1、一题多解 求双曲线的离心率张老师提分热线 15522621826 中国 天津一、典例分析，融合贯通 典例1 【2016年山东卷理科第13题】已知双曲线 ),(=: 012bayxE，若矩形 ABCD的四个顶点在 E上， CDAB,的中点为 E的两个焦点，且 BC3A，则 E的离心率为 【解法 1】直接法由题意 c2=，所以 3c=，于是点),3（在双曲线 E上，代入方程，得1492=bca，在由 2cba=+2得 的离心率为=ce.【点睛之笔】直接代入，少走弯路！【解法 2】通径法易得2bA(c,)a，2B(,)a，所以2b|ABa， |Cc，由 2AB3C， 22cab得离心率e2或1（舍去
2、） ，所以离心率为 2.e【点睛之笔】通径法，此径通幽！【点睛之笔】几何法，利用图形画出美好未来！【解后反思】解法 1：直接将数据代入，直奔主题，不走回头路！解法 2：利用通径，减少计算量！解法 3：利用数形结合法，以形助数！一题多解 求双曲线的离心率张老师提分热线 15522621826 中国 天津典例 2 【2009 全国卷，理 4】设双曲线 (a0, b0)的渐近线与抛物线 y=x2+1 相切，则该12yax双曲线的离心率等于（ ）A. B.2 C. D.356【点睛之笔】设而不求法，不求也能求！【解法 2】导数法设切点 0(,)Pxy2切线斜率 0bkxa02x一题多解 求双曲线的离心
3、率张老师提分热线 15522621826 中国 天津20,1,byxa.24ba又 222,45cbca，故选 C.5ea【点睛之笔】导数法，快速确定解题方向！【解后反思】解法 1:设而不求法，再也不求人！解法 2：利用导数的几何意义，迅速突破难点，确定解题方略！3. 典例 3 双曲线 的离心率为 e1,双曲线 的离心率为 e2, 则 12byax 12axby_, e1+e2 的最小值为_. e 1e2的最小值为_ .21e由双曲线离心率定义知： , 故有 .baa221,21e【点睛之笔】均值不等式，不患寡而患不“均”！【解法 2】换元法一题多解 求双曲线的离心率张老师提分热线 15522
4、621826 中国 天津不妨设 ，则问题相当于： 求 、 的最小值。1,21yex ,12yxyx由均值不等式得： ， ，等号成立，当且仅当 ，即 yx1222yx，进而推出 即 时.而 21e,ba12e 8222)(2 xyyx， ，等号成立，当且仅当 时取等号（由 去分母可得：822)( 22 xyxyyx yx12e ,12） .22故答案依次为： .1,【点睛之笔】换元法，换了都说好！【解后反思】解法 1：一正二定三相等，解起题来不需等！解法 2：换元法，越换越简练，越换越明了！二、精选试题，能力升级1.【2018 辽宁省八中模拟】已知双曲线21(0,)xyab的左、右焦点为 1F、
5、 2，在双曲线上存在点 P 满足 121F,则此双曲线的离心率 e 的取值范围是（ ）A. e B. e C. 2e D. 2【答案】B2.【2018 广东省海珠区一模】已知双曲线2:1(0,)xyCab的两条渐近线均与圆2650xy相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则 C的离心率为（ ）A. 3 B. 2 C. 35 D. 2一题多解 求双曲线的离心率张老师提分热线 15522621826 中国 天津【答案】C【解析】双曲线 210,xyab的渐近线方程为 byxa，即 0y，圆2:65Cxy化为标准方程 234,3,0xC，半径为 2， 双曲线210,ab的两条渐近线均和圆 2:65yx
6、相切， 2223,94bbaa2223,94bba 22224,54caa， 259,ce， 双曲线离心率对于 35，故选 C.3.【2018 广西柳州市一模】若双曲线21xyab(0,)ab上存在一点 P 满足以 O为边长的正方形的面积等于 2ab（其中 O 为坐标原点） ，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. 51, B. 71, C. 5,2 D. 7,2【答案】C4.【2018 湖南省永州市一模】已知点 P为双曲线21(0,)xyab右支上一点， 12,F分别为双曲线的左右焦点，点 I为 12F的内心（三角形内切圆的圆心） ，若恒有 1212IPFIISS成立，则双曲线的离心率取值范
7、围为（ ）A. 1,2 B. , C. 0, D. ,3【答案】A一题多解 求双曲线的离心率张老师提分热线 15522621826 中国 天津【解析】如图，设圆 I与 12F的三边 12、 1PF、 2分别相切于点 ,EFG，连接 I、 F、 IG，则12,IEPIG，它们分别是 112,IPI的高1 2112,IPF IPFr rSS， 122I IE其中 r是 1的内切圆的半径，因为 1212IPFIIFSS所以124rr，两边约去 2得 212,F，根据双曲线定义，得 1,PFaFc， ac离心率为 cea，双曲线的离心率取值范围为,2，故选 A. 5.【2018 陕西西工大附中六模】已
8、知双曲线21(0,)xyba的两条渐近线与抛物线 28yx的准线分别交于 ,AB两点， O为坐标原点，若 ABO的面积为 43，则双曲线的离心率为( )A. 72 B. 2 C. 13 D. 4【答案】B一题多解 求双曲线的离心率张老师提分热线 15522621826 中国 天津6.【2013 课标全国，理 4】已知双曲线 C： (a0， b0)的离心率为 ，则 C 的渐近线方2=1xyb52程为( )A y B y C y D y x14x3x【答案】：C【解析】： ， . a24 b2， .渐近线方程为52cea225cabe1=.1byx7.【2011 全国新课标，理 7】设直线 l 过
9、双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直， l 与 C 交于A， B 两点，| AB|为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为( )A B C 2 D 323【答案】B【解析】一题多解 求双曲线的离心率张老师提分热线 15522621826 中国 天津8.【2015 高考新课标 1，理 5】已知 M（ ）是双曲线 C： 上的一点， 是 C 上的两个0,xy21xy12,F焦点，若 ，则 的取值范围是( )120MF0y（A） （- ， ） （B） （- ， ） （C） （ ， ） （D） （ ， ）336233【答案】A【解析】由题知 ， ，所以 = 12(3,0)(,)F20
10、1xy12MF= ，解得 ，故选 A.00(3,),xyxy2200303y9.【2018 湖南两市九月调研】已知 F为双曲线21(,)xyab的左焦点，定点 A为双曲线虚轴的一个端点，过 ,FA两点的直线与双曲线的一条渐近线在 轴右侧的交点为 B，若 3F，则此双曲线的离心率为_一题多解 求双曲线的离心率张老师提分热线 15522621826 中国 天津【答案】 4310.【2008 全国 1，理 21】双曲线的中心为原点 ，焦点在 轴上，两条渐近线分别为 ，经过右焦点Ox12l，垂直于 的直线分别交 于 两点已知 成等差数列，且 与 同向Fl12l， AB， AB、 、 BFA（）求双曲线的离心率；（）设 被双曲线所截得的线段的长为 4，求双曲线的方程AB一题多解 求双曲线的离心率张老师提分热线 15522621826 中国 天津
