(u) A c (u) = 1- A(u),性质：自反、对称、传递、幂等、 交换、结合、分配、对偶,性质：自反、
9、对称、传递、幂等、 交换、结合、分配、对偶,？,定义：(AB)(u) = A(u) B(u) =min(A(u),B(u) (AB)(u) = A(u) B(u) =max(A(u),B(u),2.2 模糊集的运算最大最小运算,交,并,补,2.2 模糊集的运算最大最小运算下的性质(1),一个扩展：,2.2 模糊集的运算最大最小运算下的性质(3),(F(U), , ,c)的性质：(p13),作业(3)： 证明所有最大最小运算下的(F(U), , ,c)的性质,2.3 模糊集运算的其他定义“?”其他二元运算的情况,在实际的工程应用中，单单采用min、max 不适用，逐步探索出了其他的运算（p15）
10、,统称为模糊算子,表示为*和*,用映射表示：(AB)(u) = A(u) * B(u) =T(A(u),B(u) (AB)(u) = A(u) * B(u) =S(A(u),B(u),讨论所有这些模糊算子的共性，就是讨论映射：T和S 的性质,2.3 模糊集运算的其他定义T范数、S范数,对于模糊算子* （包括* 和* ），它的清晰域为： (* )=(x,y)|x * y=0或x * y=1 因为： (AB)(u) =1(0) A(u) * B(u) =1(0) T(A(u),B(u)=1(0) (AB)(u) =1(0) A(u) * B(u) =1(0) S(A(u),B(u)=1(0) 所以
11、：模糊算子清晰域的大小决定了确定属于或确定不属于集合的元素的 数量亦即模糊算子的模糊程度,2.3 模糊集运算的其他定义T范数、S范数的清晰域,2.3 模糊集运算的其他定义,作业1： 证明：三角范算子T和S是对偶算子p17-18,2.4 模糊集的截集从模糊中寻找确定，“矬子里选将军”,定义：设AF(U), 0,1 则：(1) 称A 为A的一 个- 截集，称为阈值（或置信水平）(2) 称A 为A的一 个- 强截集(3) SuppA=u|uU, A(u)0 A的支集KerA=u|u U,A(u)=1 A的核当A的核不空，称A为正规F集,2.4 模糊集的截集性质：注意从有限到无限,截集,强截集,性质1
12、 (AB)= A B (AB)= A B,性质2 若At |t T， 则,性质3 设 1 、 2 0,1， A F（U），若 1 2则,性质4,性质1、2、3、4、5,2.5 分解定理模糊集用普通集合表示,可以看到，当从1下降到0的时候，就是从KerA逐渐扩展为SuppA，因此，F集A可以看作是普通集合族 A | 0,1,2.5 分解定理模糊集用普通集合表示（2）,数积的定义：模糊集合的数积：设0,1，A F(U)， 记(A)(u)= A(u) 则称A为与A的数积。,(A)(u)= A(u), A(u),数积的性质：1 若 1 2 则 1 A 2 A2 若A B 则A B,2.5 分解定理模糊
13、集用截集表示：分解定理1,分解定理1 ：设A F(U)，则,证明：因为A是普通集合，所以它的特征函数,推论：A(u)=sup|u A ,2.5 分解定理分解定理1举例,A 1u3 A0.7 u3 ,u4 A0.6 u2 , u3 ,u4 A0.5 u1 , u2 , u3 ,u4 A0.3 u1 , u2 , u3 ,u4 , u5,2.5 分解定理模糊集用强截集表示：分解定理2,分解定理2：设A F(U)，则,推论：A(u)=sup|u ,2.5 分解定理分解定理3,从截集和强截集表示方法归纳出用更一般的普通集合表示模糊集,作业2： 课后习题: T4，T9，T14，T15(2), T20 证
14、明分解定理2，3,2.6 模糊集的模糊度,模糊度：普通集合描述的是一个精确概念，而模糊集描述的是一个模糊的概念，这个模糊概念的模糊程度的数量度量称为模糊度，它刻画了模糊集合整体上的模糊程度。模糊集A的模糊 度表示为d(A),直观含义：处于中间最模糊；两端最明确；以中间为轴，模糊度是对称的（但含义不同）。,2.6 模糊度的一般数学描述形式,方法：以模糊幂集为变量域，以区间0，1为值域的映射。0表示最 不模糊，1表示最模糊。d: F(U)0,1 约束条件：1 d(A)=0当且仅当AP(U);2 u U, 当且仅当A(u)1/2 , d(A)=1;3 u U, 当B(u)A(u) 1/2时，d(B)
