利用MATLAB分析圆环电流的磁场分布.pdf

1、 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/第 29 卷 第 1 期Vol129 No11长 春 师 范 学 院 学 报 (自 然 科 学 版 )Journal of Changchun Normal University(Natural Science)2010 年 2 月Feb. 2010利 用 MATLAB 分 析 圆 环 电 流 的 磁 场 分 布王 玉 梅 , 孙 庆 龙(陕 西 理 工 学 院 物 理 系 , 陕 西 汉 中 723003)摘 要

2、根 据 毕 奥 萨 伐 尔 定 律 推 导 出 圆 环 电 流 磁 场 分 布 的 积 分 表 示 , 利 用 MATLAB 的 符 号 积 分 给出 计 算 结 果 , 并 绘 制 磁 场 分 布 的 三 维 曲 线 。 在 数 值 结 果 中 选 取 一 些 代 表 点 讨 论 磁 场 的 分 布 规 律 。关 键 词 圆 环 电 流 ; 磁 场 ; MATLAB ; 符 号 积 分 ; 三 维 绘 图中 图 分 类 号 O4 - 39 文 献 标 识 码 A 文 章 编 号 1008 - 178X(2010) 01 - 0020 - 04收 稿 日 期 2009 - 08 - 18作 者

3、 简 介 王 玉 梅 (1975 - ) , 女 , 山 西 芮 城 人 , 陕 西 理 工 学 院 物 理 系 讲 师 , 从 事 大 学 物 理 教 学 与 研 究 。毕 奥 萨 伐 尔 定 律 是 以 实 验 为 基 础 经 过 科 学 抽 象 而 得 到 的 ,描 述 的 是 电 流 元 在 空 间 任 一 点 产 生 的 磁 感 应强 度 。 原 则 上 利 用 毕 奥 萨 伐 尔 定 律 并 结 合 磁 感 应 强 度 叠 加 原 理 ,可 以 计 算 任 意 形 状 的 电 流 所 产 生 的 磁 场 。本 文 主 要 讨 论 圆 环 电 流 所 产 生 的 磁 场 分 布 情

4、况 ,利 用 MATLAB 软 件 进 行 计 算 ,并 绘 制 磁 场 分 布 的 三 维 曲 线 ,最后 对 结 果 进 行 讨 论 。1 圆 环 电 流 在 空 间 任 一 点 的 磁 场 分 布图 1 圆 环 电 流 磁 场 分 析 用 图如 图 1 所 示 ,根 据 毕 奥 萨 伐 尔 定 律 ,任 一 电 流 元 Id l_在 P 点 产 生的 磁 感 应 强 度 d B_= 04 Id l_ e_rr2 ,1 其 中 r_和 r_ 分 别 为 P 点 相 对 于 坐 标原 点 和 电 流 元 Id l_的 位 矢 , r_ 为 电 流 元 Id l_相 对 于 坐 标 原 点 的

5、 位 矢 。r_ = r_ + r_ ,r_ = x i_ + y j_ + z k_ ,r_ = R (cos i_ + sin j_ ) (其 中 R 为 圆 环 电 流 半 径 ) ,d l_= Rd cos( + 2 ) i_ + sin ( + 2 ) j_ = Rd ( - sin i_ + cos j_ ) 。根 据 圆 环 电 流 的 电 流 分 布 特 点 ,可 知 在 图 1 中 以 z 轴 上 某 点 为 圆心 、 圆 面 平 行 于 圆 环 电 流 的 圆 周 上 各 点 的 磁 场 大 小 相 同 ,方 向 表 述 也 应 该 相 同 ,那 么 P 点 的 坐 标 为

6、 ( x ,0 , z) 的结 果 也 具 有 普 遍 性 。 因 此 有 :d B_= 04 Id l_ e_ rr2 = 0 IRd4 r3 zcos i_ + zsin j_ + ( R - xcos ) k_ .dB x = 0 IRd4 r3 zcos , B x = dB x = 20 0 IR4 r3 zcos d . (1)dB y = 0 IRd4 r3 zsin , By = dB y = 20 0 IR4 r3 zsin d . (2)dBz = 0 IRd4 r3 ( R - xcos ) , Bz = dBz = 20 0 IR4 r3 ( R - xcos ) d

7、. (3)其 中 r = x2 + z2 + R2 - 2 Rxcos .2 利 用 MATLAB 进 行 积 分 计 算02 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/211 利 用 MATLAB 进 行 积 分 计 算对 于 (1) 、 (2) 、 (3) ,可 利 用 MATLAB 中 的 符 号 积 分 进 行 积 分 运 算 2 ,下 面 是 计 算 的 程 序 代 码 。syms sita x z R % 定 义 sita、 x、 z、 R 为 变

