1、 - 1第一部分：平面向量的概念及线性运算一.基础知识 自主学习1向量的有关概念名称 定义 备注向量 既有 又有 的量；向量的大小叫做向量的 (或称 ) 平面向量是自由向量零向量 长度为 的向量；其方向是任意的 记作 0单位向量 长度等于 的向量非零向量 a 的单位向量为a|a|平行向量 方向 或 的非零向量共线向量 的非零向量又叫做共线向量 0 与任一向量 或共线相等向量 长度 且方向 的向量 两向量只有相等或不等，不能 比较大小相反向量 长度 且方向 的向量 0 的相反向量为 02.向量的线性运算向量运算 定义 法则(或几何 意义) 运算律加法 求两个向量和的运算(1)交换律：abba.(
2、2)结合律：(ab)ca(bc )减法求 a 与 b 的相反向量b 的和的运算叫做 a与 b 的差法则aba(b)数乘 求实数 与向量 a 的积的运算(1)|a| |a|.(2)当 0 时， a 的方向与 a 的方向 ；当 b；(2)若|a|b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反；(3)若|a|b|，且 a 与 b 方向相同，则 ab；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；(5)若向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 的方向相同或相反；(6)若向量 与向量 是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上；AB CD (7)起点不同，但方向相同且模相等的几
3、个向量是相等向量；(8)任一向量与它的相反向量不相等题型二 平面向量的线性运算例 2 如图，以向量 a， b 为边作OADB， ， ，用 a、b 表示 、 、 .OA OB BM 13BC CN 13CD OM ON MN - 3变式训练 2 ABC 中， ，DEBC 交 AC 于 E，BC 边上的中线 AM 交 DE 于 N.设 a， b，用AD 23AB AB AC a、b 表示向量 、 、 、 、 、 .AE BC DE DN AM AN 题型三 平面向量的共线问题例 3 设 e1，e 2 是两个不共线向量，已知 2e 18e 2， e 13e 2， 2e 1e 2.AB CB CD (
4、1)求证：A、B、D 三点共线；(2)若 3e 1ke 2，且 B、D 、F 三点共线，求 k 的值BF 变式训练 3 设两个非零向量 a 与 b 不共线，(1)若 ab， 2a8b， 3(ab)求证：A、B、D 三点共线；AB BC CD (2)试确定实数 k，使 kab 和 akb 共线五思想与方法5用方程思想解决平面向量的线性运算问题试题：如图所示，在ABO 中， ， ，AD 与 BC 相交于点 M，设 a， b.试用 a 和 bOC 14OA OD 12OB OA OB 表示向量 .OM 六思想方法 感悟提高方法与技巧1将向量用其它向量(特别是基向量 )线性表示，是十分重要的技能，也是
5、向量坐标形式的基础- 42可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题如 且 AB 与 CD 不共线，则 ABCD；若 ，则AB CD AB BC A、B、C 三点共线失误与防范1解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件要特别注意零向量的特殊性2在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误七课后练习1给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；a0 ( 为实数)，则 必为零；， 为实数，若 a b，则 a 与 b 共线其中错误命题的个数为(
6、)A1 B2 C3 D42若 A、B 、C、D 是平面内任意四点，给出下列式子： ； = ； + .其中正确的有( )CD DA BD ACBD DC AA0 个 B1 个 C2 个 D3 个3. 已知 O、A、B 是平面上的三个点，直线 AB 上有一点 C，满足 =0，则 等于( )2OA. B. 22OB OOB C. D. 313OB A3123OB 4.如图所示，在ABC 中， ， 3 ，若 a， b，则 等于( )D12DC AE ED ACBE A. a b B a b13 13 12 14C. a b D a b12 14 13 135. 在四边形 ABCD 中， a2b, 4a
7、 b， 5a3b，则四边形 ABCD 的形状是( )ACCD A矩形 B平行四边形C梯形 D以上都不对6. 8， 5，则 的取值范围是_B7给出下列命题：向量 的长度与向量 的长度与向量 的长度相等；BA BA 向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；两个有公共终点的向量，一定是共线向量；向量 与向量 与向量 是共线向量，则点 A、B、C、D 必在同一条直线上ACD CD 其中不正确的个数为_8.如图，在ABC 中，点 O 是 BC 的中点.过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点 M、N.若 m ，ABAM n ，则