15、 d(A);4 A F(U), d(A)=d(Ac ).,2.6 有限论域上模糊度的一般数学描述形式,设U=u1,u2,un ,且映射d: F(U)0,1为：,其中g: 0,a 0,1严格递增且g(0)=0,f: 0,1 0,，且：(1) x 0,1, f(x)=f(1-x);(2) f(0)=0;(3) f(x)在0,1/2上严格递增.实际上：映射d是由映射g 和f复合而成，可以验证d满足模糊度的 一般数学描述形式因而这个定义下d的是模糊度。,2.6 一个模糊度的具体例子(1),设U=u1,u2,un , AF(U),证明：dp (A)是A的模糊度,定义法：直接验证dp (A) 符合模糊度定
16、义 的一般数学形式,定理法：验证f和g符合模糊度 在有限论域下的数学 形式,2.6 一个模糊度的具体例子(2),上例模糊度称作Minkowski模糊度 当p=1，上例模糊度称作Haming模糊度 当p=2, 上例模糊度称作Euclid模糊度,作业3： 课后习题: T29，T30,模糊模式识别3.1 基本概念3.2 模糊集合之间贴近度的数学计算3.3 模糊模式识别的原则3.4 实际应用：几何图形识别、手写文字的识别3.5 模糊集合的隶属度函数的确定,3.1 模糊模式识别基本概念,模式识别：对某个具体对象识别它属何类的问题，例如指纹识别、 角膜识别、车牌号识别、卫星军事设施识别等等。 模糊模式识别
17、： 由于或者对象的描述具有模糊性或者对象的特征 具有模糊性，对于这种对象，识别它的类别的问题。 例如：几何图形识别、手写字体识别。,3.2 模糊模式识别模糊集合之间贴近度的数学计算贴近度的原则性定义,要对一个对象进行识别必须能够计算对象的特征和类别的特征的贴近度，当模糊对象、类别的特征采用模糊集合表示的时候，就成为模糊集合之间的贴近度的计算了。,模糊集合的贴近度的原则性定义： （采用一般数学描述形式）设A、B、C F(U) ，若映射 N: F(U) F(U) 0,1满足：1 N(A,B)=N(B,A);2 N(A,A)=1, N(U,)=0;3 若A B C,则N(A,C) N(A,B) N(
18、B,C).则称N(A,B)为F集A与B的贴近度.N称为F(U)上的贴近度函数。,3.2 模糊模式识别模糊集合之间贴近度的数学计算一些具体计算（1）,3.2 模糊模式识别模糊集合之间贴近度的数学计算一些具体计算（2）,4 格贴近度: 下一节专门介绍！,3.2 模糊模式识别模糊集合之间贴近度的数学计算一些具体计算定义（3）,3.2 模糊模式识别模糊集合之间贴近度的数学计算一些具体计算（4）：格贴近度,设A、B F(U) 则内积：外积：余运算：峰值：谷值：,性质： 1 对偶：234567,3.2 模糊模式识别模糊集合之间贴近度的数学计算一些具体计算（4）：格贴近度,格贴近度：,3.3 模糊模式识别原
19、则,最大隶属原则识别U的某个元素属于哪个已知模糊集合（概念）设Ai F(U) (i1,2,n)对于u0U,若存在k使得Ak (u) =maxA1 (u0), A2 (u0), An (u0)则认为u0隶属于Ak例如：p60,2 择近原则识别F(U)某个元素属于哪个已知模糊集合（概念）设Ai F(U) (i1,2,n)对于BF(U),若存在k使得N(Ak , B ) =max N(A1,B), N(A2,B), N(An,B)则认为B与Ak为一类例如：p62,3.3 模糊模式识别举例几何图形识别,请大家自己认真阅读p6365，10分钟后回答：1 书中识别方法是按照哪种模糊模式识别原则？2 能否采
20、用另一种识别原则？如果能，如何作？3 例题中最大的难点你认为在何处？,3.3 模糊模式识别举例手写文字的识别,1 方格矩阵法：,H=(10001100011000111111100011000110001)5=(11111100001000011111000010000111111) X=(111110.400000.40.10.70.60.1111110000100.40.50.2110.90.911)X?,3.3 模糊模式识别举例手写文字的识别,1 模糊方位转换法：,2=(3 2 2 1 7 7 7 7 7 0 0 2 2 2),大家考虑作实际应用编程过程中这个方法还需要考虑的问题：,1