8、 量R = 1 ; %计 算 中 圆 环 半 径 R 取 为 1mf = R 3 z 3 cos(sita) / ( (R.2 + x.2 + z.2 - 2 3 R 3 x 3 cos(sita) ) .1. 5) ;g = R 3 z 3 sin (sita) / ( (R.2 + x.2 + z.2 - 2 3 R 3 x 3 cos(sita) ) .1. 5) ;h = R 3 (R - x 3 cos(sita) ) / ( (R.2 + x.2 + z.2 - 2 3 R 3 x 3 cos(sita) ) .1. 5) ;Bx = int (f , sita ,0 ,2 3 p

9、i) ;By = int (g , sita ,0 ,2 3 pi) ; Bz = int (h , sita ,0 ,2 3 pi) ; %计 算 积 分在 计 算 积 分 时 ,对 各 式 中 的 系 数 0 I4 可 不 考 虑 ,因 为 该 系 数 并 不 会 影 响 磁 场 的 分 布 特 征 。程 序 运 行 后 :Bx = - 2 3 ( EllipticK(2 3 (1/ (1 + x2 + z2 + 2 3 x) 3 x)(1/ 2) ) 3 x2 - EllipticE(2 3 (1/ (1 + x2 + z2 + 2 3 x)3 x)(1/ 2) ) 3 x2 - 2 3

10、 EllipticK(2 3 (1/ (1 + x2 + z2 + 2 3 x) 3 x)(1/ 2) ) 3 x + EllipticK(2 3 (1/ (1 + x2 + z2 + 23 x) 3 x)(1/ 2) ) 3 z2 - EllipticE(2 3 (1/ (1 + x2 + z2 + 2 3 x) 3 x)(1/ 2) ) + EllipticK(2 3 (1/ (1 + x2 + z2 + 2 3x) 3 x)(1/ 2) ) - EllipticE(2 3 (1/ (1 + x2 + z2 + 2 3 x) 3 x)(1/ 2) ) 3 z2) 3 ( (1 + x2 +

11、 z2 - 2 3 x) / (1 + x2 + z2+ 2 3 x) )(1/ 2) 3 z/ (1 + x2 + z2 - 2 3 x)(3/ 2) / x ;By = 0 ;Bz = 2 3 ( EllipticK(2 3 (1/ (1 + x2 + z2 + 2 3 x) 3 x)(1/ 2) ) 3 x2 - EllipticE(2 3 (1/ (1 + x2 + z2 + 2 3 x) 3x)(1/ 2) ) 3 x2 - 2 3 EllipticK(2 3 (1/ (1 + x2 + z2 + 2 3 x) 3 x)(1/ 2) ) 3 x - EllipticE(2 3 (1/

12、 (1 + x2 + z2 + 2 3x) 3 x)(1/ 2) ) 3 z2 + EllipticK(2 3 (1/ (1 + x2 + z2 + 2 3 x) 3 x)(1/ 2) ) + EllipticK(2 3 (1/ (1 + x2 + z2 + 2 3 x)3 x)(1/ 2) ) 3 z2 + EllipticE(2 3 (1/ (1 + x2 + z2 + 2 3 x) 3 x)(1/ 2) ) ) 3 ( (1 + x2 + z2 - 2 3 x) / (1 + x2 + z2 + 23 x) )(1/ 2) / (1 + x2 + z2 - 2 3 x)(3/ 2) ;2

13、12 利 用 MATLAB 进 行 三 维 绘 图对 于 EllipticE(x)和 EllipticK(x) 两 种 形 式 ,在 Matlab 中 ,可 用 函 数 mfun ( EllipticE ,x) 和 mfun ( EllipticK ,x) 3 来 计 算 其 数 值 结 果 。 并 用 surfl (x ,z ,Bx) 和 surfl (x ,z ,Bz) 命 令 绘 制 出 磁 场 在 径 向 和 轴 向 的 三 维 分 布 图 ,如图 2 和 图 3 所 示 。图 2 圆 环 电 流 径 向 磁 场 分 布 图 图 3 圆 环 电 流 轴 向 磁 场 分 布 图部 分 程

14、 序 代 码 如 下 :x ,z = meshgrid (0 :0. 03 :2 , - 1 :0. 03 :1) ;12 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/Bz = 2. 3 (mfun ( EllipticK , (2. 3 (1. / (1 + x.2 + z. 2 + 2. 3 x) . 3 x) . (1/ 2) ) ) . 3 x. 2 - mfun ( EllipticE , (23 (1. / (1 + x.2 + z.2 + 2. 3

