1、初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。基本图形解析：一） 、已知两个定点：1、在一条直线 m 上，求一点 P，使 PA+PB 最小；（1）点 A、B 在直线 m 两侧：（2）点 A、B 在直线同侧：A、A 是关于直线 m 的对称点。2、在直线 m、n 上分别找两点 P、Q，使 PA+PQ+QB 最小。（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：P mAB mB mB P mABA n mAB QP n mAB n mAB QP n mABB QP n mAB n mAB（4） 、台球两次碰壁模型变式一：已知点 A、B 位于直线 m,n 的
2、内侧，在直线 n、m 分别上求点 D、E 点，使得围成的四边形 ADEB 周长最短 .填空：最短周长=_变式二：已知点 A 位于直线 m,n 的内侧, 在直线 m、n 分别上求点 P、Q 点PA+PQ+QA 周长最短 .二） 、一个动点，一个定点：（一）动点在直线上运动：点 B 在直线 n 上运动，在直线 m 上找一点 P，使 PA+PB 最小（在图中画出点 P 和点 B）1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：m nA P m nABm nA P m nAABmnAB EDmnABA BmnA PQmAA“A（二）动点在圆上运动点 B 在O 上运动，在直线 m 上找一点 P，使 PA+PB
3、最小（在图中画出点 P 和点B）1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三） 、已知 A、B 是两个定点，P、Q 是直线 m 上的两个动点，P 在 Q 的左侧,且 PQ 间长度恒定,在直线 m 上要求 P、Q 两点，使得 PA+PQ+QB 的值最小。( 原理用平移知识解)（1）点 A、B 在直线 m 两侧：过 A 点作 ACm,且 AC 长等于 PQ 长，连接 BC,交直线 m 于 Q,Q 向左平移 PQ 长，即为P 点，此时 P、Q 即为所求的点。（2）点 A、B 在直线 m 同侧：mOA P mOBAB mOA P mOABAmABBEQP mABQPmBQP mABCQP练习题1如图
4、，AOB=45，P 是AOB 内一点，PO=10，Q 、 R 分别是 OA、OB 上的动点，求PQR 周长的最小值为 2、 如图 1，在锐角三角形 ABC 中，AB=4 ,BAC=45，BAC 的平分线交 BC 于点D，M,N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值为 3、如图，在锐角三角形 ABC 中 ，AB= ， BAC=45，BAC 的平分线交 BC 于52D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是多少？4、如图 4 所示，等边ABC 的边长为 6,AD 是 BC 边上的中线,M 是 AD 上的动点,E 是 AC 边上一点.若 AE=2,
5、EM+CM 的最小值为 .5、如图 3，在直角梯形 ABCD 中，ABC90，ADBC，AD4，AB5，BC6，点 P 是AB 上一个动点，当 PCPD 的和最小时，PB 的长为_6、 如图 4，等腰梯形 ABCD 中，AB=AD=CD=1，ABC=60，P 是上底，下底中点 EF 直线上的一点，则 PA+PB 的最小值为 Q二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析：1、在一条直线 m 上，求一点 P，使 PA 与 PB 的差最大；（1）点 A、B 在直线 m 同侧：解析：延长 AB 交直线 m 于点 P，根据三角形两边之差小于第三边， PAPBAB，而PAPB
6、=AB 此时最大，因此点 P 为所求的点。（2）点 A、B 在直线 m 异侧：解析：过 B 作关于直线 m 的对称点 B,连接 AB交点直线 m 于 P,此时 PB=PB，PA-PB 最大值为 AB练习题1. 如图，抛物线 y x 2x 2 的顶点为 A，与 y 轴交于点 B14(1)求点 A、点 B 的坐标；(2)若点 P 是 x 轴上任意一点，求证：PAPB AB；(3)当 PAPB 最大时，求点 P 的坐标.mBAmB mABBPPmBAPPDCBA A BCD A BCD三、其它非基本图形类线段和差最值问题1、求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两
7、边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。2、在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线。3、线段之和的问题往往是将各条线段串联起来，再连接首尾端点，根据两点之间线段最短以及点到线的距离垂线段最短的基本依据解决。1、如图，在ABC 中，C=90，AC=4，BC=2 ，点 A、C 分别在 x 轴、y 轴上，当点 A在 x 轴上运动时，点 C 随之在 y 轴上运动，在运动过程中，点 B 到原点的最大距离是（ ）A B C。 D 625622、已知:在ABC中，BC= a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD. 探究下列问题:（1）如图 1，当点 D 与点 C 位于直线 AB 的两侧时，a=b=3，且ACB=60，则 CD= ；（2）如图 2，当点 D 与点 C 位于直线 AB 的同侧时，a=b=6，且ACB=90，则 CD= ；（3）如图 3，当ACB 变化,且点 D 与点 C 位于直线 AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的ACB 的度数.图 1 图 2 图 3