8、mn 的值为_AN - 59设 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 a b 与(b 2a)共线，则 _.10.在正六边形 ABCDEF 中， a， b，求 ， .ABAF DC,AE 11.如图所示，ABC 中，点 M 是 BC 的中点，点 N 在边 AC 上，且 AN2NC，AM 与BN 相交于点 P，求 APPM 的值12.已知点 G 是ABO 的重心，M 是 AB 边的中点.（1）求 ；AGB GO (2)若 PQ 过ABO 的重心 G,且 a, b， ma， nb，求证： 3.AOB OP OQ 1m 1n第二部分：平面向量的基本定理及坐标表示一基础知识 自主学习1两个向量的夹角定义
9、 范围已知两个 向量 a，b，作 a， b，则OA OB AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角( 如图) 向量夹角 的范围是 ,当 时 ,两向量共线，当 时，两向量垂直，记作 ab.2.平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理如果 e1，e 2 是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量 a， 一对实数 1， 2，使 a .其中，不共线的向量 e1，e 2 叫做表示这一平面内所有向量的一组 (2)平面向量的正交分解及坐标表示把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解(3)平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为
10、基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x，y，使 axiyj，这样，平面内的任一向量 a 都可由 x，y 唯一确定，把有序数对 叫做向量 a 的坐标，记作 a ，其中 叫做 a 在 x 轴上的坐标， 叫做 a 在 y 轴上的坐标设 xiyj，则向量 的坐标( x，y )就是 的坐标，即若 (x，y)，则 A 点坐标为 ，反之亦OA OA OA 成立( O 是坐标原点)3平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设 a(x 1，y 1)， b( x2，y 2)，则ab ，ab ，a ，| a| .(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐
11、标即为向量的坐标- 6设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 ，| | .AB AB 4平面向量共线的坐标表示：设 a(x 1，y 1)，b( x2，y 2)，其中 b0.ab .二难点正本 疑点清源1基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量 a 都可被这个平面的一组基底 e1，e 2 线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的2向量坐标与点的坐标的区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量 a，点 A 的位置被向量 a 唯一确定，此时点 A 的坐标与 a 的坐OA 标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点 A(x，y
12、) ，向量 a (x，y )OA 当平面向量 平行移动到 时，向量不变即 ( x，y),但 的起点 O1 和终点 A1 的坐标都发生了OA O1A1 O1A1 OA O1A1 变化三基础自测1已知向量 a(2，1)，b(1，m)，c(1,2) ，若( ab)c，则 m_.2已知向量 a(1,2)，b( 3,2)，若 kab 与 b 平行，则 k_.3设向量 a(1，3)，b(2,4) ，c ( 1，2)若表示向量 4a、4b2c、2(ac) 、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量 d_.4已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2)，B(1，2) ，C(3,1)，且 2 ，则顶点 D
