1、数学奥林匹克高中训练题(187)第一试1、填空题（每小题 8 分，共 64 分）1. 若实数集合 与 恰有一个公共元素，则 中的所有元素之积2,3Axy6,BxyAB为.2. 已知关于 的方程 的两根分别属于区间 与 .x2224log3(l)0xa(1,3)6,)则实数 的取值范围是.a3. 设复数 .则 的最小值 为.12sin,1cos()ziziR=213zif4. 若等比数列 中， ，则 .na13,a101010()kkkCaa5. 设 为 元实数集，各元素之和为 ； 为 元实数集，各元素之和为 .定义AmBnb.令 各自取遍 中向量（允许 ）并计算 .则这(,),CxsttBxy
2、、 xyxy=些数量积之和 等于（结果用 表示）.xyC=、 abm、 、 、6. 已知双曲线以 为渐近线，且经过直线 与 的交点，2030xy230xyt其中， .则双曲线的实轴长的最大可能值为.5t7. 如图 1，在中国象棋规则下，点 处的“兵”可通过某条路径到达点 （兵在过河前每AB步只能走到其前方相邻的交叉点处，过河之后每步则可走到前方、左方、右方相邻的交叉点处，但不能后退， “河”是指图 1 棋盘中第 5、6 条横线之间的部分）.在兵的行进过程中，若棋盘的每个交叉点均不被兵重复走到，是称此路径为“元重复路径”.那么，不同的无重复路径的条数为.8. 在 中， 的对边分别为 ， 且ABC
3、C、 、 abc、 、.则 的面积为.315,4cos()2abAB二、解答题（共 56 分）9.（16 分）已知三棱锥 底面各棱长均为 1、高为 ，其内切球的球心为 ，半径PABC2O为 .求底面 内与点 距离不大于 的点所形成的平面区域的面积.rO2r10.（20 分）一束直线 的每条均过 平面内的抛物线 的焦点，12,l xOy2:Cyx与抛物线 交于点 .若 的斜率为 1， 的斜率为 ，求(1)ilCiAB、 1l()il1iAB的解析式.20411.（20 分）求所有三次多项式 ，使得对一切 ，均有 .()Px0xy、 ()()PxyPy=加 试一、 （40 分）如图 2， 与 的半
4、径相等，交于 两点. 内接于 ，且其1O=2XY、 ABC1O=垂心 在 上，点 使得四边形 为平行四边形.证明： 三线共点.HZCZYXHZ、 、二、 （40 分）求所有素数 ，使得 .P12pk三、 （50 分）若函数 满足：对任意实数 ，方程 的解的个数为偶数（可以是 0 个，fa()fxa但不能是无数个） ，则称 为“偶的函数”.证明：（1）任何多项式 均不是偶的函数；f（2）存在连续函数 是偶的函数.:fR四、(50 分)求正整数 的最大值，使得对任意一个以 为顶点的 阶简单图，总n12,nV能找到集合 的 个子集 ，满足： 当且仅当1,204 12,nA ()ijAij与 相邻.iVj
