1、1 1、 有 四 个 数 , 一 个 是 最 小 的 奇 质 数 , 一 个 是 偶 质 数 , 一 个 是 小 于 30 的 最 大质 数 , 另 一 个 是 大 于 70 的 最 小 质 数 , 求 它 们 的 和 。解 析 : 最 小 的 奇 质 数 是 3, 唯 一 的 偶 质 数 是 2, 小 于 30的 最 大 质 数 是 29, 大 于70的 最 小 质 数 是 71, 因 此 它 们 的 和 是 : 3+2+29+71=105 2、 105 的 正 约 数 有 多 少 个 ?解 析 : 先 把 105分 解 质 因 数 为 : 105=3 5 7则 105的 正 约 数 个 数
2、 为 : ( 1+1) ( 1+1) ( 1+1) =8个 3、 144 的 正 约 数 有 多 少 个 ? 全 部 正 约 数 之 和 是 多 少 ?解 析 : 144=24 32, 144的 正 约 数 个 数 为 : ( 4+1) ( 2+1) =15个 。全 部 正 约 数 之 和 为 : ( 20+21+22+23+24) ( 30+31+32) =403 4、 已 知 质 数 p 和 q 满 足 3153 qp , 求 13 qp 的 值 。解 析 : 3p 与 3q 的 和 是 31, 是 个 奇 数 , 奇 数 +偶 数 =奇 数 , 因 此 3p 与 5q 两 个 积其 中
3、之 一 是 偶 数 , 而 3、 5 是 奇 数 , 奇 数 和 偶 数 乘 积 才 会 是 偶 数 , 因 此 p 和 q之一 必 有 一 个 是 偶 质 数 2.若 p=2, 则 q=( 31-3 2) 5=5, q 是 质 数 , 因 此 p=2,q=5 符 合 题 意 .则.81153 213 qp若 q=2, 则 q=( 31-5 2) 3=7, 因 此 p=7,q=2,则 1132 713 qp综 上 , 13 qp =7或 1 5、 若 P为 质 数 , 且 4 3P 仍 为 质 数 , 求 5 3P 的 值 .2解 析 : p4+3 3,因 此 p4+3是 一 个 奇 质 数
4、, 那 么 p4是 一 个 偶 数 , 那 么 p 是 偶 质 数 2.则 25+3=35 6、 设 p, q, r 都 是 质 数 , 并 且 p+q=r, p q 求 p解 析 : 质 数 除 了 2之 外 都 是 奇 数 。 p+q=r, 若 p和 q都 是 奇 数 , 则 和 为 偶 数 , 因此 p 与 q之 一 必 为 偶 质 数 2.p q, 因 此 p=2。 7、 已 知 p,p+8,p+10都 是 质 数 , 求 p。解 析 : 把 质 数 按 模 3分 类 : 3、 3k+1、 3k+2.若 P 为 除 以 3余 1 的 质 数 , p+8 不 是 质 数若 p 为 除 以
5、 3余 2 的 质 数 , p+10 不 是 质 数 。若 p 为 3, p+8,p+10都 是 质 数 。所 以 p=3. 8、 证 明 ; 如 果 2P P、 都 是 大 于 3 的 质 数 , 那 么 6 ( 1)P .证 明 :设 p=6k+1,则 p+2=6k+1+2,p+2不 是 质 数 。因 为 p是 质 数 , 不 等 于 6k+2、 6k+3、 6k+4、 6k.则 p=6k+5,则 p+1=6k+5+1=6(k+1),即 : 6 ( 1)P 9、 已 知 p,p+6,p+12,p+18,p+24都 是 质 数 , 求 p。解 析 : 设 p=5k+1,则 p+24=5k+2
6、5,不 是 质 数 , 因 此 p 5k+1设 p=5k+2,则 p+18=5k+20,不 是 质 数 , 因 此 p 5k+23设 p=5k+3,则 p+12=5k+15,不 是 质 数 , 因 此 p 5k+3设 p=5k+4,则 p+6=5k+10, 不 是 质 数 , 因 此 p 5k+4设 p=5k,则 p=5,p+6=11,p+12=17,p+18=23,p+24=29 10、 有 三 个 正 整 数 , 一 个 是 最 小 的 奇 质 数 , 一 个 是 最 小 的 奇 合 数 , 另 一 个 既不 是 质 数 , 也 不 是 合 数 , 求 三 个 数 的 积 。解 析 : 最
7、 小 的 奇 质 数 是 3, 最 小 的 奇 合 数 是 9, 既 不 是 质 数 也 不 是 合 数 的 数 是 1,这 三 个 数 的 乘 积 是 : 3 9 1=27 11、 从 1 开 始 的 连 续 正 整 数 中 第 15 个 质 数 是 N N, 的 各 位 数 字 之 和 为 a, 数 字之 积 为 b, 求 2 2b a .解 析 : 2、 3、 5、 7、 11、 13、 17、 19、 23、 29、 31、 37、 41、 43、 47, 第 15 个质 数 是 47, 各 位 数 字 之 和 是 11, 数 字 乘 积 是 28, 则 b2-a2=663 12、 正
8、 整 数 1, 2, N 中 有 p个 质 数 , q个 合 数 , m个 奇 数 , n个 偶 数 .求( ) ( )n q m p 的 值 .解 析 : 原 式 =( n+m) -(q+p), n+m是 1 至 N 所 有 的 整 数 , p+q是 除 了 1之 外 2至N 的 所 有 整 数 。 因 此 原 式 =1. 13、 在 150200间 找 两 个 数 , 使 它 们 的 乘 积 为 110 273.解 析 : 110 273=2 3 5 11 91=( 91 2) ( 3 5 11) =182 165 14、 一 个 两 位 质 数 , 将 它 的 十 位 数 字 与 个 位