15、 x) . 3 x) .(1/ 2) ) ) . 3 x.2 - 2 3 mfun ( EllipticK , (2 3 (1. / (1 + x.2 + z.2 + 2. 3 x) .3 x) . (1/ 2) ) ) . 3 x - mfun ( EllipticE , (2 3 (1. / (1 + x. 2 + z. 2 + 2. 3 x) . 3 x) . (1/ 2) ) ) . 3 z. 2 + mfun ( El2lipticK , (2 3 (1. / (1 + x.2 + z.2 + 2. 3 x) . 3 x) .(1/ 2) ) ) + mfun ( EllipticK

16、 , (2 3 (1. / (1 + x. 2 + z. 2 + 2. 3 x) .3 x) .(1/ 2) ) ) . 3 z.2 + mfun ( EllipticE , (2 3 (1. / (1 + x. 2 + z. 2 + 2 3 x) . 3 x) . (1/ 2) ) ) ) . 3 ( (1 + x. 2 + z. 2- 2. 3 x) . / (1 + x.2 + z.2 + 2. 3 x) ) .(1/ 2) . / (1 + x.2 + z.2 - 2. 3 x) .(3/ 2) ;4 surfl (x ,z ,Bz) ;xlabel ( x ) ;ylabel ( z

17、 ) ;zlabel ( Bz ) ;3 结 果 分 析311 圆 环 电 流 磁 场 方 向 分 析从 积 分 结 果 知 ,圆 环 电 流 在 坐 标 为 (x ,0 ,z)点 所 产 生 的 磁 场 在 y 轴 上 的 分 量 By = 0 ,说 明 圆 环 电 流 周 围 任 一点 的 磁 场 方 向 在 由 该 点 和 圆 环 电 流 的 轴 向 所 决 定 的 平 面 内 (在 本 例 中 即 xoz 面 内 ) ,其 磁 场 可 分 解 到 轴 向 和 径向 (圆 环 电 流 的 径 向 ,如 上 边 的 x 方 向 )这 两 个 垂 直 方 向 上 来 。312 圆 环 电 流

18、 磁 场 大 小 分 析从 图 2 和 图 3 来 看 ,不 管 是 径 向 分 量 还 是 轴 向 分 量 ,都 是 在 z = 0 ,x = 1 附 近 小 范 围 内 的 磁 场 强 ,往 周 围 扩展 ,磁 场 衰 减 非 常 快 ,从 数 值 结 果 也 可 直 观 看 到 相 应 的 现 象 , 在 z = 0 ,x = 1 附 近 取 了 一 些 点 的 磁 场 计 算 结 果 如表 1 所 示 。 其 他 区 域 的 磁 场 较 弱 ,磁 场 的 空 间 变 化 率 也 较 小 。表 1 z = 0 ,x = 1 附 近 一 些 点 的 磁 场 数 值z x Bx( 103)

19、Bz ( 103)- 0. 00200. 99800. 99901. 00001. 00101. 0020- 0. 5005- 0. 8004- 1. 0000- 0. 7996- 0. 49950. 50750. 40740. 0073- 0. 3926- 0. 4926- 0. 00100. 99800. 99901. 00001. 00101. 0020- 0. 4004- 1. 0005- 2. 0000- 0. 9995- 0. 39960. 80801. 00810. 0080- 0. 9919- 0. 792000. 99800. 99901. 00001. 00101. 002

20、000NaN001. 00832. 0090NaN- 1. 9910- 0. 99170. 00100. 99800. 99901. 00001. 00101. 00200. 40041. 00052. 00000. 99950. 39960. 80801. 00810. 0080- 0. 9919- 0. 79200. 00200. 99800. 99901. 00001. 00101. 00200. 50050. 80041. 00000. 79960. 49950. 50750. 40740. 0073- 0. 3926- 0. 4926从 表 1 可 知 ,在 圆 环 上 (z = 0

21、 ,x = 110000) ,B 为 无 穷 大 。 这 是 因 为 与 该 位 置 电 流 元 对 应 的 r = 0 所 致 。313 圆 环 电 流 所 在 的 平 面 磁 场 分 析22 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/从 表 1 中 可 知 ,在 z = 0 处 ,即 在 圆 环 电 流 所 在 面 上 (除 环 上 各 点 ) 的 磁 场 在 径 向 无 分 量 ,磁 场 方 向 在 轴 向上 。 表 2 给 出 了 圆 环 电 流 所