21、书写顺序和识别的顺序如何确定？ 2 标准库和待识别字的存储方法？比如手写“大”和“天”，如果存储方法不好， “大”和“天”可能就被当成一个字。,3.3 确定隶属度函数的方法,确定隶属度函数的几种方法： 1 模糊统计方法 2 三分法 3 模糊分布法 4 其他 确定隶属函数的注意事项：,4 模糊关系与聚类分析本章大概,如同模式识别通过贴近度评判，聚类分析通过等价关系评判，所以本章首先讨论模糊关系的定义和性质及构造方法，最后讨论聚类分析的原则和方法。,聚类分析是就是按照一定的要求对事物进行分类的数学方法。例如下图就是按照距离的由远至近的方法，对平面那的点分为两类。,4 模糊关系与聚类分析基本内容,4
22、.1 模糊关系 ： 1特定模糊关系的性质 4.2 模糊矩阵 ： 2有限域上模糊关系的矩阵表示， 可以简化计算 4.3 模糊关系的对称与自反性 ： 3表示多个事物之间相关性的概念 4.4 截矩阵： 4模糊关系本身的一种运算 4.5 模糊关系的合成： 5两个模糊关系复合表示另一个 4.6 模糊关系的传递性： 6一种自反且对称的模糊关系 4.7 模糊等价关系及聚类图： 7模糊等价关系的性质及其和聚类 的关系。 4.8 模糊相似关系： 8模糊矩阵上的一种运算 4.9 聚类分析： 9聚类的具体原则、步骤和实例,4.1 模糊关系定义,模糊关系：U、V是论域，则称集合UV(u,v)|u U, v V为笛 卡
23、儿积，以UV为域，设R F(UV)，它的隶属函数：就确定了从U到V的模糊关系记做：,注意：关系是有向的,例如：当U=V=张三、李四、王二麻，则： UV(张三,张三),(张三,李四), (张三,王二麻),(李四,李四), (李四,张三), (李四,王二麻),(王二麻,王二麻), (王二麻,张三), (王二麻,李四)模糊关系 R=(1, 0, 0, 1, 0.9, 0, 0.5, 0.9, 0.8)，表示三者之间的信 任关系。,4.1 模糊关系举例,4.1 模糊关系运算和性质(同于模糊集合),1 相等 2 包含 3 并4 交5 余 6 分解定理,4.2 模糊矩阵定义,当U和V是有限的时候，可以用行
24、表示U，列表示V则域UV上的关系R可以表示为：,模糊矩阵：设矩阵 R=(rij)mn rij0,1 则称R为模糊矩阵 特别当rij0,1则称R为布尔矩阵。,4.2 模糊矩阵运算,设mn 表示m行n列的F矩阵，R( rij ) mn ,S= ( sij ) mn ,规定：R=S rij = sij ( i, j) ；RS rij sij ( i, j) ；RS rij sij mn ；R S rij sij mn ；Rc (1- rij) mn .,4.2 模糊矩阵运算律（1）,1 模糊矩阵并、交、余运算律因为模糊矩阵运算等价于模糊关系运算，模糊关系运算实际上就是模糊集合的运算，所以第二章中有关
25、于模糊关系的并、交、余运算的性质在此同样适用（比较p92与p13）,4.2 模糊矩阵运算律（2）,2 模糊矩阵相等和包含运算的性质,4.2 模糊矩阵运算律（2）,2 模糊矩阵相等和包含运算的性质,4.3 模糊关系的对称性与自反性对称性定义,转置关系：设R F(UV)、RT F(V U)，当(u,v) V U 都有RT (u,v)R (v, u) ，则称RT为R的转置关系。对称关系：设(u,v) U V ， RT (u,v)R (u,v)，则称R具有对 称性，R是对称关系。比如朋友关系，而父子关系不 可能是对称的。注意对称关系中：| U|=| V| 与此对应的模糊矩阵R有转置矩阵RT，对称关系对
