1、152 等差数列及其前 n 项和基础送分 提速狂刷练一、选择题1已知 an为等差数列，其前 n 项和为 Sn，若 a36， S312，则 a10等于( )A18 B20 C16 D22答案 B解析 由题意得 S33 a212，解得 a24，所以公差 d a3 a22， a10 a37 d20.故选 B.2(2018武汉调研)若等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足 S44， S612，则S2( )A1 B0 C1 D3答案 B解析 an为等差数列，则 S2， S4 S2， S6 S4也是等差数列，所以 2(4 S2) S2(124) S20.故选 B.3 张丘建算经卷上第 22 题为：“
2、今有女善织，日益功疾初日织五尺，今一月日织九匹三丈 ”其意思为今有女子善织布，且从第 2 天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织 5 尺布，现在一个月(按 30 天计)共织 390 尺布则该女最后一天织多少尺布？( )A18 B20 C21 D25答案 C解析 织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为 an， a15，前 30项和为 390，于是 390，解得 a3021，即该织女最后一天织 21 尺布选 C.30 5 a3024(2018郑州质检)已知等差数列 an的前 10 项和为 30， a68，则 a100( )A100 B958 C948 D18答案 C解析 设等差
3、数列 an的公差为 d，由已知得Error!解得 Error!所以 a100429910948.故选 C.5(2018河南测试)等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 ，则下列结论中正确Snan n 12的是( )A. 2 B. C. D. a2a3 a2a3 32 a2a3 23 a2a3 13答案 C解析 由已知可得 Sn an，则 Sn1 an1 (n2)，两式相减可得n 12 n2an an an1 (n2)，化简得 (n2)，当 n3 时，可得 .故选 C.n 12 n2 an 1an n 1n a2a3 2326(2018石家庄一模)已知函数 f(x)在(1，)上单调，且函数 y
4、 f(x2)的图象关于直线 x1 对称，若数列 an是公差不为 0 的等差数列，且 f(a50) f(a51)，则数列an的前 100 项的和为( )A200 B100 C0 D50答案 B解析 因为函数 y f(x2)的图象关于直线 x1 对称，则函数 f(x)的图象关于直线x1 对称又函数 f(x)在(1，)上单调，数列 an是公差不为 0 的等差数列，且f(a50) f(a51)，所以 a50 a512，所以 S100 50( a50 a51)100.故100 a1 a1002选 B.7(2018湖南湘中名校联考)若 an是等差数列，首项a10， a2016 a20170， a2016a
5、20170，则使前 n 项和 Sn0 成立的最大正整数 n 是( )A2016 B2017 C4032 D4033答案 C解析 因为 a10， a2016 a20170， a2016a20170，所以 d0， a20160， a20170，所以S4032 0， S4033 4033 a24032 a1 a40322 4032 a2016 a20172 4033 a1 a403320170，所以使前 n 项和 Sn0 成立的最大正整数 n 是 4032.故选 C.8(2017湖南长沙四县 3 月联考)中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则例如周髀算经和易经里对二十四节气的晷( u)影长的记录中
6、，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的下表为周髀算经对二十四节气晷影长的记录，其中 115.1 寸表示 115 寸 1 分(1 寸10 分)46 46已知易经中记录的冬至晷影长为 130.0 寸，夏至晷影长为 14.8 寸，那么易经中所记录的惊蛰的晷影长应为( )A72.4 寸 B81.4 寸 C82.0 寸 D91.6 寸答案 C解析 设易经中记录的冬至、小寒、大寒、立春、夏至的晷影长依次为a1， a2， a13，由题意知它们构成等差数列，设公差为 d，由 a1130.0, a1314.8，得130.012 d14.8，解得 d9.6. a6130
7、.09.6582.0.易经中所记录的惊蛰的晷影长是 82.0 寸故选 C.9(2017安徽安师大附中、马鞍山二中联考)已知数列 an是首项为 a，公差为 1 的等差数列，数列 bn满足 bn .若对任意的 nN *，都有 bn b8成立，则实数 a 的取值1 anan3范围是( )A(8，7) B8，7)C(8，7 D8，7答案 A解析 因为 an是首项为 a，公差为 1 的等差数列，所以 an n a1，因为bn ，又对任意的 nN *，都有 bn b8成立，所以 1 1 ，即 对任意的1 anan 1an 1a8 1an 1a8nN *恒成立，因为数列 an是公差为 1 的等差数列，所以
8、an是单调递增的数列，所以Error!即 Error!解得8 a7.故选 A.10(2018云南二检)已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn， S1122， a412，如果当n m 时， Sn最小，那么 m 的值为( )A10 B9 C5 D4答案 C解析 设等差数列 an的公差为 d.由已知得 22，所以 11a622，解得11 a1 a112a62，所以 d 7，所以 an a4( n4) d7 n40，所以数列 an是单调递增数列，a6 a42又因为 a550，所以当 n5 时， Sn取得最小值，故选 C.二、填空题11(2014北京高考)若等差数列 an满足 a7 a8 a90， a
9、7 a100，即 a80.又 a8 a9 a7 a100，则公差 d ，显然不成立，所以 m0)为增函数，所以 2n 1521 159，所以 9，故实8x 8n 815数 的最大值为 9.三、解答题15(2017中卫一模)在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，且 A， B， C成等差数列(1)若 a1， b ，求 sinC；3(2)若 a， b， c 成等差数列，试判断 ABC 的形状解 (1)由 A B C，2 B A C，得 B .由 ，得 ，得 sinA 3 asinA bsinB 1sinA 332，又 0 A B， A ，则 C .12 6 3 6 2s
10、in C1.(2)由 2b a c，得 4b2 a22 ac c2，又 b2 a2 c2 ac，得 4a24 c24 ac a22 ac c2，得 3(a c)20， a c， A C，又 A C ， A C B ，23 3 ABC 是等边三角形16(2018郑州模拟)数列 an满足 a1 ， an1 (nN *)12 12 an(1)求证： 为等差数列，并求出 an的通项公式；1an 1(2)设 bn 1，数列 bn的前 n 项和为 Bn，对任意 n2 都有 B3n Bn 成立，求正1an m20整数 m 的最大值解 (1)证明：因为 an1 ，12 an所以 1 ，1an 1 1 112
11、an 1 2 anan 1 1an 1即 1，1an 1 1 1an 1所以 是首项为2，公差为1 的等差数列，1an 1所以 2( n1)(1)( n1)，1an 1所以 an .nn 1(2)bn 1 ，n 1n 1n6令 Cn B3n Bn ，1n 1 1n 2 13n所以Cn1 Cn 1n 2 1n 3 13 n 1 1n 1 13n 1n 1 13n 2 13n 3 13n 1 0，13n 2 23n 3 13n 1 23n 3 23n 3 Cn1 Cn0，Cn为单调递增数列，又 n2，( B3n Bn)min B6 B2 ，13 14 15 16 1920 ， m19.又 mN *，所以 m 的最大值为 18.m201920