9、 数 字 对 调 后 仍 是 一 个 质 数 , 我 们4称 它 为 “ 无 暇 质 数 ” , 则 所 有 “ 无 暇 质 数 ” 之 和 是 多 少 ?解 析 : 两 位 无 暇 质 数 : 13、 31、 17、 71、 37、 73、 79、 97, 这 些 质 数 的 和 是 :418 15、 试 说 明 有 无 穷 多 个 正 整 数 n, 使 得 2 3 7n n 为 合 数 .解 析 : 设 n=7k,则 有 无 穷 多 个 n, 使 得 2 3 7n n 为 合 数 。 1、 有 三 个 数 , 一 个 是 偶 质 数 , 一 个 是 大 于 50 的 最 小 质 数 , 一
10、 个 是 100 以 内最 大 的 质 数 , 求 这 三 个 数 的 和 。解 析 : 偶 质 数 2, 大 于 50的 最 小 质 数 53, 100以 内 最 大 的 质 数 97, 2+53+97=152 2、 一 次 数 学 竞 赛 中 , 小 明 的 名 次 、 成 绩 与 他 的 岁 数 乘 起 来 是 2910, 你 能 算 出小 明 的 成 绩 和 名 次 吗 ?解 析 : 2910=2 3 5 97, 小 明 15岁 , 名 次 第 2 名 , 成 绩 97分 。 3、 设 x 表 示 为 不 超 过 正 数 x的 质 数 个 数 , 例 如 =2, =4等 , 则 -的
11、值 为 多 少 ?解 析 : 小 于 48的 质 数 有 : 2、 3、 5、 7、 11、 13、 17、 19、 23、 29、 31、 37、 41、43、 47、 53、 59、 61、 67 -=19 4、 若 质 数 m, n 满 足 5m+7n=129, 求 m+n 的 值 。5解 析 : 129是 个 奇 数 , m 或 n之 一 为 偶 质 数 2, 若 m=2, 则 n=( 129-5 2) 7=17,m+n=19,若 n=2,则 m=( 129-7 2) 5=23, m+n=25 5、 若 p q、 是 质 数 , 关 于 x的 方 程 5 97px q 的 根 为 1,
12、 求 2q p 的 值 .解 析 : 由 题 意 得 , 5 97px q 为 奇 数 , 故 p、 5q 为 一 奇 一 偶 , 故 p、 q 为 一 奇 一偶 , 得 p、 q中 必 有 一 个 数 为 2.若 p=2, 则 q=19, 若 q=2, 则 p=87不 合 题 意 , 因 此2q p =15 6、 证 明 有 无 穷 多 个 n, 使 2 41n n 为 合 数 .解 析 : 设 n=41k, 则 有 无 穷 多 个 n, 使 2 41n n 为 合 数 。 7、 若 有 三 个 质 数 的 乘 积 恰 好 是 这 三 个 数 和 的 11 倍 , 求 这 三 个 质 数 .
13、解 : 11、 7、 3 8、 (1) p q、 是 两 个 大 于 2 的 质 数 , 证 明 p q 是 合 数 .解 : 设 p=2k1+1,q=2k2+1,p+q=2(k1+k2+1),k1、 k2 1, 因 此 p+q的 和 是 合 数 。(2) p是 质 数 , 2 3p 仍 为 质 数 , 证 明 3 3P 也 是 一 个 质 数 .解 : 设 p=2k+1,则 2 3p =4( k2+k+1) ,不 是 质 数 , 所 以 p=2, 2 3p =7, 3 3P =11. 9、 p q、 是 质 数 , 7 11p q pq , 也 是 质 数 , 试 求 式 子 ( ) (2
14、2 )q p p qp q 的 值 .解 : 7p+q 的 和 是 个 质 数 , 是 个 大 于 2 的 质 数 , 则 为 奇 质 数 , 奇 数 +偶 数 =奇 数 ,6因 此 p、 q必 有 一 个 是 偶 质 数 2, 若 p=2,设 q=3k+1,则 7p+q 不 是 质 数 , 设 q=3k+2,则 pq+11不 是 质 数 , 因 此 q=3,则 ( ) (2 2 )q p p qp q =29, 若 q=2,设 p=3k+1,则 7p+q不 是 质 素 , 设 p=3k+2,则 pq+11不 是 质 数 , 因 此 p=3,代 入 ( ) (2 2 )q p p qp q =
15、29。 10、 设 p( 5)是 质 数 , 并 且 2p+1也 是 质 数 求 证 : 4p+1是 合 数 解 : 设 p=6k+1,则 2p+1 不 是 质 数 , 因 此 p=6k+5,k 0,4p+1=24k+21=3(8k+7)是个 合 数 。 11、 a b c, , 是 不 同 的 正 整 数 , 两 两 互 质 , 且 其 中 任 何 两 个 数 的 和 能 被 第 三 个数 整 除 , 求3 3 3a b c 的 值 .解 : 36 12、 是 否 存 在 连 续 88 个 自 然 数 都 是 合 数 ?解 : 我 们 用 n! 表 示 1 2 3 n.令 a=1 2 3 89=89! ,那 么 , 如 下 连 续 88个 自 然 数 都 是 合 数 : a+2, a+3, a+4, , a+89这 是 因 为 对 某 个 2 k 89, 有a+k=k (2 (k-1) (k+1) 89+1)是 两 个 大 于 1 的 自 然 数 的 乘 积