26、应的矩阵是对称的。,4.3 模糊关系的对称性与自反性转置矩阵和对称矩阵,R的转置矩阵：设R=(rij)mn,则称RT= =(rji)nm 为R的转置矩阵 对称矩阵：设R=(rij)mm,如果R=RT则称R为对称矩阵。,例如：,显然：R为对称矩阵当且仅当rji rij,4.3 模糊关系的对称性与自反性转置的性质,(RT)T R. RS RT ST . (R S) T RT ST , (R S) T RT ST R nn ,则R RT是对称的. R、S nn , S对称， RS，则R RT S. 凡是包含R的矩阵都包含R RT ,故R RT是包含R的最小对称阵，也称作R的对称闭包。,4.3 模糊关
27、系的对称性与自反性自反性,自反关系：如果域U上的关系R，对于(u,u) U U，都有R (u,u)1，则称R为U上的自反关系。相应的模糊矩阵R( rij ) nn且rii 1，则称R为自反矩阵。,恒等关系：当关系R，对于(u,v) U U，都有则称R为恒等关系，记做I。显然：R是自反关系RI,4.4 截矩阵模糊集的截集在模糊矩阵上的表示,设R ( rij ) mn ， 0,1，记：R ( rij () ) mn其中则称R 为R的截集。记 其中则称 为R的强截集。,性质： RS 0,1， R S (RS) = R S , (RS) = R S ,证明：？,思考：下列各式成立否,tT, T是有限的
28、,tT, T是无限的,4.5 模糊关系的合成普通关系合成,设Q P(U V), R P(V W), S P(U W)，若(u,w) Sv 使(u,v) Q且(v,w) R则称关系S是由关系Q与P合成的，记做：,4.5 模糊关系的合成模糊关系合成,设Q F(U V), R P(V W), S F(U W)，Q对R的合成，就是从U到W的一个F关系，记做,4.5 模糊关系的合成模糊关系合成举例,设R为“x远大于y”的模糊关系，其隶属函数为：,则合成关系 应为“x远远大于y”. 求,解：先理解，后作图，后解题！,4.5 模糊关系的合成模糊关系合成举例,所以对于每一对固定的（x,y）只考虑z (y,x)
29、的情况即可,4.5 模糊关系的合成模糊关系合成举例,4.5 模糊关系的合成模糊关系合成的模糊矩阵表示,模糊矩阵的合成也称为模糊矩阵的乘积或模糊乘法，乘法过程与普通矩阵乘法相同，只是把改为，改为。,4.5 模糊关系的合成模糊关系合成的性质,4.5 模糊关系的合成模糊关系合成的性质,4.6 模糊关系传递性基本概念,1 传递模糊关系：设RF(UU)，如果0,1，均有R(u,v) ，R(v,w) R(u,w) 则称R是传递模糊关系。可见R是传递关系 ，R是传递的普通关系。,2 传递闭包RF(UU)，R的传递闭包就是包含R的最小的传递闭包记为t(R). t(R)满足：1 t(R)是传递关系，且R t(R
30、);2 Q是任意传递关系且R Q，则t(R) Q；,4.6 模糊关系传递性基本定理,定理1 R是传递的模糊关系的充要条件是R R2,定理2 设RF(UU)，总有,定理3,定理4 设U只有n个元素，R是U上的二元模糊关系，则,定理5 设Rnn 是自反矩阵，则,4.7 模糊等价关系及聚类图基本定义,模糊等价关系：设RF(UU)，如果满足：1 自反性 R R2 2 对称性 I R或R(u,u)=13 传递性 R=RT或R(u,v)=R(v,u)则称之为U上的等价关系。,如果上述U是有限的，则可以用模糊矩阵R表示等价关系，称为模糊等价矩阵，满足：1 rii =1; 2 rij =rji ;3,4.7
31、模糊等价关系及聚类图定理,定理1 Rnn 是等价矩阵的充分必要条件是0,1， R都是等价的 布尔矩阵。,定理2 设Rnn ， 0 1，则按照R将U分成的每一类必定是按R 将U分成的类的子类。,4.7 模糊等价关系及聚类图直觉,为什么按照等价关系对U的元素分类？,对称说明了没有方向性、自反说明元素和本身是一类、传递说明按照一个标准，这些正是分类的特质。,普通等价关系中，两个元素的关系或者是1，或者是0，又元素本身比为一类，所以根据传递性，与该元素关系为1者，必和它同类；在模糊等价关系中，两个元素的关系处于0,1中，所以对它们的分类必须按照某个阈值，两个元素的关系超过阈值则属一类。,4.7 模糊等