13、的坐标为 ( )BC AD A. B.(2，72) (2， 12)C(3,2) D(1,3)5已知平面向量 a(x,1)，b (x，x 2)，则向量 ab( )A平行于 y 轴 B平行于第一、三象限的角平分线C平行于 x 轴 D平行于第二、四象限的角平分线四题型分类 深度剖析题型一 平面向量基本定理的应用例 1 如图，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 DC，BC 的中点，已知 c， d，试用 c，d 表示 ，AM AN AB .AD 变式训练 1 如图，P 是ABC 内一点，且满足条件 2 3 0，设 Q 为 CP 的延长线与 AB 的交点，令AP BP CP - 7p，试用 p 表
14、示 .CP CQ 题型二 向量坐标的基本运算例 2 已知 A( 2,4)，B(3，1)，C(3，4) 设 a， b， c，且 3c， 2b，AB BC CA CM CN (1)求 3ab3c；(2) 求满足 ambnc 的实数 m，n；(3)求 M、N 的坐标及向量 的坐标MN 变式训练 2 (1)已知点 A、B、C 的坐标分别为 A(2，4)、B(0，6)、C(8,10) ，求向量 2 的坐标；AB BC 12AC (2)已知 a(2,1)，b(3,4)，求：3a4b；a3b； a b.12 14题型三 平行向量的坐标运算例 3 平面内给定三个向量 a(3,2)，b( 1,2)，c(4,1)
15、，请解答下列问题：(1)求满足 amb nc 的实数 m，n；(2)若( akc)(2ba)，求实数 k；(3)若 d 满足(d c)( ab)，且 |dc| ，求 d.5变式训练 3 已知 a(1,0)，b(2,1)(1)求|a3b| ；(2)当 k 为何实数时，ka b 与 a3b 平行，平行时它们是同向还是反向？五易错警示- 88忽视平行四边形的多样性致误试题：已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(1,0) ，(3,0)，(1，5) ，求第四个顶点的坐标六思想方法 感悟提高方法与技巧1平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解2向量的坐标表示的本质是向量的代数表示
16、，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题3在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用失误与防范1要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息2若 a(x 1，y 1)，b( x2，y 2)，则 ab 的充要条件不能表示成 ，因为 x2，y 2 有可能等于 0，所以应表示为x1x2 y1y2x1y2x 2y10.同时，a b 的充要条件也不能错记为 x1x2 y1y20，x 1y1x 2y20 等七课后练习1已知向量 a(1 ，2)，
17、b (1m, 1m )，若 ab，则实数 m 的值为( )A3 B3 C2 D22已知平面向量 a(1,2)，b(2，m)，且 ab，则 2a3b 等于( )A(2，4) B( 3，6)C(4，8) D(5，10)3.设向量 a(3， )，b 为单位向量，且 ab，则 b 等于( )3A. 或 B.(32， 12) ( 32，12) ( 32，12)C. D. 或( 32， 12) ( 32，12) ( 32， 12)4.已知向量 a(1 ，m)，b(m 2，m) ，则向量 ab 所在的直线可能为( )Ax 轴 B第一、三象限的角平分线Cy 轴 D第二、四象限的角平分线5已知 A(7,1)、B
18、(1,4),直线 与线段 AB 交于 C,且 2 ，则实数 a 等于( )xy21ACB A2 B1 C. D.45 536若三点 A(2,2)，B(a,0)，C (0，b) ( ab0)共线，则 的值等于_1a 1b7已知向量 a(1,2)，b(x,1) ，ua 2b，v2ab，且 uv，则实数 x 的值为_8若向量 a 与 相等，其中 A(1,2)，B(3 ，2)，则 x_.43,2xB9若平面向量 a，b 满足|a b|1，ab 平行于 y 轴，a(2，1) ，则 b_.10 a(1,2)，b(3,2)，当 k 为何值时，kab 与 a 3b 平行？平行时它们是同向还是反向？11三角形的
19、三内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c，设向量 m(3cb，ab)，n(3 a3b，c)，m n.(1)求 cos A 的值；(2)求 sin(A30)的值- 912在ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，已知向量 m( a，b)，向量 n (cos A，cos B)，向量 p ，若 mn，p 29，求证：ABC 为等边三角形(22sin B C2 ，2sin A)第三部分：平面向量的数量积一基础知识 自主学习1平面向量的数量积已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为 ，则数量_叫做 a 和 b 的数量积(或内积) ，记作_.规定：零向量与任一向量的数量积为_.两个
