1、2020/1/3,1,概率论与数理统计,2,第四章 正态分布4.1 正态分布的概率密度和分布函数4.2 正态分布的数字特征 4.3 正态随机变量的线性函数的分布4.4 二维正态分布4.5 中心极限定理,正态分布,正态分布，又称高斯分布,一、邂逅，正态曲线的首次发现,正态分布的前世今生,棣莫弗拉普拉斯中心极限定理，4.5节,二、寻找随机误差分布的规律（正态分布的确立）,三、正态分布的各种推导,四、正态分布开疆扩土,五、正态魅影,正态分布性质，4.3节,4.1 正态分布的概率密度与分布函数,6,定义：设随机变量 的概率密度为,则称 服从正态分布，记作 ，其中 及 是参数,正态分布也称为高斯分布,4
2、.1 正态分布的概率密度与分布函数,7,特点（性质）：,关于 对称,如图以标准正态分布为例，分析 的取值对图像的影响,4.1 正态分布的概率密度与分布函数,8,是对称轴，只是左右平移，改变其左右位置，不改变其形状,改变其形状（高矮胖瘦），不能改变其位置,4.1 正态分布的概率密度与分布函数,9,4.1 正态分布的概率密度与分布函数,10,分布函数,分布函数,的性质：第二章中分布函数所有性质,的性质：,11,标准正态分布的分布函数值表,见281页附录表1。我们一起学查表。,【例】已知 X N(0, 1)，查表解决以下问题。,求概率,13,其它结论：,14,4.1 正态分布的概率密度与分布函数,1
3、5,定理：设,，则 落在区间 内的概率,当然也有：,4.1 正态分布的概率密度与分布函数,16,证明：,4.1 正态分布的概率密度与分布函数,17,解：,例：设,，求：,4.1 正态分布的概率密度与分布函数,18,例：设,，求,解：,4.1 正态分布的概率密度与分布函数,19,解：,例：设,，求：,4.1 正态分布的概率密度与分布函数,20,解：,例：设,，求：,4.1 正态分布的概率密度与分布函数,21,解：,例：设,，求： 落在区间,其中,的概率，,称为正态分布的“ ”规则,4.2 正态分布的期望和方差,数学期望：,方差：,【例】正态分布的标准化：已知 X N(m, s 2)，则有,X N
4、(m, s 2),4.3 正态分布的线性性质,设随机变量 ，则有,其中a, b (b 0)为常数。,【例】已知 X N(1, 4)，试确定Y = 1-2X的分布，并写出Y 的密度函数。,正态分布的可加性,设随机变量 ，并且X与Y独立，则,1. 两个正态分布情形,2. 多个正态分布情形,设随机变量 相互独立，且 ，则其中 为常数。,【例】已知 X N(-3, 1)，Y N(2, 1)，并且X与Y独立， 试确定Z = X-2Y+7的分布，求E(Z),D(Z)，写出Z 的密度函数。,4.4 二维正态分布,26,定义：,其中 是参数.,二维随机变量 服从二维正态分布，记作,4.4 二维正态分布,27,
5、定理1：设二维连续随机变量,则 与 的边缘分布都是正态分布，且无论参数 为何值，都有,4.4 二维正态分布,28,定理2：设二维连续随机变量,则 与 相互独立的充要条件是相关系数,29,客，考点8. 正态分布的性质及概率计算,30,31,4.5 中心极限定理,32,概率论中关于论证“大量独立随机变量的和的极限分布是正态分布”的一系列定理统称为中心极限定理,4.5 中心极限定理,33,定理1：【林德伯格莱维中心极限定理】,设随机变量 相互独立，服从相同的分布，且,则对于任何实数 ，有,此定理通常称为“独立同分布的中心极限定理”,34,解：设随机变量 表示第 页的印刷错误的个数，则,则,35,解：,4.5 中心极限定理,36,37,例：某电站供应10000户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为0.8,各用户用电多少是相互独立的，求：,(1)同一时刻有8100户以上用电的概率；,所以由“棣莫弗拉普拉斯中心极限定理”,(2)若每户用电功率为100W，则电站至少需要多少电功率才能保证以0.975的概率供应居民用电,38,例：某电站供应10000户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为0.8,各用户用电多少是相互独立的，求：,(1)同一时刻有8100户以上用电的概率；,(2)若每户用电功率为100W，则电站至少需要多少电功率才能保证以0.975的概率供应居民用电,反查表,39,40,