32、价关系及聚类图普通等价关系聚类举例,1、3；2;4;5,=0.5,=0.4,4.7 模糊等价关系及聚类图模糊等价关系聚类举例,1、2、3、4、5 1、3、4、5 2,4.8 模糊相似关系定义,模糊相似关系：设RF(UU)，如果R具有自反性和对称性，则 称R为U上的一个模糊相似关系。,实际应用中，相似关系比较容易得到，但是要分类必须得到等价关系，如何得到呢？,4.8 模糊相似关系从相似到等价,定理1 相似矩阵Rnn 的传递闭包是等价矩阵，且t(R)=Rn .证明： 因为3.6定理5，所以t(R)= Rn 。又R是自反的，故I R，所以R R2 ，同理可以推出I R R2 Rn ，所以Rn自反。因
33、为R= RT ，所以 所以Rn是对称的。,当n很大时， Rn计算量非常大所以：,定理2 设Rnn 是自反矩阵，则任意自然数mn，都有t(R)= Rm,4.8 模糊相似关系从相似到等价,应用该定理可以采用平方法。直到2k n至多求 步。,证明：R自反所以故I R，所以R R2 ，同理可以推出I R R2 Rn ，又由于3.6定理2、5，当mn时，有t(R)= Rn Rm =t(R), 所以t(R)= Rn Rm 。,4.8 聚类分析（自学）,从以上分析，我们可以得到这样一个需求链：,聚类,等价关系,相似关系,因为从相似到等价的计算量太大，所以产生了,直接聚类法、 编网法、 最大树法 等等,作业：
34、1 证明p102，倒数两个公式为何不能把 “”换成“=”。（参考p23例3）2 p128 第24题,5 模糊逻辑1、2、3章概述,5 模糊逻辑内容,本章介绍模糊命题逻辑最基本的知识。 5.1 二值逻辑中命题逻辑知识基本概念 5.2 模糊命题公式 5.3 模糊逻辑函数的概念 5.4 模糊逻辑函数的范式 5.5 模糊逻辑函数的最小化 5.6 模糊逻辑函数的分析,5.1 二值逻辑中命题逻辑基本概念,命题：能分辨其真假的陈述句。逻辑系统中一个命题非真即假！用大写字母表示，也称其为在0,1上取值的命题变元。,命题的运算（命题联结词）：合取、析取 、取否 、 蕴涵、等价 。,命题公式：1) 0、1是命题公
35、式.2) 命题变元是命题公式.3) 如果P是命题公式，则 P是命题公式4) 如果P和Q是命题公式，则： PQ、PQ、PQ、 PQ 都是命题公式. 5) 有限次运用上述法则所得到的结果是命题公式.,5.1 二值逻辑中命题逻辑基本概念,4 命题公式的指派：命题公式中变元的一组取值称为一组真值指 派。含有n个命题变元的公式，共有2n组不同 的真值指派。,5 永真公式：对于任何一组指派都取值为1的公式。反之称为永假公式。,设S表示所有命题的集合，则、 、 、 分别看作是S上的二元和一元运算，则集S与这三种运算构成一个代数系统（S; ， ）。,5.2 模糊命题逻辑基本概念(1),模糊命题：具有模糊性的陈
36、述句。用大写字母表示。,命题的运算（命题联结词）：合取、析取 、取否 、 蕴涵、等价 。 一般前 三项为最大、最小和补运 算， 也可以为*和*。,2 模糊命题变量：一个模糊命题可以看作是在0,1取值的变量， 称之为模糊命题变量，简称模糊变量，常以小 写字母x,y,z表示。,模糊命题公式（模糊公式）：1) 0、1是模糊公式.2) 模糊命题变元是模糊公式.3) 如果P是模糊公式，则 P是模糊公式4) 如果P和Q是模糊公式，则： PQ、PQ、PQ、 PQ 都是模糊公式. 5) 有限次运用上述法则所得到的结果是模糊公式.,5.2 模糊命题逻辑基本概念(2),模糊集上的真值函数：设模糊命题的集合为F，
37、P，Q F，若映射T: F 0,1满足：1) T(P Q)=T(P) T(Q); 2)T(P Q)=T(P) T(Q); 3)T(P)=1-T(P)则称映射T为F上的真值函数，T(P)称为模糊命题P的真值。,5.2 模糊命题逻辑基本概念(3),5.2 模糊命题逻辑基本概念(4),赋值: 当给定模糊命题P以具体的真值时，称为给模糊命题P赋值.6 等值公式如果对于两个模糊公式A和B，当且仅当对A、B中所含模糊命题的一切 赋值都有T(A)T(B)时，称A、B为等值公式。记为A=B,7 -真公式: 模糊公式A中所含变量的一切赋值，均有：T(A) ,8 模糊真公式： -真公式。,9 模糊假公式：模糊公式