20、非零向量 a 与 b 垂直的充要条件是 ，两个非零向量 a 与 b 平行的充要条件是 .2平面向量数量积的几何意义数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影_的乘积3平面向量数量积的重要性质(1)eaae ；(2)非零向量 a，b，ab ；(3)当 a 与 b 同向时，ab ；当 a 与 b 反向时，a b ，a aa 2，|a| ；aa(4)cos ；ab|a|b|(5)|ab|_|a|b|.4平面向量数量积满足的运算律(1)ab (交换律)；(2)(a)b ( 为实数)；- 10(3)(ab )c .5平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量 a(x 1，y 1)，b
21、( x2， y2)，则 ab ，由此得到(1)若 a(x，y)，则|a| 2 或|a| .(2)设 A（ x1,y1） ,B(x2,y2),则 A、B 两点间的距离|AB |= .AB(3)设两个非零向量 a，b，a( x1，y 1)，b(x 2，y 2)，则 ab .二难点正本 疑点清源1向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围2数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不满足向量间的结合律，即(ab)c 不一定等于a(bc)这是由于 (ab)c 表示一个与 c 共线的
22、向量，而 a(bc)表示一个与 a 共线的向量，而 c 与 a 不一定共线三基础自测1已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30，|a|2，|b| ，则向量 a 和向量 b 的数量积 ab_.32.在ABC 中，AB =3，AC=2，BC= ,则 _.10ACB3已知 a(2,3)，b(4,7)，则 a 在 b 方向上的投影为_4已知|a| 6， |b|3，ab12，则向量 a 在向量 b 方向上的投影是 ( )A4 B4 C2 D25已知向量 a(1 ，1)，b (1,2)，向量 c 满足(cb)a，(ca) b，则 c 等于 ( )A(2,1) B(1,0)C. D(0，1)(32，12)四
23、题型分类 深度剖析题型一 求两向量的数量积例 1 (1)在 RtABC 中，C90，AB 5，AC 4，求 ； BCA(2)若 a(3，4)，b(2,1)，试求(a2b)(2a 3b)变式训练 1 (1)若向量 a 的方向是正南方向，向量 b 的方向是正东方向，且|a|b| 1，则(3a)(ab)_.(2)如图，在ABC 中，ADAB， ，| |1，则 等于( )BC3BD AADCA2 B. C. D. 332 33 3题型二 求向量的模- 11例 2 已知向量 a 与 b 的夹角为 120，且|a|4，|b|2，求： (1)|ab| ；(2)|3a 4b| ；(3)(a2b)(ab)变式训
24、练 2 设向量 a，b 满足|ab|2，|a|2，且 ab 与 a 的夹角为 ，则|b| _.3题型三 利用向量的数量积解决夹角问题例 3 已知 a 与 b 是两个非零向量，且|a| |b| |ab|，求 a 与 ab 的夹角变式训练 3 设 n 和 m 是两个单位向量，其夹角是 60，求向量 a2mn 与 b2n3m 的夹角题型四 平面向量的垂直问题例 4 已知 a(cos ，sin )，b(cos ，sin )(0)(1)求证：ab 与 ab 互相垂直；(2)若 kab 与 ak b 的模相等，求 .(其中 k 为非零实数)变式训练 4 已知平面内 A、 B、 C 三点在同一条直线上， (
25、2，m)， (n,1)， (5 ，1)，且OAOB C ，求实数 m，n 的值OA OB - 12五答题规范5思维要严谨，解答要规范试题：设两向量 e1、e 2 满足|e 1|2，|e 2|1，e 1、e 2 的夹角为 60，若向量 2te17e 2 与向量 e1t e2 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围六思想方法 感悟提高方法与技巧1 向量的数量积的运算法则不具备结合律，但运算律和实数运算律类似如(ab) 2a 22abb 2；(ab)(sa t b)sa 2(ts)abt b2(，s，t R)2求向量模的常用方法：利用公式|a| 2a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算3利用向量垂