22、在 面 上 一 些 点 的 磁 场 数 值 结 果 。表 2 圆 环 电 流 所 在 面 上 的 磁 场 Bz( 103)x Bz x Bz x Bz x Bz0 0. 0063 0. 991 0. 2290 1. 001 - 1. 9910 1. 100 - 0. 01590. 200 0. 0065 0. 992 0. 2570 1. 002 - 0. 9917 1. 200 - 0. 00670. 300 0. 0067 0. 993 0. 2928 1. 003 - 0. 6588 1. 300 - 0. 00380. 400 0. 0072 0. 994 0. 3406 1. 004

23、 - 0. 4924 1. 400 - 0. 00250. 500 0. 0078 0. 995 0. 4074 1. 005 - 0. 3926 1. 500 - 0. 00180. 600 0. 0088 0. 996 0. 5076 1. 006 - 0. 2787 1. 600 - 0. 00140. 700 0. 0106 0. 997 0. 6746 1. 007 - 0. 2431 1. 700 - 0. 00100. 800 0. 0142 0. 998 1. 0084 1. 008 - 0. 2155 1. 800 - 0. 00080. 900 0. 0246 0. 999

24、 2. 0090 1. 009 - 0. 1934 1. 900 - 0. 00070. 980 0. 1060 1. 000 NAN 1. 010 - 0. 1753 2. 000 - 0. 0005从 表 2 知 环 内 (x 0 ,而 环 外 (x 11000)的 Bz 11009 区 域 ,磁 场 逐 渐 减 小 ,而 且 随 着 x 增 加 变 化 越 缓 慢 。若 以 圆 环 边 界 (即 x = 11000)为 准 ,把 圆 环 内 外 对 称 点 (例 如 x = 01998 和 x = 11002 两 点 ) 的 磁 场 比 较 ,可 以发 现 环 外 磁 感 应 强 度 比

25、 环 内 略 小 。 这 是 由 于 在 环 内 ,所 有 电 流 元 的 磁 场 方 向 都 相 同 ,而 在 环 外 对 应 点 ,电 流 元产 生 的 磁 场 方 向 并 不 都 相 同 ,因 此 叠 加 后 总 的 磁 场 要 比 环 内 略 小 。4 结 束 语对 圆 环 电 流 产 生 磁 场 的 分 布 进 行 分 析 ,根 据 毕 奥 萨 伐 尔 定 律 推 导 出 磁 场 分 布 的 积 分 表 示 ,再 利 用 MAT2LAB 的 符 号 积 分 可 以 方 便 地 计 算 出 积 分 结 果 ,绘 制 出 磁 场 分 布 曲 线 ,直 观 地 揭 示 出 了 磁 场 的

26、分 布 规 律 。 而 且 只要 圆 环 电 流 已 知 ,它 周 围 任 一 点 的 磁 场 都 可 以 给 出 确 切 的 表 示 。 一 方 面 对 工 程 实 际 应 用 载 流 圆 环 及 类 似 载 流圆 环 (如 亥 姆 赫 兹 线 圈 、 螺 线 管 等 )的 磁 场 具 有 一 定 的 指 导 意 义 5 ;另 一 方 面 也 说 明 了 MATLAB 强 大 的 数 学 分 析和 绘 图 功 能 可 以 很 好 地 应 用 于 物 理 学 研 究 中 。参 考 文 献 1 马 文 蔚 . 物 理 学 (中 册 ) M. 北 京 :高 等 教 育 出 版 社 ,2001.2

27、苏 金 明 . 王 永 利 . Matlab7. 0 实 用 指 南 M. 北 京 :电 子 工 业 出 版 社 ,2004.3 云 舟 工 作 室 . MATLAB6 数 学 建 模 基 础 教 程 M. 北 京 :北 京 人 民 邮 电 出 版 社 ,2001.4 陈 怀 琛 . Matlab 及 其 在 理 工 课 程 中 的 应 用 指 南 M. 西 安 :西 安 电 子 科 技 大 学 出 版 社 ,2004 :292 - 295.5 王 晓 颖 ,李 武 军 . 载 流 圆 环 空 间 磁 场 分 布 的 研 究 J . 西 安 工 业 大 学 学 报 ,2004 (3) .Ana

28、lysis on the Magnetic Field Distribution of Ring Electric Current with MATLABWANG Yu - mei ,SUN Qing - long(Physics Department ,Shaanxi University of Technology ,Hanzhong 723003 ,China)Abstract :This paper derives the integral representation of the magnetic field distribution of circular current acc

29、ording to Biot- Savart Law ,gives the computed results using the symbolic integration of MATLAB ,and draws the three - dimensionalcurve of the magnetic field distribution. Some representative points in the computed results are selected to discuss the dis2tributed rule of the magnetic field.Key words :ring electric current ;magnetic field ;MATLAB ;symbolic integration ;three - dimensional cartography32