38、A中所含变量的一切赋值，均有：T(A)1/2,5.3 模糊逻辑函数基本概念（1）,字：命题变量及其取否。0和1也是字,模糊逻辑函数：模糊命题公式，也是n个模糊变量的函数，即有映射f: 0,1 n 0,1 称此映射为模糊逻辑函数。例如：x ( y) z,子句：字的析取式。如x y z,字组：字的合取式。如x y z,为方便 “” 常记为“” 或略去；“” 记为“” 。,5.3 模糊逻辑函数基本概念（2）,模糊函数的析取范式：若模糊逻辑函数f(x1,x2,xn)能表示成 字组i (i=1,2,n)的析取式，即则称该式为的析取范式，即：f(x1,x2,xn) 1 2 n,模糊函数的合取范式：若模糊逻
39、辑函数f(x1,x2,xn)能表示成 子句Ci (i=1,2,n)的合取式，即则称该式为的合取范式，即：f(x1,x2,xn) C1 C2 Cn,5.3 模糊逻辑函数定理,定理1 1) 子句C= x1+x2+xn为F-真的必要充分条件它包含变量对(x1, x1)2) 字组= x1x2xn是F-假的必要充分条件是它含有变量对(x1, x1),定理2 1) 析取范式f 1 2 n是F-假的必要充分条件是所有字 组I为 F-假.2) 合取范式f C1 C2 Cn是F-假的必要充分条件是所有字组Ci为 F-假.,定理3 1) 模糊公式P F为F-真的必要充分条件是公式P在二值逻辑中永真， 公式P为F-
40、假的充分必要条件是P在二值逻辑中永假。,5.4 模糊逻辑函数的析取范式析取范式的项(1),T(f(x)=f(x) =f(x1,x2, x3,xn) x1 x2 x4 x1 x1 x2 x4 x1 x1 x2 x3 x4,x 0,14 则f(x)的真值T(f(x)=f(x),互补最小项：含有所有变量的互补项,互补项：至少含有一互补对的字组,单项：由单字构成的字组,单字：在字组中不存在补元的字,5.4 模糊逻辑函数的析取范式析取范式的项(2),定理1 f = a1 a2 am为F-真的充要条件是x0,1 n ，总有两项满足ai = 1 aj 1 i j m，称ai 、 aj两项广义互补。,定理2
41、对变量x任何赋值，均有a(xi + xi )=a，（其中xi 、 xi 都不在a中），的充要条件是1) a 是互补项，且2) xi 、 xi 是互补对.推论1：设a为互补项，则T(a) 推论2：设字组ai 1 i m不再a中出现，那么a(a1 a2 am)=a， 成立的条件是：1 a 为互补项，且2 为F-真.,5.4 模糊逻辑函数的析取范式析取范式的项(3),设和均为项，若x0,1 n ，有 (x) (x)，则称含于，或 包 含. 若 (x) (x)，则真含于.,定理3 设、均是0,1 n上的项，则1) 含于当且仅当中的字一定出现在中；2) 真含于当且仅当中的字一定在中出现，且中至少有一字不
42、在中出现3) 若含于，则 ， .,5.4 模糊逻辑函数的析取范式简单析取式的互素项,简单析取式：设模糊逻辑函数f = a1 a2 am ，若ai不含于aj (ij，j m、 i m) ，则称f为简单析取式。例如：f1 = x1 x2 x4 x1 x1 x2 x4 x1 x1 x2 x3 x4是反例。f2 = x1 x2 x4 x1 x1 x2 x4是正例,不互素：设、均是简单析取式的项，若存在，使真包含于且 ，则称与并不互素。否则称与互素。,5.4 模糊逻辑函数的析取范式简单析取式的互素项,定理4 设、均是简单析取式的项，若存在，使真含于且恒有： ，则称与互素。,定理5 设是简单析取式的单项，
43、则与其他各项互素。,5.5 模糊逻辑函数的最小化(1),最简析取式：就是满足下面条件的析取式：1 没有更少项的其他的等价形式。2 没有项数相同而总字数较少的其他等值形式。,由上一节定理5，知道简单析取式中的单项就是最简式的项. 因此，在进行逻辑函数化简时，只需考虑简单析取式中的互补项即可！,定理1 在简单析取式f = 1 2 + s中，互补项中的单字xi或 xi可删去的充要条件是：1) 存在项且它由单字与的xi或 xi互补，且2) 中除互补的单字外，其余字均出现在中.,5.5 模糊逻辑函数的最小化(2),5.5 模糊逻辑函数的最小化(3),定理2 在简单析取式中，互补项可删去的充要条件是：总有两项彼此有单字（或字组）互补，且这些项除互补的字外，其余的字均出现在中,