26、直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法技巧失误与防范1(1)0 与实数 0 的区别：0a00，a(a)00，a000；(2)0 的方向是任意的，并非没有方向，0 与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系2ab 0 不能推出 a0 或 b0，因为 ab0 时，有可能 ab.3一般地，(ab)c(bc)a 即乘法的结合律不成立因 ab 是一个数量，所以(ab)c 表示一个与 c 共线的向量，同理右边(bc)a 表示一个与 a 共线的向量，而 a 与 c 不一定共线，故一般情况下 (ab)c(bc)a.4ab ac(a0)不能推出 b c.即消去律不成立5向量夹角的概念要领会
27、，比如正三角形 ABC 中， 应为 120，而不是 60.,ABC七课后练习1.设向量 a(1,0)，b( ， )，则下列结论中正确的是( )12 12A|a| |b| Bab22Cab Dab 与 b 垂直2.若向量 a(1,1)，b(2,5) ，c(3 ，x )，满足条件(8ab) c30，则 x 等于( )A6 B5 C4 D33.已知向量 a，b 的夹角为 60，且| a|2，|b| 1，则向量 a 与 a2b 的夹角等于( )A150 B90 C60 D304.平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线，若 (2,4)， (1,3) ，则 等于( )ABCADBA6 B8 C8 D
28、65.若 e1、e 2 是夹角为 的单位向量，且向量 a2e 1e 2，向量 b3e 12e 2，则 ab 等于( )3A1 B4 C D.72 726若向量 a，b 满足|a| 1， |b|2 且 a 与 b 的夹角为 ，则 |ab|_.37已知向量 a，b 满足|a| 3 ，|b|2，a 与 b 的夹角为 60，则 ab_，若(amb) a，则实数- 13m_.8设 a、b、c 是单位向量，且 abc，则 ac 的值为_ 9.（O 是平面 上一点，A、B、C 是平面 上不共线的三点.平面 内的动点 P 满足),(ACBO若 时， 的值为_12 ()P10不共线向量 a，b 的夹角为小于 1
29、20的角，且| a|1，|b|2，已知向量 ca2b，求|c| 的取值范围11已知平面向量 a(1，x) ，b(2x3，x )，xR.(1)若 ab，求 x 的值；(2) 若 ab，求|ab|.12向量 a(cos 23 ，cos 67) ，向量 b(cos 68，cos 22)(1)求 ab；(2)若向量 b 与向量 m 共线，uam ，求 u 的模的最小值第四部分：平面向量应用举例一基础知识 自主学习1向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用
30、共线向量定理：ab .(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质 ab .(3)求夹角问题，利用夹角公式 cos ( 为 a 与 b 的夹角)ab|a|b| x1x2 y1y2x21 y21x2 y22平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是 ，它们的分解与合成与向量的 相似，可以用向量的知- 14识来解决(2)物理学中的功是一个标量，这是力 F 与位移 s 的数量积即 WFs|F|s|cos ( 为 F 与 s 的夹角) 3平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量
31、平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质二难点正本 疑点清源1向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合2要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题三基础自测1在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 ABCD 的边 ABDC，ADBC.已知 A(2,0) ，B(6,8)，
32、C(8,6)则 D 点的坐标为_ 2已知平面向量 、 ，| |1，| |2，(2)，则|2 |的值是_3平面上有三个点 A(2， y)，B ，C (x，y) ，若 ，则动点 C 的轨迹方程为_(0，y2) AB4已知 A、B 是以 C 为圆心，半径为 的圆上两点，且| | ， 等于 ( )5 5 BA B. C0 D.52 52 5325某人先位移向量 a：“ 向东走 3 km”，接着再位移向量 b：“向北走 3 km”，则 ab 表示 ( )A向东南走 3 km B向东北走 3 km2 2C向东南走 3 km D向东北走 3 km3 3四题型分类 深度剖析题型一 向量在平面几何中的应用例 1
33、 如图，在等腰直角三角形 ABC 中，ACB90，CACB，D 为 BC 的中点，E 是 AB 上的一点，且 AE2EB.求证：ADCE.- 15变式训练 1 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1，2)，B(2,3) ，C(2，1)(1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线 的长；(2)设实数 t 满足( t ) 0，求 t 的值AB OC OC 题型二 平面向量在解析几何中的应用例 2 已知点 P（0，-3） ，点 A 在 x 轴上，点 M 满足 =0， ，当点 A 在 x 轴上移动时，求动点PAAM 32MQ M 的轨迹方程变式训练 2 已知圆 C：(x-3) +(
34、y-3) =4 及点 A（1,1） ，M 是圆上的任意一点，点 N 在线段 MA 的延长线上，2且 2 ，求点 N 的轨迹方程MAAN 题型三 平面向量与三角函数例 3 已知向量 a(sin x，cos x)，b(sin x，sin x )，c( 1,0)(1)若 x ，求向量 a 与 c 的夹角；3(2)若 x ，求函数 f(x)ab 的最值； 38，4(3)函数 f(x)的图象可以由函数 y sin 2x (xR)的图象经过怎样的变换得到？22变式训练 3 已知 A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin )(1)若 1，求 sin 的值；(2) 若| + | ，且 (0 ，)，求
35、与 的夹角C( 4) OAC13 OB C五易错警示9忽视对直角位置的讨论致误试题：已知平面上三点 A、B、C ，向量 (2 k,3)， (2,4)AC(1) 若三点 A、B、C 不能构成三角形，求实数 k 应满足的条件；(2)若ABC 为直角三角形，求 k 的值- 16六思想方法 感悟提高方法与技巧1 向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题2 以向量为载体，求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法3 有关线段
36、的长度或相等，可以用向量的线性运算与向量的模4用向量方法解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；(3)把运算结果“翻译”成几何关系5向量的坐标表示，使向量成为解决解析几何问题的有力工具，在证明垂直、求夹角、写直线方程时显示出了它的优越性，在处理解析几何问题时，需要将向量用点的坐标表示，利用向量的有关法则、性质列出方程，从而使问题解决失误与防范1向量关系与几何关系并不完全相同，要注意区别例如：向量 并不能说明 ABCD.ABCD 2加强平面向量的应用意识，自觉地用向量的思想和方
37、法去思考问题七课后练习1已知ABC ， ,则一定有( )ACBA B =ACC( + )( - ) D + = -BA2点 P 在平面上做匀速直线运动，速度向量 v(4，3)(即点 P 的运动方向与 v 相同，且每秒移动的距离为|v| 个单位)设开始时点 P 的坐标为 (10,10)，则 5 秒后质点 P 的坐标为( )A(2,4) B(30,25)C(10，5) D(5，10)3.平面上有四个互异点 A、B、C 、D，已知 ，则ABC 的形状是( )(2)()0CA直角三角形 B等腰三角形- 17C等腰直角三角形 D等边三角形4.如图，ABC 的外接圆的圆心为 O,AB=2,AC=3,BC=
38、 ,则 等于( )7AOBCA. B.32 52C2 D35平面上 O、A、B 三点不共线，设 ，则OAB 的面积等于( )baBA,A. B.|a|2|b|2 (ab)2 |a|2|b|2 (ab)2C. D.12|a|2|b|2 (ab)2 12|a|2|b|2 (ab)26已知|a| 3， |b|2， a ，b60 ，则|2a b|_.7河水的流速为 2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向 10 m/s 的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为_8.已知ABO 三顶点的坐标为 A(1,0),B(0,2),O(0,0),P(x,y)是坐标平面内一点，且满足 0， 0，APOA BP OB 则 的最小值为_OP AB9在ABC 中，角 A、B 、C 所对的边分别为 a、b、c， 若 ，那么 c_.ABC110.如右图，在 RtABC 中，已知 BC=a,若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中心，问 与 的夹角 取何值时 QBC BP 的值最大？并求出这个最大值CQ11已知向量 a(sin ，cos 2sin )，b(1,2) (1)若 ab，求 tan 的值；(2)若|a| |b|,0，求 的值12在ABC 中，角 A、B 、C 的对边分别为 a、b、c，若 k (kR)BCA(1)判断ABC 的形状；(2)若 c ，求 k 的值2
